реферат (Что-то вроде лекций или метод)

1

ВВЕДЕНИЕ

Учебная исследовательская работа посвящена изучению зеркальных оптических телескопов, видов зеркальных асферических поверхностей, геометрических и оптических свойств поверхностей второго порядка, а также составлению алгоритма расчета траектории произвольного луча, проходящего через действительный геометрический фокус выпуклого гиперболического зеркала.

1. ОПТИЧЕСКИЕ АСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Асферические поверхности – оптические поверхности, не имеющие сферической формы.

Асферические поверхности широко используются в оптическом приборостроении. В ряде случаев применение асферических поверхностей в оптических приборах позволяет решить такие важные задачи, как улучшение качества изображения, повышение оптических характеристик и упрощение конструкции приборов, что ведет к уменьшению их габаритных размеров и массы. Асферические поверхности, в отличие от сферических, разнообразнее по своим видам, свойствам, параметрам, требованиям к точности изготовления, условиям применения и т.п., каждая из них в значительной степени индивидуальна.

Наибольшее распространение в оптических приборах нашли поверхности второго порядка. Эти поверхности имеют ряд полезных свойств, что поставило их в особое положение по отношению к другим видам асферических поверхностей.

С

Рис. 1. Классификация видов асферических поверхностей

реди асферических поверхностей второго порядка особое положение занимают цилиндрические и конические поверхности. Цилиндрические

поверхности типа кругового цилиндра, в отличие от всех других видов асферических поверхностей, имеют ось вращения, располагаемую перпендикулярно оптической оси. В одном из сечений цилиндрическая поверхность имеет дугу окружности, в другом – прямую линию, расположенную перпендикулярно оптической оси. Конические поверхности, применяемые в оптических системах, образованы вращением вокруг оптической оси прямой линии, расположенной под углом к оси. Конические поверхности, используемые в фотообъективах, как правило, имеют большой угол при вершине, близкий к 180 градусам.

Все поверхности второго порядка можно разделить на две группы. В первую группу входят поверхности, которые имеют пары анаберрационных точек, являющихся геометрическими фокусами кривых второго порядка. Эти поверхности образованы вращением кривых второго порядка вокруг оси, соединяющей геометрические фокусы (вытянутый эллипсоид вращения, параболоид и двуполостный гиперболоид). Оптические свойства этих поверхностей широко используют в приборах различного назначения, а так же для контроля их качества.

Ко второй группе поверхностей второго порядка относятся поверхности цилиндрические, конические и сплюснутые эллипсоиды (поверхности, образованные вращением эллипса вокруг малой оси). Наибольшее распространение среди них нашли цилиндрические поверхности, главным образом в оптических системах, предназначенных для анаморфирования изображений.

1. ОПТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

   1. Геометрические свойства поверхностей второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₁₃ отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка:

а) цилиндрические;

б) конические;

в) поверхности вращения (эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид);

г) гиперболический параболоид.

Уравнениями меридионального профиля поверхностей второго порядка являются кривые второго порядка.

Кривая второго порядка— геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Кривые второго порядка также задаются общими уравнениями

и параметрическим уравнением

Типы кривых второго порядка:

а) эллипс;

б) парабола;

в) гипербола;

Эллипс - геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянна, то есть

| F₁M | + | F₂M | = 2a

Свойства эллипса:

1. Фокальное свойство. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F₁X) равен углу между этой касательной и прямой (F₂X).

2. Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

3. Эволютой (множество центров кривизны линии) эллипса является астроида.

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Свойства параболы:

1. Парабола — кривая второго порядка.

2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.

3. Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе.

4. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

5. Парабола является антиподерой прямой (антиподера кривой — кривая, для которой данная кривая является подерой. Подера кривой относительно точки — множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки на касательные к кривой ).

6. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

7. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Гипербола— геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянно, то есть

| | F₁M | − | F₂M | | = 2а

Зеркальное свойство гиперболы: касательная к гиперболе является биссектрисой угла, образованного фокальными радиусами точки касания.

1. Оптические свойства отражающих (зеркальных) поверхностей второго порядка

Э ти поверхности образованы вращением плоских кривых вокруг оси, соединяющей их геометрические фокусы. Последние имеют замечательное свойство: если точечный источник света расположен в одном из геометрических фокусов F₁, то все лучи, отраженные от АП, пересекаются строго в одной точке — втором геометрическом фокусе F₂:

д) е) ж)

Рис. 2. Отражающие АП второго порядка:

а — выпуклая эллиптическая; б — вогнутая эллиптическая; в— сплюснутый эллипсоид; г — вогнутая гиперболическая; д — выпуклая гиперболическая; е — вогнутая параболическая; ж — выпуклая параболическая

Иными словами, геометрические фокусы F₁ и F₂ являются оптически сопряженными анаберрационными точками, т. е. не имеющими погрешностей изображения при любых углах падения лучей на отражающую поверхность. Это свойство является теоретическим, т. е. справедливым только для идеальной поверхности. На практике это свойство широко используют как в сложных зеркальных системах, так и в системах простейшего типа.

Основными геометрическими характеристиками АП второго порядка являются радиус кривизны г₀ при вершине меридиональной кривой (точка О на рис.) и эксцентриситет ε. Эти величины определяют положение геометрических фокусов относительно вершины поверхности:

Таблица 1

Параметры геометрических фокусов для асферических поверхностей второго порядка

Вид поверхности	Диапазон ε	OF1	OF2	F1F2
Выпуклая эллиптическая (рис. 2,а)	0 < ε < 1
Вогнутая эллиптическая (рис. 2,б)	0 < ε < 1
Вогнутая гиперболическая (рис. 2,г)	ε > 1
Выпуклая гиперболическая (рис. 2,д)	ε > 1
Вогнутая параболическая (рис. 2,е)	ε = 1			∞
Выпуклая параболическая (рис. 2,ж)	ε = 1

Для параболических поверхностей расстояние от ближайшего геометрического фокуса F (рис. 2,е, ж) до вершины поверхности О равно фокусному расстоянию в понятиях геометрической оптики.

Особое положение занимают поверхности, образованные вращением эллипса вокруг малой оси, — так называемые сплюснутые сфероиды (рис. 2,в). Эти поверхности находят применение, например, в телескопах Райта. Особенность их по сравнению с другими видами АП второго порядка в том, что они имеют обратный знак отступления от вершинной сферы. Иногда это позволяет эффективно использовать их для исправления аберраций. Сплюснутые сфероиды не имеют анаберрационных точек, так как при вращении эллипса вокруг малой оси точки F₁ и F₂ образуют кольцо, в плоскости которого лежит большая ось эллипса. Анаберрационные свойства лучей, идущих из точек F₁ и F₂ (рис. 2,в), проявляются только в одной плоскости, проходящей через эти точки и малую ось эллипса.

Уравнение для сплюснутого сфероида в координатах х, у: