183656 (Решение оптимизационных управленческих задач на основе методов и моделей линейного программирования), страница 3

5. Выполняется преобразование симплекс-таблицы по следующим правилам:

Новая ведущая строка =

Все элементы ведущего столбца кроме ведущего элемента обнуляются. Оставшиеся элементы пересчитываются по правилу прямоугольника, который образуется на базе пересчитываемого и ведущего элемента: из произведения пересчитываемого и ведущего элемента вычитается произведение элементов, расположенных на другой диагонали этого прямоугольника; результат делится на ведущий элемент.

6. Находится новое базисное решение, соответствующее новой структуре небазисных и базисных переменных. Осуществляется переход к шагу 2.

По окончании реализации алгоритма в столбце "Базисное решение" находятся значения переменных, вошедших в оптимальный базис, а также значение целевой функции, соответствующее оптимальному решению. Переменные, не вошедшие в оптимальный базис, в оптимальном решении равны нулю.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ ТЕХНОЛОГИИ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

Математическая модель решаемой задачи имеет следующий вид:

Х1+4Х2+Х3=900

2,5Х1+2Х2+Х4=1000

3Х1+2Х2+Х5=800

Е = 5X1 + 8X2 →max

X1>0, X2>0.

Составим исходную симплекс-таблицу (табл.1):

Таблица 1

Определяется переменная для включения в базис.

Для рассматриваемого примера в базис необходимо включить переменную X2, так как ей соответствует максимальный по модулю отрицательный коэффициент E-строки (-8). Это означает увеличение выпуска удобрения «Росток». Из условия задачи и целевой функции видно, что увеличение выпуска удобрения «Росток» приводит к более быстрому росту целевой функции, чем увеличение выпуска удобрения «Флора»: выпуск каждой тонны удобрения «Росток» увеличивает целевую функцию (прибыль) на 8 ден. ед., а выпуск каждой тонны удобрения «Флора» - только на 5 ден. ед.

Определим переменную для исключения из базиса. Для этого необходимо поделить коэффициенты столбца решения на коэффициенты ведущего столбца Х2 (при этом следует помнить, чтобы коэффициенты ведущего столбца были положительны). В результате получатся симплексные отношения:

900/4=225; 1000/2=500; 800/2=400.

Смысл поиска переменной, исключаемой из базиса в следующем: при включении новой переменной в базис, её значение увеличивается. При этом чтобы соблюдать исходные ограничения задачи необходимо уменьшать базисные переменные. Уменьшение переменных возможно только до 0. Симплексное отношение показывает через сколько увеличений переменой, включаемой в базис, данная базисная переменная приблизится к нулю. Поэтому переменная, имеющая минимальное симплексное отношение, исключается из базиса. Строка с переменной, исключаемой из базиса, называется ведущей строкой. Итак, исключаем из базиса переменную Х3 (симплексное отношение минимальное и равно 225), строка Х3 является ведущей. Элемент, находящийся на пересечении ведущей строки Х3 и ведущего столбца Х2, называется ведущим (разрешающим) элементом. Для данной таблицы ведущий элемент равен 4.

Выполним преобразования таблицы по правилам симплекс-метода, описанным в разделе 3: ведущая строка Х3 делится на ведущий элемент, равный 4; ведущий столбец Х2 заполняется нулями; все остальные элементы таблицы пересчитываются по “правилу прямоугольника”. Например, коэффициент на пересечении Е-строки и столбца Х1 пересчитывается следующим образом: [4*(-5)–1*(-8)] /4= -3. Полученная симплекс-таблица приведена в табл.2.:

Таблица 2- Симплекс-таблица 2

Т.к. в строке целевой функции есть отрицательные коэффициенты, то данное решение не является оптимальным. Пересчитаем таблицу по описанному выше примеру.

Таблица3- Симплекс-таблица 3

Как видно из таблицы 3, в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов. Это значит, что оптимальное решение найдено. Оно состоит в следующем:

Х1=140;

Х2=190;

Х4=270;

Х3= Х5=0;

Е=2220.

5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ БАЗОВОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ ПО МОДИФИКАЦИИ

Проанализируем полученный результат решения задачи:

Х1=140;

Х2=190;

Х4=270;

Х3= Х5=0;

Е=2220.

Значения переменных X1 = 140, X2 = 190 показывают, что предприятие по плану должно выпускать 140 тонн удобрения «Флора» и 190 тонн удобрения «Росток». В этом случае будет получена максимальная прибыль в размере 2220 ден. ед. (значение целевой функции). Так как X3 = 0, значит, весь запас азотной кислоты (900 тонн) расходуется на выпуск удобрений. Аналогично можно показать, что переменная X4 представляет собой неизрасходованный остаток аммиака, а X5 – калийной соли. Таким образом, остается неизрасходованным 270 тонн аммиака (расход аммиака на выпуск всех удобрений составит 1000 - 270 = 730 тонн). Неизрасходованный остаток калийной соли равен нулю, значит, все 800 тонн калийной соли расходуются на производство удобрений.

