182997 (Середні величини та показники варіації у правовій статистиці), страница 2

Середня арифметична, яка обчислюється за даними варіаційного ряду, має ряд властивостей, які мають практичне значення при її обчисленні. Найголовніші властивості такі:

1. Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти.

2. Якщо від кожного значення варіанта відняти якесь число, то середня арифметична величина зменшиться на теж саме число.

3. Якщо до кожного значення варіанта додати якесь число, то середня арифметична величина збільшиться на теж саме число.

4. Якщо кожне значення варіанта поділити на якесь число, то середня арифметична величина зменшиться на теж саме число разів. Ця властивість дає змогу значно простіше обчислити середню арифметичну величину.

5. Якщо кожне значення варіанта помножити на якесь число, то середня арифметична величина збільшиться на теж саме число разів.

6. Якщо усі частоти (ваги) поділити (або помножити) на якесь число, то середня арифметична величина від цього не зміниться. Цією властивістю часто користуються, коли частоти (ваги) мають вигляд у відсотках до підсумку.

Дуже рідко в правовій статистиці застосовуються середня гармонічна – обернена величина середньої арифметичної із обернених значень варіантів. Застосування середньої арифметичної або гармонічної залежить від первинних даних. Якщо за ваги (частоти) береться не кількість одиниць сукупності, а величини, одержані внаслідок множення значень варіантів на кількість одиниць, тобто зразу маємо добуток хƒ, то в цьому разі обчислюється середня гармонічна. У правовій статистиці, як правило, такі дані не зустрічаються або зустрічаються дуже рідко. В інших галузях статистики ця величина застосовується для обчислення середньої врожайності, середньої продуктивності праці, середнього відсотка виконання плану тощо. До цього часу статистики так і не визначилися, за якою середньою слід обчислювати середній термін будівництва. За правилами математичної статистики (мажорантності середніх величин) середня арифметична завжди більша за середню гармонічну, особливо якщо йдеться про значний розмір показника.

Для розрахунку середньої величини за формулою середньої гармонічної зваженою необхідно виходити з логічного усвідомлення вихідних величин. Наприклад, кількість оштрафованих осіб – це складова частина загальної суми штрафу. Тому щоб встановити середній розмір штрафу (розрахункова величина) ми повинні його обраховувати за формулою середньої гармонічної зваженої.

Але може обчислюватися і середня гармонічна проста за формулою:

Дана формула використовується лише тоді, коли вага кожного варіанта дорівнює одиниці. На практиці таке практично не зустрічається.

Середня гармонічна зважена обчислюється за формулою:

де: Х значення ознаки, що варіює; М=Xf результат перемноження значення варіантів на їх ваги.

Якщо ми дійсно будемо розраховувати середній розмір стягнутих штрафів тим чи іншим органом або в тій чи іншій місцевості, то знаменник дробу буде мати реальний зміст – кількість оштрафованих осіб, які сплатили штраф.

Техніка обчислення середньої геометричної і середньої хронологічної, які в правовій статистиці застосовуються при обчисленні показників в рядах динаміки, наведена розділі Х цього підручника.

3. Поняття моди та медіани

Крім математично обчислених степенних середніх величин у статистиці застосовуються показники описового характеру – структурні середні, з яких найчастіше використовуються мода та медіана, які у впорядкованому ряду розподілу характеризують значення тенденцій окремих варіантів.

Модою в статистиці називається таке значення ознаки, яке зустрічається найчастіше. Якщо дані розташовані у вигляді дискретного ряду розподілу, то модою буде значення того варіанту, який має найбільшу частоту. Мода в статистиці застосовується тоді, коли слід охарактеризувати показник, який найчастіше зустрічається в сукупності. Наприклад, при вивченні цін на ринку встановлюємо ціни, які зустрічаються найчастіше; при встановленні найбільш ходового розміру взуття і одягу визначаємо той, який користується найбільшим попитом. Ці показники дають змогу спланувати, які товари необхідно виробляти в більшій кількості, а також які товари поставляти на ринок і за якими цінами.

