Пусть и - два собственных значения ( )

Собственному числу отвечает собственный вектор X, собственному числу отвечает собственный вектор Y.

С калярное произведение: XY=0

aX= X

aY= Y

(aX,Y)=(X,aY)

( X,Y)-(X, Y)=0

(X,Y)- (X,Y)=0

(X,Y)( - )=0 (X,Y)=0

Для обычного линейного оператора аналогом этой теоремы явл. теорема : Собственные векторы линейного оператора , отвечающие разным , линейно независимы.

Пусть a - линейный оператор, которому отвечают 1, 2,… n собств. чисел, тогда докажем, что собственные векторы ,…, линейно независимы.

Пусть 1,…, k линейно зависимы, тогда сущ. нетрив.=0

1 1+ 2 2+…+ n n=

Подействуем линейным оператором на эту линейную комбинацию:

a( 1 1+ 2 2+…+ k k)=0

1a 1+ 2a 2+…+ ka k=0

1 1 1+ 2 2 2+…+ k k k=0

1 k 1+ 2 k 2+…+ k k k=0

(1)-(2): 1 1+ 2 2+…+ k-1 k-1=0

Имеем линейную комбинацию, в которой k-1 слагаемых. Повторяем предыдущий алгоритм и получаем линейную комбинацию, где k-2 слагаемых. В итоге получим нетривиальную линейную комбинацию:

P1 1=0

П ротиворечие!!!

Т3: Самосопряженный оператор всегда имеет базис из собственных векторов.

Обычный оператор не всегда имеет базис из собственных векторов.

Лекция № 5.

№1: Линейные операторы и самосопряженные линейные операторы.

Т. 1:Если собственное число лин. оператора a имеет кратность S , то ему отвечает не более чем S лин. незав. собственных векторов.

Пусть собственному числу отвечает k лин. нез. собственных векторов

, ,…, C

Дополним эти векторы до базиса векторами

ek+1,…,en в пространстве .

Матрица оператора a в этом базисе имеет вид:

A=

k-строк. k-столбиков

Для матрицы A составим характеристическое уравнение.

| 0- 0 … 0 | …….. |

| 0 0- …….| …….. |

| ….. 0 .. 0- | …….. | =0

| 0 …. 0……..0 | …….. |

| 0 ….. 0 …….0 | ……. |

*P( )=0 (*)

Т.к. по условию теоремы кратность корня =S, то из уравнения (*) вытекает, что ( если P( )=0 , то

k<S , а если , то k=S ) .

Т. 2: Для самосопряженных операторов собственному числу с кратностью S соответствуют ровно S лин. нез. собственных векторов.

Таким образом, для самосопряженного оператора всегда сущ. ортогональный базис из собственных векторов, действительно разным отвечают ортогональные собственные векторы. Если кратность =S ,ему отвечают ровно S лин. нез. собственных векторов, которые можно ортогонализировать.

В целом получится ровно n ортогональных собственных векторов и именно они задают ортогональный базис.

Опр. 1: Лин. оператор наз. изоморфизмом, если он является соответствием взаимооднозначным.

Для изоморфизма существует обратный оператор.

y=ax x= y

a-изоморфизм.

Т. 3: Оператор, имеющий собственное число =0 не является изоморфизмом.

Пусть =0 , тогда характеристическое уравнение

| A- E | = 0 |A|=0

сущ. не сущ.

К свойствам самосопряженного оператора относится т. 2 (лекция 5), опр. 2 (лекции 4), собственные числа всегда действительны.

4. Сумма двух самосопряженных операторов явл. самосопр. оператором

a- с.с. оператор

b- с.с. оператор.

((a+b)x,y)=(ax+bx,y)=(ax,y)+(bx,y)=

(x,ay)+(x,by)=(x,(a+b)y)

5.Если a и b с.с. операторы, то композиция операторов явл. с.с. только в одном случае:

ab-с.с.оператор <=> ab=ba

6.Обратный оператор также явл. с.с.

Ортогональные матрицы и ортогональные операторы.

Опр. 2: Матрица A наз. ортогональной, если

=E

Свойства ортогональных матриц:

1. = =E

2. =|1| det detA =1=> =1=>

=> =|1|

det = detA

3. Матрица также явл. ортогональной.

4. Ортогональные матрицы и только они служат матрицами перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному.

e1,e2,…,en -ортонормированный базис e’1,e’2,…,e’n -ортонормированный базис.

T=

e1’ e2’ …. en’

=

(a11……an1)= e1’

……………..

(a1n……ann)= en’

e1’ e1’=1 e2’ e2’=1 ….. en’ en’=1

T=

Опр.4: Оператор a, действующий в евклидовом пр-ве наз. ортогональным, если

(x,y)=(ax,ay)

Скалярное пр-ние образов= скалярному пр-нию прообразов.

Свойства ортогонального оператора:

1.Ортогональный оператор сохраняет матрицу пр-ва (углы между векторами и нормы).

2. Если a и b ортогональные операторы, то их композиция ab также ортогон. оператор.

3.Оператор ,обратный ортогон. также явл. ортогональным.

4.Для ортогонального оператора a оператор a будет ортогонален только тогда, когда =|1|.

( ax, ay)=(x,y) ?

