183633 (Пространство товаров. Цены)

Курсовая Работа

По дисциплине: математическая экономика

На тему: «Пространство товаров. Цены »

Выполнил:

Проверил:

2009

Оглавление

Введение

1. Векторы

2. Линейные пространства

3. Пространство товаров, цены.

4. Пространство товаров и система предпочтений

5. Потребительская корзина

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Сегодня товаром называют всё, что можно продать¹. Часть современных товаров невозможно отнести к предметам: электроэнергия, информация, квоты, рабочая сила. Часть товаров никогда непосредственно не удовлетворяет человеческих потребностей и не используется в технологических процессах: ценные бумаги, деньги (особенно бумажные и электронные). Над частью товаров покупатели не получают полного права собственности: компьютерная программа, фонограмма, видеокассета. Сегодня самостоятельным товаром может выступать любое право на что-либо. При изготовлении вещи сразу же возникают различные права на эту вещь. В начале развития товарного обмена сама вещь была носителем всех прав, которые передавались вместе с передачей вещи и отдельно не вычленялись. Возможно, первым отделилось право пользования в виде аренды. Организационное, юридическое, техническое развитие общества позволило разделить некогда единое право собственности на большое число отдельных прав и независимо друг от друга передавать их от одного лица к другому. Сегодня вещь часто передается как приложение к приобретённому праву (полной собственности, пользования, прослушивания). Таким образом, товаром можно назвать передаваемое другому лицу право на что-либо, которое может сопровождаться передачей вещей.

Пространство товаров — множество всех возможных наборов благ (товаров), потенциально доступных потребителям – ключевое понятие мат. экономики, которое мы подробнее рассмотрим в данной курсовой.

1. Векторы

Вектором называется упорядоченный набор чисел. Так, (1, 3, 7) есть вектор. Обозначим его кратко P тогда Р = (1, 3, 7). Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в наборе называются компонентами, вектора. Так, в векторе Р число 1 есть 1-я компонента, число 3 - 2-я, число 7 - 3-я компонента. Число компонент вектора называется его размерностью. Следовательно P - трехмерный вектор.

Пример 1. Пусть завод производит мужские, женские и детские велосипеды. Тогда объем его производства V за год можно записать как вектор (M, L, D), где М – объем производства за год мужских велосипедов, L – женских, D – детских. Например пусть объем производства в 1996 году был V₉₆ = (1000, 800, 4000). Предположим, что план производства на 1997 год на 10% больше объема производства в 1996 году, тогда этот план есть вектор V₉₇ = (1100, 880, 4400). Пусть торговая фирма «Велосипеды» покупает половину всей продукции завода, тогда в 1996 году она купила W = (500, 400, 2000). Предположим, что в стране всего 3 велосипедных завода, объемы производства которых в 1996 году были Q₁ = (1000, 800, 4000), Q₂ = (1000, 600, 2000), Q₃ = (2000, 1600, 8000). Тогда все три завода произвели Q = (4000, 3000, 14000), т.е. 4000 мужских, 3000 женских, 14000 детских велосипедов. Можно также отметить, что Q₃=2Q₁, т.е. третий завод произвел в 2 раза больше велосипедов каждого вида, чем первый завод.

Приведенные выше векторы V₉₆, V₉₇, W, Q₁, Q₂, Q₃ и т.д. – это примеры конкретных векторов. Произвольный трехмерный вектор можно обозначить (x₁, x₂, x₃) или кратко X. В векторе Х компонента х₁ есть первая компонента, х₂ – вторая, х₃ – третья. Произвольный четырехмерный вектор можно обозначить (х₁, х₂, х₃, х₄), и если n – какое-нибудь натуральное число, то (х₁, … ,х_n) обозначает произвольный n-мерный вектор.

Векторы бывают двух видов – векторы-строки и векторы-столбцы. Все вышеприведенные были векторы-строки. Векторы-строки записываются в виде упорядоченной строки, а векторы-столбцы в виде упорядоченного столбца (нумерации компонент вектора-столбца идет сверху). По типографским соображениям удобнее иметь дело с векторами-строками. Однако иногда необходимо использовать векторы-столбцы. Векторы широко используются во всех областях науки, в том числе в экономической. Многие обозначения при использовании векторов очень компактны, при этом не теряют в наглядности и содержательности.

Примечание 1. Вообще-то в математике понятие «вектор» многозначно. Уже в школе в курсе физики вектор понимался как направленный отрезок с фиксированным началом (точкой приложения силы). В геометрии иногда под вектором понимается преобразование плоскости или пространства специального вида (перемещение). В дальнейшем такое понимание вектора иногда будет использоваться.

Примечание 2. В математике понятие «вектор» может обозначать упорядоченный набор не только чисел, но и любых объектов, т.е. когда 1-я компонента вектора обозначает (или есть) элемент некоторого множества M₁, 2-я компонента — элемент множества М₂ и т.д. Это более общее понятие вектора.

В примере 1 мы уже умножали вектор на число. Действительно, Q₃ = 2Q₁,. В этом же примере мы сложили три вектора Q₁ + Q₂ + Q₃ и получили их сумму Q. Действия с векторами очень естественны и весьма напоминают обычные действия с числами. Можно сказать, что действия с векторами являются естественным распространением действий над числами на более широкую область.

Любой вектор можно умножить на любое число. Для этого каждая компонента вектора умножается на это число и эти произведения образуют вектор-результат.

Умножим вектор U = (2, 3) на 3, Получим вектор (6, 9). Его естественно обозначить 3U.

Умножим вектор Q₁ - (1000, 800, 4000) на 2. Получим вектор (2000, 1600, 8000), равный Q₃. Итак, Q₃ = 2Q₁, что и послужило нам основанием сказать выше, что 3-й велосипедный завод произвел в 2 раза больше велосипедов, чем 1-й, (Иногда, впрочем, при умножении вектора содержательный смысл вектора-результата теряется. Например, при умножении вектора Q₁, на 1/3 в векторе-результате 2-я компонента не целое число и ее нельзя трактовать как число велосипедов.)

Любые два вектора одной размерности можно сложить. Для этого складываются первые компоненты, затем вторые и т.д. Эти суммы образуют вектор-результат.

Сложим вектор Q₁ = (1000, 800, 4000) и Q₃ = (2000, 1600, 8000).

Получим вектор К = (3000, 2400, 12000). Проверьте, что К = 3Q₁.

Однако векторы разной размерности складывать нельзя.

Операции умножения вектора на число и сложения векторов обладают следующими свойствами:

а) сложение векторов ассоциативно, т.е. (Х+ Y) + Z = Х + (Y+Z) — это свойство позволяет складывать любое конечное число векторов (так, в примере 1 была найдена сумма трех векторов Q₁ + Q₂ + Q₃

б) сложение векторов распределительно по отношению к умножению на число, т.е. λ (Х + Y) = λ X+ λY.

Не будем описывать некоторые дальнейшие свойства операций над векторами, скажем лишь еще раз о сходстве операций над векторами с обычными операциями над числами.

Но есть и некоторые отличия операций над векторами от операций над числами. Так, для любых чисел а и b ≠ 0 можно узнать, «во сколько раз» a больше b, т.е. найти а/b. Но для двух векторов это сделать, в общем, нельзя. Например, для Е = (7, 1) и N = (1, 1) нет такого λ, чтобы Е = λN.

Два вектора называются равными, если они равны покомпонентно, т.е. если равны их первые компоненты, вторые и т.д. Итак, если Х =(x₁, … , x_n), Y =(y₁, … , y_n), то Х = Y если и только если х_n = y_n. Как видно из определения равенства, лишь для векторов одинаковой размерности можно говорить о равенстве или неравенстве этих векторов. Для векторов разной размерности говорить об их равенстве бессмысленно.

Описанные действия с векторами были иллюстрированы на примере векторов-строк. Действия с векторами-столбцами точно такие же, в результате получаются, конечно, также векторы-столбцы. Векторы-строки и векторы-столбцы одинаковой размерности связаны операцией транспонирования. Она превращает вектор-строку в вектор-столбец и, наоборот, вектор-столбец в вектор-строку. Эта операция обозначается верхним индексом ^т. Пусть U= (2, 3), тогда U^T = (²₃). Легко понять, что операция транспонирования, осуществленная последовательно дважды, дает исходный вектор: (X^T)^T = X, каков бы ни был вектор X — строка или столбец.