Але в правовій статистиці такі показники застосовуються лише для опису сукупності, а не для наукової характеристики явища. Наприклад, маємо такі первинні дані про вік осіб, які вчинили злочини проти особи, в районі міста за місяць: 17, 25, 30, 31, 27, 28, 15, 18, 21, 22, 25, 24, 16, 24, 26, 19, 32, 35, 19, 17, 20, 21, 22, 23, 22, 26 (дані вибрані з первинних облікових документів без їх обробки). Порядок заповнення документів первинного обліку дає змогу позначити тільки ціле число повних років життя. Тому в цьому разі ми можемо обчислювати моду за принципом дискретного ряду розподілу, хоча первинні дані відносяться до інтервального варіаційного ряду. Мода в нашому прикладі дорівнюватиме 22 роки, оскільки цей показник зустрічається найчастіше (три рази).

В інтервальному варіаційному ряду розподілу легко відшуковується лише модальний інтервал, а сама мода визначається приблизно.

Формула обчислення моди в інтервальному ряду має такий вигляд:

М0 = Х0 + і ,

де: М0 – мода; X0 – нижня границя модального інтервалу; i – величина модального інтервалу; f1 – частота інтервалу, який передує модальному; f2 – частота модального інтервалу; f3 – частота інтервалу, який слідує після модального.

За даними табл. 2 обчислимо моду. Модальний інтервал становить від 18 до 24 років, тому що йому відповідає максимальна частота (48 засуджених). Тоді мода матиме такий вигляд:

М едіаною в статистиці називають значення варіанти, яка ділить впорядкований ряд розподілу на дві рівні за чисельністю одиниць сукупності частини, знаходиться у середині ряду.

Якщо усі значення дискретного ряду записати в певному порядку (зростання або зменшення значення показників), то це буде значення, яке знаходиться у середині ряду. За наведеним раніш прикладом обчислимо медіану. Спочатку впорядкуємо дані про вік осіб, які вчинили злочини проти особи, розташувавши дані в ранжованому порядку зростання показників віку: 15, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 35. Якщо б ми мали непарну кількість одиниць ряду, то центральна з них і була б медіаною. В нашому ж прикладі наявне парне число одиниць сукупності. Тоді медіана обчислюється як середня арифметична проста двох центральних варіантів або за формулою (∑ƒ + 1) : 2. До загальної кількості одиниць сукупності необхідно додати одиницю і одержане число поділити на два. В нашому прикладі було наведено 26 особи, які вчинили злочини. За наведеною формулою знаходимо місце медіани (26 + 1):2 = 13,5. Медіана знаходиться посередині між 13 і 14 значеннями і дорівнює 22,5 рокам, тобто між 22 і 23 роками.

Складніше обчислюється медіана в варіаційному ряду. Існує така формула для її знаходження:

де: Ме – медіана; хн – нижня границя медіанного інтервалу; І – величина медіанного інтервалу; Σf – сума частот ряду; SМе-1 – сума накопичених частот інтервалу, попереднього медіанному; fМе – частота медіанного інтервалу.

За якою б формулою не обчислювали медіану, сутність її не видозмінюється. Медіана в якому завгодно випадку повинна поділити варіаційний ряд на дві рівні частини за сумою частот. Тому спочатку в інтервальному ряду розподілу знаходимо інтервал, в якому розташована медіана, а потім приблизно обчислюємо саму медіану. За даними табл. 10 обчислимо медіану. З`ясовуємо, що інтервал, в якому знаходиться медіана, дорівнює від 18 до 24 років. Потім за формулою, яка наведена, обчислюємо медіану:

Медіана як показник має перевагу перед іншими видами середніх величин, тому що вона не залежить від наявності чи відсутності показників в окремих інтервалах. На її розмір впливає лише порядок розташування показників, а також те, наскільки вірно побудовано ряд розподілу. В такому разі її обчислення нескладне.

