183633 (Пространство товаров. Цены), страница 2

Решение потребителя о покупке определенного набора товаров математически - выбор конкретной точки в пространстве C.

Пример 2. Пространство товаров С представляет собой часть арифметического линейного пространства Rⁿ — так называемый неотрицательный октант, С = {X ∈ Rⁿ : X≥ 0}. Поэтому при работе с пространством товаров можно использовать структуру линейного пространства (соблюдая некоторые естественные ограничения). Так, для любого X Є С подмножество L_X = {λX: 0 ≤ λ} называется лучом, проходящим через X; для любых двух точек X, Y любая точка αХ + βY ∈ С называется их линейной комбинацией, а множество [X, Y] = {αХ + βY: α, β ≥ 0, α + β = 1} называется отрезком, соединяющим X и Y. Подмножество W ≤ С является выпуклым, если вместе с любыми X,Y ∈ W весь соединяющий их отрезок лежит в W.

Предполагается, что каждый товар имеет цену. Все цены строго положительны. Пусть цена единицы i-го товара есть р_i, тогда Р = (p_i,…,р_n) есть вектор-строка цен.

Для набора товаров X и вектора цен Р их скалярное произведение РХ = р₁x₁ + ... + р_nx_n есть число, называемое ценой набора X или его стоимостью, и будет обозначаться С(Х).

Пример 3. Отношение равной стоимости разбивает все пространство товаров на непересекающиеся классы (для случая двух товаров см. рис. 1). Пусть вектор цен есть (2, 3), тогда класс наборов стоимости 30 есть отрезок АВ, а стоимости 60 есть отрезок MN. Стрелка показывает направление увеличения стоимости наборов. В качестве этой стрелки можно взять вектор цен.

С обыденной точки зрения каждый товар должен быть желателен для участников экономики и должен обладать определенной потребительской полезностью. Это свойство товаров выражается в некоторой мере через цены на них.

Пусть вектор цен есть Р. Зафиксируем какую-нибудь денежную сумму Q и назовем ее доходом.

Множество наборов товаров стоимости не более Q при данных ценах Р называется бюджетным множеством В; множество наборов товаров стоимости ровно Q называется границей G этого бюджетного множества.

Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее их было бы обозначать В(Р, Q) и G(P, Q).

Бюджетное множество и его границу можно определить так:

с помощью обычных неравенств и равенств —

В(Р, Q) = {(x₁, ..., х_n): х₁ …, х_n ≥ 0, p₁x₁ + ... + p_nx_n ≤Q)

G(P, Q) = {(x₁, ..., х_n): х₁ …, х_n ≥ 0, p₁x₁ + ... + p_nx_n = Q);

с помощью векторных неравенств и равенств —

В(Р, Q) = {Х:Х> О, РХ О, РХ= Q).

Для случая двух товаров см. рис. 1.

При Р = (2, 3) и Q = 30 бюджетное множество В(Р, Q) есть треугольник ОАВ, точка A имеет координату Q/p₁ = 15, точка В — Q/p₂ = 30. Отрезок АВ есть граница бюджетного множества, отрезок АВ перпендикулярен вектору цен. При увеличении Q граница бюджетного множества движется в направлении вектора цен. При изменении цен об изменении бюджетного множества можно судить по движению точек А(р₁) = Q/p₁, B(p₂) = Q/p₂.

Бюджетное множество выпукло, ограниченно и замкнуто.

Граница бюджетного множества также есть выпуклое, ограниченное и замкнутое множество.

4. Пространство товаров и система предпочтений

Одним из основных элементов — участников экономики — является домашнее хозяйство, определяемое как некоторая группа индивидуумов, выступающая как единое целое, распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. В общем, участник экономики, рассматриваемый с этой точки зрения, называется потребителем. Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса о том, какие количества товаров или услуг он хочет и может приобрести при заданных ценах и его доходе.

Специально отметим, что существуют разные точки зрения на роль индивидов-потребителей. В неоклассической экономической теории эта роль является основной, определяющей. Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребностей такого индивида.

Выше была сформулирована аксиома потребителя, полностью описывающая его поведение в вопросах потребления. Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведения потребителя.

Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов, желаний.

Запись y ≤ x означает, что потребитель предпочитает набор x набору y или не делает между ними различий, запись x ~ y – оба набора обладают одинаковой степенью предпочтения.

Потребуем выполнение следующих аксиом:

1) x ≥ x, для любого x (рефлексивность);

2) если x ≥ y, y ≥ z, то х ≥ z (транзитивность);

3) для любой пары x, y либо x ≥ y, либо y ≥ x, либо и то и другое.

Кроме аксиом 1 – 3 на отношение предпочтения накладывают ряд других ограничений, главными из которых являются непрерывность и ненасыщаемость.

Отношение предпочтения f называется непрерывным на множестве Х, если множество { (x,y) | x ≥ y } является открытым подмножеством декартова произведения X × X, т.е. если набор товаров x₀ строго предпочтительнее набора y₀, то при малом изменении каждого из этих наборов отношение строгого предпочтения сохраняется.

Точкой насыщения называется наиболее предпочтительный набор х ∈ Х, т.е. такой, что x ≥ y для всех х ∈ Х. Если Х не содержит точки насыщения, то говорят, что имеет место ненасыщаемости, то х > у (ненасыщаемость: больший набор всегда предпочтительнее меньшего).

На непрерывном множестве потребительских наборов можно задать числовую функцию u(x).

Функция u(x), определенная на множестве Х, называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения f, если u(х) ≥ u(у) тогда и только тогда, когда x f y.

Для каждого потребителя такое представление многовариантно.

Математики называют отношение рефлексивным, если X < X для всякого X; симметричным, если X < Y влечет, что и Y < X; транзитивным, если X < Y и Y < Z влечет X < Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, Y либо X

Аксиома.

1) Отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивно и совершенно;

2) Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно;

3) Отношение предпочтения транзитивно;

4) Для любого X ∈ С множество предпочтительности Р_X= {Y:X < Y) выпукло;

5) Каждый товар желателен для индивида: если X ≤ Y, то и X ≤ Y, а если к тому же Х ≠ Y (т.е. х_i i для некоторого i), то Х< Y.

Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтений индивида, вообще говоря, живого человека. Что касается рефлексивности и совершенности, то они представляются вполне понятными. Ведь рефлексивность означает, что любой набор товаров равноценен сам себе. А совершенность означает, что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров. Пятое свойство также понятно и в разъяснениях не нуждается.

Какой смысл в четвертом свойстве системы предпочтений? Выпуклость означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто только какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль, один сахар, кофе, хлеб, хотя бы и в большем количестве).

Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается потребителем, но если ему объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров.

5. Потребительская корзина

Положение каждого потребителя с точки зрения наличия у него товаров, мы можем выразить с помощью потребительской корзины. В каждый данный момент времени потребителю доступно конечное число товаров, причем потребление некоторых из них должно быть не на нулевом уровне.

– индекс товаров.

– индекс потребителя.

– количество товаров вида j в системе (запас блага j в системе).

– количество товара вида j, находящегося в распоряжении потребителя под номером k.

– условие частной собственности (нет ничейных товаров).

– векторная величина; набор потребительских товаров у потребителя k.Некоторые значения могут быть равны 0 (нет товаров).

N=3

Получаем аналог N-мерного пространства, его положительную часть.

Любой точке этого пространства соответствует некий товарный набор. Все возможные товарные наборы, взятые вместе, образуют это пространство – пространство благ. Наша задача: для отдельно взятого потребителя научиться определять полезность каждого набора благ. В идеале, хорошо было бы иметь некоторую функцию, где вместо аргументов было бы количество благ. Подставляя в нее реальные значения, мы получили бы индекс полезности, с помощью которого могли бы сравнить любые наборы благ. Для большинства утверждений мы можем рассматривать товарное пространство на плоскости.

Q_1min, Q_2min – минимально необходимый набор благ.

B≥A; D≥B; D≥A; C≥A; D≥C; B ? С – основная проблема.

Заключение

Понятие пространства товара является важнейшим в курсе математической экономики и, как мы указали, означает множество наборов товаров. Набор товаров можно трактовать, как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Неотделимо от этого понятия следует также понятие цены, означающей себестоимость товара + набавки. Цена устанавливается на каждый товар индивидуально и определяет спрос и предложение на товар.

Из этих основополагающих понятий исходят и другие важные понятия математической экономики, такие как бюджетное множество, система предпочтений, функция полезности и т.д…, которые более подробно будут рассмотрены в других работах.

Список использованной литературы

1. В. И. Малыхин «Математика в экономике». Издательство: Инфра-М 2000

2. «Математика в экономике. Основы экономического анализа.». УСЭИ, Челябинск 2001. Составители: Забейворота В.И., Иванова В.Н., Завьялов В.Г.

3. Колемаев В.А. «Математическая экономика». Издательство: Юнити , 1998.

4. Ланкастер К «Математическая экономика». М., 1979.

5. Лифшиц А.Я. «Введение в рыночную экономику», M. , 1991

6. «Введение в математический анализ .Учебное пособие по математике для студентов всех специальностей заочной формы обучения», ГТУ 2007.

7. Н. Н. Данилов «Курс математической экономики». Издательство: Высшая школа, 2006 г.

8. ru.wikipedia.org – Википедия свободная энциклопедия

9. http://mylearn.ru/kurs/29 - Математически модели в экономике

10. http://www.mathematica.ru

1 ГОСТ Р 51303-99: «Товар — любая вещь, не ограниченная в обороте, свободно отчуждаемая и переходящая от одного лица к другому по договору купли-продажи.»