Проведем анализ полученного решения на чувствительность. Для начала определим статус имеющихся в задаче ресурсов. По статусу все ресурсы делятся на дефицитные и недефицитные. Если для реализации оптимального решения ресурс расходуется полностью, то он называется дефицитным, если не полностью – недефицитным. Статус ресурсов определяется по значениям остаточных переменных. В данной задаче дефицитными ресурсами являются азотная кислота и калийная соль, т.к. они полностью расходуются в процессе производства (Х3=0; Х5=0). Аммиак - недефицитный ресурс, так как 270 тонн аммиака остаются неизрасходованными (X4 = 270). Увеличение запасов дефицитных ресурсов позволяет увеличить целевую функцию (прибыль). Снижение запасов дефицитных ресурсов приводит к снижению прибыли. Увеличение запасов недефицитных ресурсов всегда нецелесообразно, так как оно приводит только к увеличению неизрасходованных остатков. Запас недефицитного ресурса можно снизить на величину его остатка; это никаким образом не влияет на оптимальное решение (в том числе на оптимальные объемы производства и на прибыль), уменьшается только неизрасходованный остаток ресурса. Если запас недефицитного ресурса снизится на величину, превышающую его остаток, то для определения нового оптимального плана производства необходимо решать задачу заново. В нашем случае увеличение запасов азотной кислоты и калийной соли позволит увеличить прибыль. Запас аммиака можно снизить на 270 т (т.е. до 730 т); эти 270 т аммиака предприятие может, например, продать или использовать в другом цехе. Например, если запас аммиака составит не 1000 т, а только 800 т, то оптимальное решение задачи будет следующим: X1 =140; X2 = 190; X₃ = 0; X4 = 70; X5 = 0; E = 2220 ден. ед. Таким образом, оптимальное решение не изменится (кроме снижения неизрасходованного остатка аммиака). Если запас стали снизится более чем на 270 т (т.е. составит менее 730 т), то для определения нового оптимального плана производства необходимо решать задачу заново. Для нового оптимального решения изменятся не только значения переменных, но и состав переменных в оптимальном базисе (т.е. в оптимальный базис будут входить не переменные X1, X2 и X5, а другие переменные). Значение целевой функции при этом снизится, т.е. составит менее 2220 ден. ед.

Определим ценность имеющихся ресурсов. Ценность ресурса – это увеличение значения целевой функции (прибыли) при увеличении запаса ресурса на единицу (или, соответственно, снижение целевой функции при уменьшении запаса ресурса на единицу).

Ценности ресурсов определяются по симплекс-таблице, соответствующей оптимальному решению. Ценности ресурсов представляют собой коэффициенты E-строки при остаточных переменных, соответствующих остаткам ресурсов.

В нашем случае ценность азотной кислоты равна 1,4 ден. ед./т, ценность калийной соли - 1,2 ден. ед./т. Это означает, например, что увеличение запаса азотной кислоты на единицу (т.е. на 1 т) приводит к увеличению прибыли предприятия в среднем на 1,4 ден. ед. Например, если запас азотной кислоты увеличится на 100 т (т.е. составит 1000 т), то прибыль составит примерно 2220 + 1,4*100 =2360 ден. ед. Снижение запаса азотной кислоты приведет к соответствующему снижению прибыли.

Ценность недефицитного ресурса всегда равна нулю. В данном примере ценность аммиака равна нулю, так как увеличение его запаса не приводит к увеличению прибыли, а снижение (не более чем на 270 кг) - не приводит к снижению прибыли.

Ценность ресурса показывает максимальную (предельную) цену, по которой выгодно закупать ресурсы. Например, в рассматриваемой задаче предприятию выгодно закупать азотную кислоту по цене не более 1,4 ден. ед./т, калийную соль - по цене не более 1,2 ден. ед./т. Закупка ресурса по цене, превышающей его ценность, означает, что затраты предприятия на закупку ресурса превышают прибыль от его использования.

6. ПРОВЕРКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В СРЕДЕ MS EXCEL С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАМНОЙ НАДСТРОЙКИ «ПОИСК РЕШЕНИЯ» (ПАКЕТ «SOLVER»)

Д ля решения оптимизационных задач в среде MS Excel используется инструмент «Поиск решения» (пункт меню «Данные Поиск решения»).

Для решения задачи необходимо выполнить следующие этапы:

• Внести исходные данные;

• Определить ячейки, в которые будет помещен конечный результат (изменяемые ячейки);

• Внести в определенную ячейку формулу для расчета целевой функции;

• Внести в ячейки формулы для расчета ограничений.

В результате получается следующее:

• Вызвать надстройку «Поиск решения» и, определив для нее основные параметры, определить решение:

После того, как будут заполнены все основные формы, нажимаем кнопку «Выполнить», после чего появится диалоговое окно «Результаты поиска решений».Решение задачи выглядит следующим образом: