ДЗ - ЦПТ (осень 2009), страница 2

R₁₂ = R₂₁ , R₁₃ = R₃₁ , R₂₃ = R₃₂ – равны сопротивлению ветви, общей

для указанных в индексе контуров . Эти коэффициенты берутся со знаком минус, если направления контурных токов в схеме приняты одинаково - либо все по часовой стрелке, либо все против (например, R₁₂ = R₂₁ = - R₂ , т. е. равно сопротивлению ветви, общей для первого и второго контуров со знаком минус).

E₁₁ , E₂₂ , E₃₃ – их значения равны алгебраической сумме ЭДС рассматриваемого контура. ЭДС, которые совпадают по направлению с контурным током, берутся со знаком плюс, иначе – со знаком минус (например, E₁₁ = Е₁ – Е₂; E₂₂ = Е₃ + Е₂ + U_ab ).

1. Подставляем найденные числовые значения коэффициентов в систему уравнений и решаем ее. Получаем контурные токи (I₁₁, I₂₂, I₃₃).

2. Используя контурные токи, вычисляем реальные токи во всех ветвях исходной схемы (I₁, I₂, …, I₆).

Реальный ток в ветви равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через рассматриваемую ветвь. Контурные токи, совпадающие с реальным током в ветви, берутся со знаком плюс (например, I₁ = I₁₁ ; I₂ = - I₁₁ + I₂₂ ).

2.4. Расчет токов в цепи методом межузлового напряжения.

Заданную электрическую цепь первоначально следует упростить, заменить эквивалентной, после чего объ­ем вычислений существенно сократится.

В схеме цепи, показанной на рис. 1, имеется пассивный треугольник с резисторами R₄, R₅, R₆ , который можно заменить экви­валентной звездой с резисторами R₁₇, R₂₇, R₃₇ (рис. 3), которые вычисляются по формулам:

; ; .

Рис. 3

Полученная эквивалентная схема имеет два узла. Для ее расчета воспользуемся методом межузлового напряжения. В этом случае не надо решать системы уравнений.

Вычисляем напряжение между узлами 7 и 4 рассматриваемой схемы

.

Здес ; ; - проводимости ветвей.

В этом выражении, если Е_К направлено к первому узлу, то оно берется со знаком плюс. Для напряжения (U_ab) наоборот – если оно направлено к первому узлу, то берется со знаком минус, а если ко второму – со знаком плюс.

Далее, зная напряжение между двумя узлами U₇₄ , по закону Ома для активного участка цепи определяем токи в ветвях преобразованной схемы ( I₁ , I₂ , I₃ – см. рис. 3):

, , .

В этом выражении, если напряжение U₇₄ , приложенное к рассматриваемой ветви , и ЭДС совпадают с направлением тока в ветви, то берутся со знаком плюс. Эти токи I₁, I₂, I₃ одинаковые в преобразованной и исходной схемах.

Определив токи I₁, I₂, I₃, вернемся к исходной схеме (рис. 1). Чтобы определить токи I₄, I₅, I₆ воспользуемся первым уравнением из системы (4) и первым и вторым - из (1).

2.5. Расчет токов в цепи методом эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора применяют, когда требуется определить ток или напряжение в одной ветви сложной цепи. В основе метода лежит теорема об эквива­лентном генераторе, утверждающая, что любую линейную электрическую цепь, внутри которой действуют некоторые ЭДС, мож­но рассматривать относительно данной выделенной из нее ветви как генератор, ЭДС которого Е_Э равна напряжению на зажимах цепи при отключенной от них указанной ветви, а внутреннее сопротив­ление R_Э - входному сопротивлению цепи со стороны этих зажимов, определяемому при условии, что источники ЭДС удалены и заме­нены их внутренними сопротивлениями. Заменяя эту сложную электрическую цепь эквивалентной, состоящей только из прием­ника (нагрузки) и эквивалентного генератора (источника ЭДС E_Э=U_ХХ с его внутренним сопротивлением R_Э=R_ВХ), сводят задачу к закону Ома при сохранении приемника как отдельного элемента эквивалентной цепи (рис. 4). Это позволяет определить ток в ветви с резистором R по формуле

( 5)

Рис. 4

Пусть требуется определить ток I₆ в ветви с сопротивлением R₆ (рис. 1) методом эквивалентного генератора

.

Отключим в исходной схеме ветвь с сопротивлением R₆ от зажимов 2-3 и определим напряжение холостого хода U_{ХХ 23} (рис. 5).

Рис. 5

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 2-3-1-2 :

U_{ХХ 23} – I'₃ R₄ – I'₂ R₅ = 0.

Откуда U_{ХХ 23} = I'₃ R₄ + I'₂ R₅ .

Для определения I'₃ и I'₂ рассчитываем полученную схему (рис. 5). В ней два узла (1 и 4). Используем метод межузлового напряжения:

.

Вычисляем токи:

, .

Зная токи, вычисляем U_{ХХ 23} .

Затем определяем R_{ВХ 23} .