Скалярное произведение векторов. Пусть Х =(x₁, … , x_n), Y =(y₁, … , y_n) — векторы одинаковой размерности, тогда число x₁y₁ + … + x_ny_n называется скалярным произведением векторов X и Y и обозначается X·Y. Приведем без доказательств (они очень просты) свойства скалярного произведения:

а) Х· = Y·X;

б) Х· (Y+ Z) = Х·У + Х·Z

в) Х· (λY) = λ (Х·Y) для любых векторов X, Y и любого числа λ.

2. Линейные пространства

Линейная зависимость и независимость векторов. Пусть Rⁿ обозначает множество всех n-мерных векторов-строк. Заметим, что это не просто множество — Rⁿ несет определенную структуру. Именно любой вектор Х∈ Rⁿ можно умножить на любое число λX и результат — вектор λX есть снова элемент множества R_n. Сумма двух и даже любого конечного числа векторов из Rⁿ снова есть элемент Rⁿ. Кроме того, операции умножения вектора на число и сложения векторов связаны друг с другом определенными соотношениями (см. п. 2).

Во множестве Rⁿ есть уникальный вектор 0 = (0, ..., 0). Его роль вполне аналогична роли числа 0 во множестве чисел. Так, 0·X = 0 и X + 0 = X для любого Х∈ Rⁿ .

Вектор X, удовлетворяющий неравенству X > 0, называется неотрицательным. Неотрицательный вектор — это в точности тот, все компоненты которого неотрицательны. Вектор (2, 3) является неотрицательным, а вектор (-2, 4) — нет, ибо его 1-я компонента не является неотрицательным числом.

По всем этим причинам Rⁿ называют n-мерным числовым (или арифметическим) линейным пространством. Слово «числовое» в названии линейного пространства подчеркивает, что элементами такого пространства являются векторы, компоненты которых есть числа.

Вектор В = (b₁, …, b_m) называется линейной комбинацией векторов A = (a₁₁, …, a_m1), …, An = (a_1n, …, a_mn) той же размерности, если найдутся числа х₁, ..., х_n такие, что В = x₁A₁ + ... + х_nА_n. Следовательно, чтобы узнать это, надо решить систему из m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:

Узнаем, например, является ли вектор F = (1, 6) линейной комбинацией векторов H₁ = (1, 2), H₂ = (0, 2). Получаем совсем простую СЛАУ:

Ее решение: х₁ = 1, х₂ = 2. Следовательно, F = H₁ + 2H₂.

Система векторов называется линейно зависимой если какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае, т.е. когда никакой вектор системы не является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Например, система из трех вышеприведенных векторов F₁, H₁, H₂ линейно зависима, ибо F = H₁ + 2H₂

Пусть A — какая-нибудь система векторов, тогда ее подсистема ε называется базисом этой системы, если ε линейно независима, и любой вектор системы A есть линейная комбинация векторов из ε.

Пусть ε = (E₁, …, E_n). Если B ∈ A, то B = λ₁E₁ +... + λ_nE_n при некоторых λ₁, …, λ_n

Линейная комбинация λ₁E₁ +... + λ_nE_n называется разложением вектора В по векторам E₁... E_n, а числа λ₁, ..., λ_n называются коэффициентами этого разложения.

Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе ε.

3. Пространство товаров, цены

Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается х_i тогда некоторый набор товаров обозначается X = = (x₁,…, х_n). Как известно, упорядоченный набор n чисел называется n-мерным вектором, так что X есть n-мерный вектор. Вообще-то набор товаров надо считать вектором-столбцом, но по соображениям экономии места будем изображать его вектором-строкой. Будем рассматривать, как правило, только неотрицательные количества товаров, так что х_i ≥ 0 для любого i = 1, … ,n или Х≥ 0.

Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Это множество называется пространством потому, что в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, а не авианосцев). Набор товаров можно трактовать, как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Аналогично интерпретируются и операции с наборами товаров.