(x,y)=(x,y)

=|1|

5.Собственные значения ортогонального оператора всегда равны |1|.

Лекция 6 .

№1. Ортогональные операторы (продолжение).

6. Ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу.

Для док-ва рассмотрим, обратный оператор и покажем, что его матрица получается из матрицы оператора простым транспонированием.

=

Рассмотрим (ax, ay)=(x, a* ay)=(x,y)=>

=>(x,( a* ay-y))=0

a*-сопряжённый оператор

a-ортогональный оператор

(a* ay-y)=0

Оператор наз.сопряженным по отношению к оператору a , если (ax,y)=(x, a*y)

Поскольку x - произвольный вектор, следовательно, из последнего равенства вытекает, что

a * ay-y=0=>y= a* ay=> a*=

Поскольку сопряженный оператор имеет матрицу ,

A*= => = ,т.е. A -матрица ортогональная.

7. Ортогональный оператор явл. изоморфизмом:

Вопрос: Какие операторы явл. изоморфизмами?

Ответ: Все операторы с невырожденной матрицей.

Вопрос: Какие собственные числа могут быть у изоморфизма?

Ответ: ?Не равные нулю .

№2. Квадратичные формы.

Пусть в линейном пр-ве Ln имеется переменный вектор

X=

Зададим произвольную симметричную матрицу, размерностью nxn

A=

a21=a12 aij=aji

И рассмотрим пр-ние трех матриц:

(1xn)A(nxn)X(nx1)

Опр. 1: Квадратичной формой наз. скалярная функция векторного аргумента.

f(x1,……,xn)= (1xn)A(nxn)X(nx1)=

При этом матрица A наз. матрицей квадратичной формы.

Опр. 2:Рангом квадратичной формы наз. ранг ее матрицы.

Замечание: В ортонормированном базисе самосопр. оператор имеет симметрическую матрицу и скалярное пр-ние вычисляется как сумма кр-ных соответствующих координат, поэтому в ортонорм. базисе квадрат. ф-му можно представить, как

f(x1,……,xn)=(ax,a)

Действительно f(x1,……,xn)= AX =X^T A^T X=

= =>(ax,x)

Рассмотрим изменение матрицы квадр. формы при переходе к новому базису пр-ва.

Теорема 1 :Матрица квадратичной формы при переходе к новому базису меняется по закону

A’= AT

где T - матрица перехода от старого к новому базису.

f(x1,……,xn)= AX=>

=> X’* ATX’ = f(x1’,……,xn’)

где * -транспанированная.

Следствие: Всегда существует ортогональное преобразование системы координат, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Пусть в ортонормированном базисе квадратичная форма имеет вид

(ax,x)

где a- самосопряженный оператор.

По свойствам самосопр. оператора (см. лекцию 5) он всегда имеет базис (ортонорм. базис) из собственных векторов.

В базисе из собственных векторов:

, ,…..,

Самосопряженный оператор имеет матрицу

A’=

f(x1,……,xn)= AX= X’*T^TATX’

где * -транспанированная.

- канонический вид квадратичной формы

Лекция№7.

№1.Квадратичные формы (продолжение).

Опр.1:Рангом квадратичной формы наз. ранг матрицы квадр. формы.

Не зависимо от того ,каким образом квадратичная форма приведена к каноническому виду (методом Лагранжа или методом ортогональных преобразований ) ,число положительных и отрицательных слагаемых в каноническом виде определяется единственным образом. Нормальным видом квадратичной формы явл. выражение:

f(z1,……,zn)= z1z1 + z2z2+…+ zpzp- zp+1zp+1-…- zp+qzp+q

где p+q=r

r-число положительных квадратов.

p-положительный индекс инерции квадратичной формы.

q-отрицательный индекс инерции квадратичной формы.

p-q-сигнатура квадратичной формы.

Т1:p,q,r определяются однозначно ,не зависят от преобразования ,приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

Опр.2:Квадратичная форма наз. знакоположительной (знакоотрицательной) ,если при любых значениях переменных x1,x2,…,xn квадратичная форма f(x1,……,xn)>0 (f(x1,……,xn)<0).

В остальных случаях квадратичная форма наз. знаконеопределённой.

Для знакоположительной кв. формы канонический вид содержит только положительные слагаемые (q=0).

Для знакоотрицательной – p=0.

Т.2:(Критерий знакоопределённости кв. формы – Критерий Сильвестра):Кв.форма знакоположительна тогда и только тогда ,когда её главные миноры (миноры ,стоящие по главной диагонали матрицы кв. формы ) положительны.

Если знаки миноров чередуются (>0,<0, начиная с отрицательного) ,то кв. форма <0 ,в остальных случаях она неопределенна.

В завершении курса линейной алгебры покажем ,что для любого линейного оператора спектр собственных значений не зависит от выбора базиса.

Пусть матрица линейного оператора в старом базисе имеет вид A ,в новом – A’ ,тогда собственные числа матрицы A и матрицы A’ совпадают.

| A- E|=0

A’= AT =>|A- E |=0=>| AT- E|=0=>

=>| AT-T^-1T|=0

| T^-1 (A- E)T|=0

| T^-1| |T| | A- E|=0=>

=>| A- E|=0 ,

значит собственные числа A и A’ одинаковы.

32