Из предыдущей схемы (рис. 5) удаляем все источники (E₁, E₂, E₃, U_AB), оставив их внутренние сопротивления. Получаем схему рис. 6.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Проведем эквивалентные преобразования схемы (рис. 7, рис. 8, рис. 9).

При переходе от схемы рис.7 к схеме рис. 8 проведено преобразование треугольника сопротивлений R₅, R₂, R₈ (здесь R₈=R₁+R₀₁+R₇) в эквивалентную звезду с сопротивлениями R_n1, R_n2, R_n4, которые вычисляются по формулам:

, , .

Рис. 9

В соответствии со схемой рис. 9 запишем выражение для входного сопротивления относительно зажимов 2 и 3:

.

Вычисляем искомый ток .

2.6. Построение потенциальной диаграммы.

Распределение потенциалов в электрической цепи можно представить с помощью потенциальной диаграммы.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы по внешнему контуру заданной цепи (рис.1). Потенциальная диаграмма представляет собой зависимость φ(R). На рис. 10 она показана в виде графика, на котором по вертикальной оси отложены значения потенциалов последовательного ряда точек выбранного контура (1, 3, в, а, 4, с, 5, 1), а по горизонтальной – сумма значений сопротивлений последовательно проходимых участков цепи этого контура.

Рис. 10

Построение потенциальной диаграммы (рис. 10) начинается из произвольно выбранной точки контура, например, из точки 1, потенциал которой принят за нулевой φ₁ = 0. Последовательно обходим выбранный контур. Если построение диаграммы начали в точке 1, то и закончиться она должна в этой же точке 1. Скачки потенциала на графике соответствуют включенным в цепь источникам напряжения Е₁, Е₃, U_ab .

Рассмотрим в качестве примера расчет и построение потенциальной диаграммы для внешнего контура цепи, схема которой приведена на рис. 1. Принимаем φ₁ = 0.

Потенциал следующей точки 3 контура меньше потенциала точки 1 на величину падения напряжения на сопротивлении R₄

φ₃ = φ₁ – I₄ R₄ .

При построении потенциальной диаграммы нужно по горизонтальной оси отложить от начала координат (точ.1) в масштабе сопротивление R₄ , а по вертикальной оси значение φ₃ в вольтах. На графике соединяем потенциалы точки 1 и точки 3 прямой линией.

Потенциал следующей точки "b" меньше потенциала точки 3 на величину падения напряжения на сопротивлении R₃

φ_b = φ₃ - I₃ R₃ .

При построении диаграммы нужно по горизонтальной оси отложить от начала координат (точ.1) в масштабе сумму сопротивлений (R₄ + R₃) , а по вертикальной оси значение φ_b в вольтах. На графике соединяем потенциалы точки 3 и точки "b" прямой линией.

В соответствии со схемой потенциал точки "a" будет больше потенциала точки "b" на величину U_ab

φ_a = φ_b + U_ab .

Сопротивление участка "a - b" не задано, принимаем его R_ab = 0, что соответствует идеальному источнику напряжения. На диаграмме получаем скачек потенциала вертикально вверх на величину U_ab .

Двигаемся по конуру дальше от точки "a" к точке 4. На этом участке имеем еще один идеальный источник напряжения (Е₃) с внутренним сопротивлением равным нулю. На потенциальной диаграмме (рис.10) этому соответствует изменение потенциала скачком вверх от точки "a" до точки 4.

φ₄ = φ_a + E₃ .

Рассмотрим следующий участок "4 - с". Направление тока I₁ совпадает с направлением обхода контура. Потенциал точки "с" будет меньше потенциала точки 4 на величину падения напряжения на сопротивлении R₁

φ_с = φ₄ - I₁ R₁ .

На графике (рис.10) по горизонтальной оси откладываем от начала координат суммарное сопротивление всех уже рассмотренных участков контура. Оно равно (R₄+R₃+R₁). При этом значении сопротивления откладываем по вертикальной оси величину потенциала точки "с" (φ_с). Полученную точку на графике соединяем прямой линией с предыдущей точкой 4.

На следующем участке "с-5" находится реальный источник напряжения Е₁ с внутренним сопротивлением R₀₁ . Направление источника Е₁ совпадает с направлением обхода контура и дает увеличение потенциала на величину Е₁ . Наличие внутреннего сопротивления R₀₁ снижает величину потенциала и в итоге получаем

φ₅ = φ_с + Е₁ - I₁ R₀₁ .

На графике (рис.10) по горизонтальной оси добавляем сопротивление R₀₁ и по вертикали откладываем значение φ₅ т.е. изонтальной оси добавляем сопротивление й диаграмме. чину падения напряжения на сопротивлении 000000000000000000000000000 . Полученную точку на графике (точка 5) соединяем прямой линией с предыдущей точкой "с".

Осталось построить последний участок между точками 5 и 1. . На этом участке находится сопротивление R₇ . Рассчитываем потенциал точки 1

φ₁ = φ₅ - I₁ R₇ .