де

Основна задача лінійного програмування у другій стандартній формі полягає в тому, що серед всіх невід'ємних розв'язків системи основних обмежень-нерівностей треба знайти такий, при якому цільова функція буде мати оптимальне значення:

(25)

(26)

(27)

Або у короткому запису

(25а)

(26а)

Скалярно-векторна форма:

(25б)

(26б)

(27б)

Матрична форма:

(25в)

(26в)

(27в)

Векторна форма:

(25г)

(26г)

(27г)

Лема 2. Перша стандартна форма основної задачі лінійного програмування завжди може бути зведена до другої стандартної форми.

Доведення. Припустимо, що невідомі є вільними;

- базисними; ранг матриці системи обмежень (22) дорівнює

Розв'яжемо систему рівнянь (22) відносно базисних невідомих і нехай розв'язок має вигляд

(28)

Всі невідомі невід'ємні, тому

Враховуючи це, поставимо у відповідність отриманому розв'язку (28) еквівалентну систему нерівностей:

Введемо позначення і помноживши всі нерівності на -1 отримуємо систему обмежень:

Очевидно, що остання система обмежень збігається з (26) і рівносильна системі обмежень (3-9) У тому розумінні, що будь-якому розв'язку системи нерівностей відповідає певний розв'язок системи рівнянь (22) Для завершення доведення леми підставимо у цільову функцію (21) замість базисних невідомих їхні вирази (28). Якщо згрупувати подібні члени, то цільова функція набуде вигляду (25). Приклад 2. Звести до другої стандартної форми задачу

Розв'язання. Виписуємо матрицю системи обмежень

і шукаємо ранг матриці. Базисним буде мінор

Отже, ранг . Базисні невідомі: ; вільні невідомі:

Розв'язуємо систему відносно базисних невідомих:

Так як , то

Запишемо цільову функцію z через вільні невідомі

Отже, задача, рівносильна вихідній, має вигляд:

Із лем 1, 2 випливає така теорема.

Теорема 1. Основна задача лінійного програмування у першій стандартній формі і основна задача лінійного програмування у другій стандартній формі еквівалентні між собою

3. Економічна модель задачі

Фірма спеціалізується на виготовленні та реалізації електроплит і морозильних камер. Припустимо, що збут продукції необмежений, проте обсяги ресурсів (праці та основних матеріалів) обмежені. Завдання полягає у визначенні такого плану виробництва продукції на місяць, за якого виручка була б найбільшою.

Норми використання ресурсів та їх загальний запас, а також ціни одиниці кожного виду продукції наведені в табл. 1.

Таблиця 1 Інформація, необхідна для складання виробничої програми

Побудуємо економіко-математичну модель даної задачі.

Позначимо через кількість вироблених морозильних камер, а через, — електроплит. Виразимо математично умови, що обмежують використання ресурсів.

Виходячи з нормативів використання кожного з ресурсів на одиницю продукції, що наведені в табл. 1, запишемо сумарні витрати робочого часу:

.

За умовою задачі ця величина

не може перевищувати загальний запас даного ресурсу, тобто 520 люд.-год. Ця вимога описується такою нерівністю:

Аналогічно запишемо умови щодо використання листового заліза та скла:

Необхідно серед множини всіх можливих значень та знайти такі, за яких сума виручки максимальна, тобто: max

Отже, умови задачі, описані в прикладі 1.1, можна подати такою економіко-математичною моделлю:

5

за умов:

Остання умова фіксує неможливість набуття змінними від'ємних значень, тому що кількість виробленої продукції не може бути від'ємною. Розв'язавши задачу відповідним методом математичного програмування, дістаємо такий розв'язок: для максимальної виручки від реалізації продукції необхідно виготовляти морозильних камер — 50 штук, електроплит — 15 ( =50, =15).

Перевіримо виконання умов задачі:

9,2-50 + 4·15 = 520;

3-50 + 6·15 = 240;

2·15 = 30<40.

Всі умови задачі виконуються, до того ж оптимальний план дає змогу повністю використати два види ресурсів з мінімальним надлишком третього.

Виручка становитиме: F = 300-50 + 200-15 = 18000 ум. од.

Отриманий оптимальний план у порівнянні з першим варіантом виробничої програми уможливлює збільшення виручки на

18000-16 800 = 1200 ум. од., тобто на 100% = 7,1%

4. Математична модель задачі

Математична модель стандартної задачі – це її спрощений образ, поданий у вигляді сукупності математичних співвідношень (нерівностей). Загальна задача лінійного програмування (ЛП) подається у вигляді:

знайти максимум (мінімум) функції

(29)

або

за умов

(30)

(31)

Отже, потрібно знайти значення змінних , які задовольняють умови (30) і (31), тоді як цільова функція набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Задачу (29)—(2.3) легко звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (30) всі (і =1,2, ...... n) невід'ємні, а всі обмеження є рівностями.

Якщо якесь від'ємне, то, помноживши -те обмеження на (—1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. Коли i-те обмеження має вигляд нерівності , , то останню завжди можна звести до рівності, увівши допоміжну змінну

Аналогічно обмеження виду зводимо до рівності, віднімаючи від лівої частини допоміжну змінну ,тобто І

Приклад 2.1. Записати в канонічній формі таку задачу ЛП:

за умов

Розв'язування. Помножимо другу нерівність на (-1) і введемо відповідно допоміжні змінні і для другого та третього обмеження:

Неважко переконатися, що допоміжні змінні, у цьому разі і , є невід'ємними, причому їх уведення не змінює цільової функції.

Отже, будь-яку задачу ЛП можна записати в такій канонічній формі:

знайти максимум функції (32)

за умов

(33)

(34)

Задачу (32)—(34) можна розв'язувати на мінімум, якщо цільову функцію помножити на (-1), тобто

5. Геометрична інтерпретація стандартної задачі

Геометрична інтерпретація аналітичних задач дає можливість наочно представити їх структуру, що сприяє засвоєнню їхніх основних властивостей та відкриває шляхи виявлення і дослідження інших, більш складних властивостей цих задач. У найпростіших випадках геометричне подання дає змогу знайти розв'язок задачі, однак навіть у тривимірному просторі геометричне розв'язування ускладнюється і створює ряд труднощів у побудові відповідних геометричних фігур, а в просторах вимірності, більшої за три, таке розв'язування і зовсім неможливе.

Можливі різноманітні форми і способи геометричного представлення задач лінійного програмування. Доцільність вибору кожного способу зумовлюється метою, якої хочуть досягти даною геометричною інтерпретацією та особливостями структури самої задачі, в тому числі й формою її представлення.

Для геометричної інтерпретації візьмемо основну задачу лінійного програмування у другій стандартній формі. Для наочності розглянемо найпростіший випадок, коли в системі обмежень (26) і цільовій функції (25) є лише дві змінних ,

Розглянемо розв'язування нерівностей.

Лема 3. Множина розв'язків нерівності з двома змінними

є однією з двох півплощин, на які вся площина ділиться прямою , включаючи й цю пряму, а інша півплощина з тією ж прямою є множиною розв'язків нерівності

Доведення. Гранична пряма перпендикулярна до вектора нормалі . (рис 3.1). Вектор нормалі (його ще називають напрямним вектором ) є градієнтом лінійної функції і показує напрям зростання її значень — одиничні вектори вздовж осей і відповідно; таким чином, . Справді, нехай , . Візьмемо на прямій, яка визначається вектором точку , причому нехай , тобто точка лежить далі від початку координат, ніж точка . Очевидно також, що . У точці числове значення лінійної функції дорівнює . Аналогічно в точці значення . Ураховуючи, що , дістанемо

Рис. 1.

Аналогічно можна пересвідчитись, що напрям зменшення значень лінійної функції збігається з напрямним вектором

Прямі лінії на площині , які паралельні прямій, що визначається рівнянням називають лініями рівнів лінійної функції . Користуючись поняттям напрямного вектора , можемо визначити розміщення півплощин і на координатній площині . Півплощина розміщена по той бік прямої , куди показує напрямний вектор - . Аналогічно вектор показує, де розміщена півплощина відносно прямої побудуємо напрямний вектор N = (3,-2). Напрямний вектор міститься у шуканій півплощині, яка виділена штриховими лініями (рис 3.2).

Рис. 3.2

Якщо врахувати, що множина точок, що задовольняє рівняння

29.)

при п = 3, є півплощина, а при п > 3 - гіперплощина в n-вимірному просторі, то лему 3 можна поширити на випадок трьох і більше змінних.