Слід зауважити, що мода і медіана є специфічними видами середніх величин, тому що вони завжди характеризують лише центр розподілу статистичної сукупності.

Моду, медіану та середню арифметичну слід завжди використовувати у сукупності, оскільки вони характеризують ряд розподілу неоднозначно. Якщо ряд симетричний, то вони повністю співпадають.

В нашому прикладі, мода дорівнює 22 роки, медіана – 22,5 роки, а середній вік, який обчислюється за середньою арифметичною, – 23,3 роки (додаємо усі первинні дані (15 + 16 + 17 + … + 35 = 605) і ділимо їх на кількість осіб – на 26). Наведений ряд розподілу має асиметрію, але не значну. За даними табл. 10, маємо такі результати: середній вік – 26,3 роки; мода – 21,4 роки; медіана – 23,1 роки, тобто цей ряд має значно більшу асиметрію.

4. Показники варіації та способи їх обчислення

Середні величини мають велике теоретичне і практичне значення, оскільки вони дають змогу однією величиною охарактеризувати сукупність однотипних явищ. Проте для всебічної характеристики таких явищ їх не достатньо. Статистичній сукупності притаманні коливання у кожної окремої одиниці, які у математиці називаються варіацією. Ці коливання обумовлені тим, що статистичні сукупності виникають та існують під впливом багатьох взаємопов`язаних причин. Деякі автори вважають, що на злочинність впливають від 230 до 250 різних факторів.

Причини, які впливають на суспільні явища, можуть бути основними та другорядними. З точки зору діалектики основні причини формують сукупність і впливають на середні показники, а також на знаходження центру розподілу. Другорядні причини обумовлюють варіацію ознак, сумісну їх дію, напрямки розвитку явища.

Істотним при цьому є те, що повністю дати оцінку явищу за допомогою тільки середніх показників неможливо: коливання окремих ознак в різних сукупностях можуть бути значними і незначними, а середні величини при цьому будуть однакові. Для підтвердження цієї тези наведемо дані про розподіл засуджених за двома різними складами злочинної діяльності за строками позбавлення волі (табл. 3).

Таблиця 3.Розподіл засуджених за строками позбавлення волі за двома складами злочинної діяльності

В обох прикладах ми взяли по 100 осіб засуджених. В кожному з них середній строк позбавлення волі, який обчислено за середньою арифметичною зваженою, має однакове значення, котре дорівнює 6 рокам (600 : 100). Однак, навіть на перший погляд видно, що сукупності є різними. В першій сукупності більшість осіб дійсно одержала середній строк позбавлення волі, в другій – навпаки, більшість осіб одержала мінімальні та максимальні строки позбавлення волі за цим складом злочинів.

Щоб встановити, як відрізняються наведені сукупності, а також які межі коливання має ознака, необхідно обчислити такі показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації. Кожний з цих показників має певні аналітичні переваги при вирішенні тих чи інших завдань статистичного аналізу.

Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки у сукупності. Залежно від того, в якому вигляді наведені первинні дані, техніка обчислення цього показника різна: це може бути різниця між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого інтервалу або різниця між середніми значеннями цих інтервалів. Обраховується за формулою:

R = xmax – xmin ,

де: R – розмах варіації; xmax – найбільше значення ознаки в сукупності; xmin – найменше значення ознаки в сукупності.

За даними табл. 3 в першому прикладі розмах варіації склав 10 років (11 – 1), а в другому – 6 років (9 – 3).

Розмах варіації відображає тільки крайні значення ознаки, тому він є головним показником у тих випадках, коли варіанти повторюються один раз. В інших випадках розмах варіації застосовується для того, щоб одержати загальне уявлення про варіацію ознаки у всієї сукупності. Наприклад, розмах варіації віку у студентів різних форм навчання має бути різним, але він завжди буде меншим за розмах варіації віку всього населення певного регіону. В деяких регіонах він може бути більше 100 років.