Теорема 2. Множиною всіх розв'язків лінійної нерівності з п змінними

є одним з півпросторів, на які весь простір розділяється площиною або гіперплощиною (29), включаючи й саму площину (гіперплощину).

Розглянемо множину розв'язків систем нерівностей.

Теорема 3. Множиною розв'язків сумісної системи т лінійних нерівностей з двома змінними

є опуклим многокутником.

Доведення. Кожна з нерівностей у відповідності з лемою 3 визначає одну з півплощин, які є опуклими множинами точок. Множиною розв'язків сумісної системи лінійних нерівностей є множина точок, які належать півплощинам-розв'язкам усіх нерівностей, тобто належать їх перетину. Згідно теореми 2 про перетин опуклих множин ця множина є опуклою і містить скінчене число кутових точок, тобто є опуклим многокутником.

Теорема 4. Множина розв'язків сумісної системи т лінійних нерівностей з п змінними є опуклим многогранником в n-вимірному просторі.

Теорема 5. Множиною всіх допустимих розв'язків сумісної системи т лінійних рівнянь з п змінними ( ) є опуклим многогранником в n-вимірному просторі.

Теорема 6. Оптимальне значення задачі лінійного програмування досягається у вершині многогранника розв'язків системи обмежень.

Результати цього підрозділу дають змогу так інтерпретувати задачі лінійного програмування:

У многограннику (многокутнику у випадку двох змінних) розв'язків системи обмежень задачі лінійного програмування знайти таку вершину, де цільова функція набуває оптимального (найбільшого або найменшого) значення.

Нехай фермер прийняв рішення вирощувати озиму пшеницю і цукрові буряки на площі 20 га, відвівши під цукрові буряки не менше як 5 га. Техніко-економічні показники вирощування цих культур маємо у табл. 2:

Таблиця 2 Показники вирощування сільськогосподарських культур

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку.

Запишемо економіко-математичну модель структури виробництва озимої пшениці та цукрових буряків, ввівши такі позначення:

x₁ — шукана площа посіву озимої пшениці, га;

x₂— шукана площа посіву цукрових буряків, га.

Задача лінійного програмування має такий вигляд:

(38)

за умов:

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

Геометричну інтерпретацію задачі зображено на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Область допустимих розв'язків задачі

Область допустимих розв'язків цієї задачі дістаємо так. Кожне обмеження, наприклад задає півплощину з граничною прямою . Будуємо її і визначаємо півплощину, яка описується нерівністю .З цією метою в нерівність підставляємо координати характерної точки, скажімо, і . Переконуємося, що ця точка належить півплощині . Цей факт на рис. 2.2 ілюструємо відповідною напрямленою стрілкою. Аналогічно будуємо півплощини, які відповідають нерівностям (39)—(43). У результаті перетину цих півплощин утворюється область допустимих розв'язків задачі (на рис. 2.2 — чотирикутник ABCD). Цільова функція Z = 0,7x₁+х₂ являє собою сім'ю паралельних прямих, кожна з яких відповідає певному значенню Z. Зокрема, якщо Z=0, то маємо Z = 0,7x₁+х₂=0. Ця пряма проходить через початок системи координат. Коли Z= 3,5, то маємо пряму 0,7x₁+х₂=3,5.

6. Розв’язання стандартної задачі симплекс-методу

Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування доцільно застосовувати лише для задач із двома змінними. За більшої кількості змінних вдаються до загального методу розв'язування задач лінійного програмування — так званого симплекс-методу. Процес розв'язування задачі симплекс-методом має ітераційний характер: обчислювальні процедури (ітерації) одного й того самого типу повторюються у певній послідовності доти, доки не буде отримано оптимальний план задачі або з’ясовано, що його не існує.

Отже, симплекс-метод — це поетапна обчислювальна процедура, в основу якої покладено принцип послідовного поліпшення значень цільової функції переходом від одного опорного плану задачі лінійного програмування до іншого.

Алгоритм розв'язування задачі лінійного програмування симплекс-методом складається з п'яти етапів:

1. Визначення початкового опорного плану задачі лінійного програмування.

2. Побудова симплексної таблиці.

3. Перевірка опорного плану на оптимальність за допомогою оцінок . Якщо всі оцінки задовольняють умову оптимальності, то визначений опорний план є оптимальним планом задачі. Якщо хоча б одна з оцінок не задовольняє умову оптимальності, то переходять до нового опорного плану або встановлюють, що оптимального плану задачі не існує.

4. Перехід до нового опорного плану задачі виконується визначенням розв'язувального елемента та розрахунком нової симплексної таблиці.

5. Повторення дій починаючи з п. 3. Розглянемо докладніше кожний з етапів алгоритму.

1. Визначення першого опорного плану починають із запису задачі лінійного програмування в канонічній формі, тобто у вигляді обмежень-рівнянь з невід'ємними правими частинами. Якщо в умові задачі присутні обмеження-нерівності, то перетворення їх на рівняння виконується за допомогою додаткових змінних, які вводяться до лівої частини обмежень типу «» — зі знаком «-». У цільовій функції задачі додаткові змінні мають коефіцієнт нуль.

Після зведення задачі до канонічного вигляду її записують у векторній формі. За означенням опорного плану задачі лінійного програмування його утворюють т одиничних лінійно незалежних векторів, які становлять базис w-вимірного простору (де m — кількість обмежень у задачі лінійного програмування).

На цьому етапі розв'язування задачі можливі такі випадки:

після запису задачі у векторній формі в системі обмежень є необхідна кількість одиничних векторів. Тоді початковий опорний план визначається безпосередньо без додаткових дій;

у системі обмежень немає необхідної кількості одиничних незалежних векторів. Тоді для побудови першого опорного плану застосовують метод штучного базису. Ідея його полягає в тому, що відсутні одиничні вектори можна дістати, увівши до відповідних обмежень деякі змінні з коефіцієнтом +1, які називаються штучними. У цільовій функції задачі лінійного програмування штучні змінні мають коефіцієнт +М (для задачі на min) або —М (для задачі на max), де М— досить велике додатне число.

Визначені одиничні лінійно незалежні вектори утворюють базис, і змінні задачі, що відповідають їм, називають базисними, а всі інші змінні — вільними, їх прирівнюють до нуля та з кожного обмеження задачі визначають значення базисних змінних. У такий спосіб отримують початковий опорний план задачі лінійного програмування.

2. Подальший обчислювальний процес та перевірку опорного плану на оптимальність подають у вигляді симплексної таблиці.

У першому стовпчику таблиці — «Базис» — записують базисні змінні опорного плану, причому в тій послідовності, в якій вони розміщуються в системі обмежень задачі.

Наступний стовпчик симплексної таблиці — «С_баз » — коефіцієнти при базисних змінних у цільовій функції задачі.

У третьому стовпчику — «План» — записують значення базисних змінних і відшукувані у процесі розв'язування задачі компоненти оптимального плану.

У решті стовпчиків симплексної таблиці, кількість яких відповідає кількості змінних задачі, записують відповідні коефіцієнти з кожного обмеження задачі лінійного програмування.

3. Перевіряють опорний план на оптимальність згідно з наведеною далі теоремою.

Теорема (ознака оптимальності опорного плану). Опорний план задачі лінійного програмування є оптимальним, якщо для всіх виконується умова (для задачі на max) або : (для задачі на min)

Якщо для побудови опорного плану було використано метод штучного базису, необхідною умовою оптимальності є також вимога, щоб у процесі розв'язування задачі всі штучні змінні були виведені з базису і дорівнювали нулю.

Значення оцінок визначають за формулою

або безпосередньо із симплексної таблиці як скалярний добуток векторів-стовпчиків «С_баз » та «x_j » мінус відповідний коефіцієнт .Розраховані оцінки записують в окремий рядок симплексної таблиці, який називають оцінковим.

У процесі перевірки умови оптимальності можливі такі випадки:

а) усі задовольняють умову оптимальності, і тоді визначений опорний план є оптимальним;

б) не всі задовольняють умову оптимальності, і тоді потрібно виконати перехід до наступного, нового опорного плану задачі.

4. Перехід від одного Опорного плану до іншого виконується зміною базису, тобто виключенням з нього деякої змінної та введенням замість неї нової з числа вільних змінних задачі.

Змінна, яка включається до нового базису, відповідає тій оцінці , що не задовольняє умову оптимальності. Якщо таких оцінок кілька, серед них вибирають найбільшу за абсолютною величиною і відповідну їй змінну вводять до базису. Припустимо, що індекс зазначеної змінної . Відповідний стовпчик симплексної таблиці називають напрямним.

Для визначення змінної, що має бути виключена з базису, знаходять для всіх додатних напрямного стовпчика величину .Вибирають найменше значення 6, яке вказує на змінну, що виводиться з базису. Припустимо, що це виконується для . Відповідний рядок симплексної таблиці називатиметься напрямним.

Перетином напрямного стовпчика та напрямного рядка визначається число симплексної таблиці , яке називають розв'язувальним елементом. За допомогою елемента і методу Жордана—Гаусса розраховують нову симплексну таблицю.

Далі ітераційний процес повторюють доти, доки не буде визначено оптимальний план задачі.

У разі застосування симплекс-методу для розв'язування задач лінійного програмування можливі такі випадки.

1. Якщо в оцінковому рядку останньої симплексної таблиці оцінка відповідає вільній (небазисній) змінній, то це означає, що задача лінійного програмування має альтернативний оптимальний план. Отримати його можна, вибравши розв'язувальний елемент у зазначеному стовпчику таблиці та здійснивши один крок симплекс-методом.

2. Якщо при переході у симплекс-методі від одного опорного плану задачі до іншого в напрямному стовпчику немає додатних елементів , тобто неможливо вибрати змінну, яка має бути виведена з базису, то це означає, що цільова функція задачі лінійного програмування є необмеженою й оптимальних планів не існує.

3. Якщо для опорного плану задачі лінійного програмування всі оцінки задовольняють умову оптимальності, але при цьому хоча б одна штучна змінна є базисною і має додатне значення, то це означає, що система обмежень задачі несумісна й оптимальних планів такої задачі не існує.

Навчальні завдання розв'язування задач симплекс-методом

Розглянемо застосування симплекс-методу для розв'язування деяких задач лінійного програмування.

Задача 2.41.

Продукція чотирьох видів А, В, С і Д проходить послідовну обробку на двох верстатах. Тривалість обробки одиниці продукції кожного виду задано таблицею.

Витрати на виробництво одиниці продукції кожного виду визначають як величини, прямо пропорційні до часу використання верстатів (у машино-годинах). Вартість однієї машино-год становить 10 дол. для верстата 1 і 15 дол. — для верстата 2. Можливий час використання верстатів обмежений: для верстата 1 він становить 450 машино-год, а для верстата 2 — 380 машино-год.

Ціна одиниці продукції кожного виду дорівнює відповідно 73, 70, 55 та 45 дол.

Визначити оптимальний план виробництва продукції всіх чотирьох видів, який максимізує загальний чистий прибуток.

Побудова математичної моделі. Нехай — план виробництва продукціїу-го виду, де у може набувати значень від 1 до 4.

Умовами задачі будуть обмеження на час використання верстатів для виробництва продукції всіх видів:

для верстата 1 (машино-год);

для верстата 2 (машино-год).

Цільова функція задачі визначається як загальний чистий прибуток від реалізації готової продукції і складається з різниці між ціною та собівартістю виготовлення продукції кожного виду:

Отже, математична модель поставленої задачі має такий вигляд:

Розв'язування. Розв'яжемо задачу симплекс-методом згідно з розглянутим алгоритмом.

1. Запишемо систему обмежень задачі в канонічному вигляді. Для цього перейдемо від обмежень-нерівностей до строгих рівнянь, увівши до лівої частини обмежень додаткові змінні х₅ та х₆.

Ці додаткові змінні за економічним змістом означають можливий, але не використаний для виробництва продукції час роботи верстатів 1 та 2. У цільовій функції Z додаткові змінні мають коефіцієнти, які дорівнюють нулю:

Канонічну систему обмежень задачі запишемо у векторній формі: >і

де

Оскільки вектори та одиничні та лінійно незалежні, саме з них складається початковий базис у зазначеній системі векторів. Змінні задачі та , що відповідають одиничним базисним векторам, називають базисними, а решту вільними змінними задачі лінійного програмування. Прирівнюючи вільні змінні до нуля, з кожного обмеження задачі дістаємо значення базисних змінних:

Згідно з визначеними векторна форма запису системи обмежень задач матиме вигляд

Оскільки додатні коефіцієнти х₅ та х₆ відповідають лінійно незалежним векторам, то за означенням

є опорним планом задачі і для цього початкового плану

2. Складемо симплексну таблицю для першого опорного плану задачі.

Елементи останнього рядка симплекс-таблиці є оцінками Δ_j, за допомогою яких опорний план перевіряють на оптимальність. їх визначають так:

У стовпчику «План» оцінкового рядка записують значення цільової функції Z, якого вона набуває для визначеного опорного плану: =0-450 + 0-380 = 0.

3. Після обчислення всіх оцінок опорний план перевіряють на оптимальність. Для цього продивляються елементи оцінкового рядка. Якщо всі (для задачі на max) або (для задачі на min), визначений опорний план є оптимальним. Якщо ж в оцінковому рядку присутня хоча б одна оцінка, що не задовольняє умову оптималь-ності (від'ємна в задачі на max або додатна в задачі на min), то опорний план є неоптимальним і його можна поліпшити.

У цій задачі в оцінковому рядку дві оцінки та суперечать умові оптимальності, і тому перший визначений опорний план є неоптимальним. За алгоритмом симплекс-методу необхідно від нього перейти до іншого опорного плану задачі.

4. Перехід від одного опорного плану до іншого виконують зміною базису, тобто за рахунок виключення з поточного базису якоїсь змінної та включення замість неї нової з числа вільних змінних.

Для введення до нового базису беремо змінну , оскільки їй відповідає найбільша за абсолютною величиною оцінка серед тих, які не задовольняють умову оптимальності ( ).

Щоб визначити змінну, яка підлягає виключенню з поточного базису, для всіх додатних елементів стовпчика «х₂ » знаходимо відношення і вибираємо найменше значення. Згідно з даними симплексної таблиці бачимо, що min , і тому з базису виключаємо змінну , а число = 3 називатимемо розв'язувальним елементом. Подальший перехід до нового опорного плану задачі полягає в побудові наступної симплексної таблиці, елементи якої розраховують за методом Жордана—Гаусса.

Друга симплексна таблиця має такий вигляд:

У цій таблиці спочатку заповнюють два перших стовпчики «Базис» і « », а решту елементів нової таблиці розраховують за розглянутими далі правилами:

1. Розв'язувальний (напрямний) рядок необхідно поділити на розв'язувальний елемент і здобуті числа записати у відповідний рядок нової симплексної таблиці.

2. Розв'язувальний стовпчик у новій таблиці записують як одиничний з одиницею замість розв'язувального елемента.

3. Якщо в напрямному рядку є нульовий елемент, то відповідний стовпчик переписують у нову симплексну таблицю без змін.

4. Якщо в напрямному стовпчику є нульовий елемент, то відповідний рядок переписують у нову таблицю без змін.

Усі інші елементи наступної симплексної таблиці розраховують за правилом прямокутника.

Щоб визначити будь-який елемент нової таблиці за цим правилом, необхідно в попередній симплексній таблиці скласти умовний прямокутник, вершини якого утворюються такими числами:;

1 — розв'язувальний елемент;

2 — число, що стоїть на місці елемента нової симплексної таблиці, який ми маємо розрахувати;

3 та 4 — елементи, що розміщуються в двох інших протилежних вершинах умовного прямокутника.

Необхідний елемент нової симплекс-таблиці визначають так:

Наприклад, визначимо елемент , який розміщується в новій таблиці в другому рядку стовпчика «Х4». Складемо умовний прямокутник:

Тоді = (3-2-2-2):3 = 2/3. Це значення записуємо в стовпчик « » другого рядка другої симплексної таблиці.

Аналогічно розраховують усі елементи нової симплексної таблиці, у тому числі елементи стовпчика «План» та оцінкового рядка. Наявність двох способів визначення оцінок опорного плану (за правилом прямокутника та за відповідною формулою) дає змогу контролювати правильність арифметичних обчислень на кожному кроці симплекс-методу.

Після заповнення нового оцінкового рядка перевіряємо виконання умови оптимальності для другого опорного плану. Цей план також неоптимальний, оскільки . Використовуючи процедуру симплекс-методу, визначаємо третій опорний план задачі, який наведено у вигляді таблиці:

В оцінковому рядку третьої симплексної таблиці немає від'ємних чисел, тобто всі і задовольняють умову оптимальності. Це означає, Що знайдено оптимальний план задачі: