Определим прибыль на k-м шаге (показатель эффективности k-гo шага), соответствующую каждому из альтернативных управлений и^с и и³. Выбирая на k-м шаге управление и^с, мы сможем произвести продукции стоимостью f(t) на старом оборудовании, что потребует затрат r(t), поэтому прибыль равна f(t)—r(t). Обозначим ее через

(6.2)

При управлении и³ получим доход от продажи старого оборудования (ликвидную стоимость) и f(0) от произведенной на новом оборудовании продукции, затратив р на приобретение нового оборудования и r(0) на содержание нового оборудования. В этом случае прибыль (обозначим ее через ) составляет

(6.3)

Построим обратную вычислительную схему решения данной задачи методом ДП.

Обозначим через условную максимальную прибыль, полученную за n—k+l шагов использования оборудования с k-гo по n-й шаг включительно, если к k-му шагу возраст оборудования составлял лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации. Соответствующее условное оптимальное управление на k-м шаге обозначим через . Условный максимальный доход за последний n-й промежуток составляет

(6.4)

Сравнив эти две величины для всех возможных значений t<n получим значения и соответствующие значения . Предположим, что для всех значений известна максимальная прибыль, полученная за n—k шагов с (k+1)-гo по n-й включительно. Поэтому основные рекуррентные соотношения можно записать в виде

(6.5)

В уравнении (6.5) величина —условная максимальная прибыль, полученная за n—k шагов, если к началу (k+l)-гo шага система находилась в состоянии (возраст оборудования составлял один год).

•Процесс условной оптимизации на каждом шаге, начиная с n-го, сводится к сравнению двух величин в уравнениях (6.4) и (6.5) и выбору наибольшей из них. Этап условной оптимизации заканчивается, как обычно, получением последовательностей функций

На этапе безусловной оптимизации для (возраст оборудования в начале процесса) получаем , а далее по цепочке: , из (6.1) находим ,, откуда , и т. д. Оптимальное управление представляет собой набор управлений u^с и и³.

Замечание. В задаче 1 не рассматривался вопрос о том, что происходит с оборудованием после п лет его эксплуатации. Можно предположить, что п неограниченно велико и, рассматривая процесс для достаточно большого значения п, получить закономерность в оптимальном управлении в виде периодически повторяющихся циклов замены и использования старого оборудования, (такой пример будет рассмотрен ниже). Можно также предположить, что после л лет использования оборудование продается и ликвидная стоимость присоединяется к общей прибыли. Во втором случае уравнения (6.4) принимают вид

(6.6)

Рассмотрим некоторую модификацию задачи 1.

Задача 2. В задаче 1 предположим, что ежегодные затраты на эксплуатацию, ликвидная и начальная стоимость зависят не только от возраста оборудования t, но и от времени, прошедшего с начала процесса. Пусть r_h{t)—затраты на эксплуатацию в течение k-гo года, если со времени последней замены прошло t лет; —ликвидная стоимость оборудования возрастав лет, если оно продается в начале k-гo года; р_k — начальная стоимость оборудования, если оно куплено в начале k-гo года.

Требуется определить оптимальные сроки замены старого оборудования новым в течение п лет с тем, чтобы минимизировать затраты на его содержание.

Показатель эффективности в данной задаче — суммарные затраты на эксплуатацию оборудования. Затраты на k-м шаге, как и прежде, зависят от выбранного управления. При управлении и_k= и^с эти затраты равны , а при управлении и_k =u³ составляют

Пусть Z_k*{t)—условные минимальные затраты за n—k+1 шагов с k-гo по n-й включительно, если к началу k-гo шага возраст оборудования составлял t лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации.

Рекуррентные соотношения для Z_k*{t) имеют вид

(6.7)

Для n-го шага соответственно получим

(6.8)

Вычислительный процесс строится как и в предыдущей задаче.

Введение в условие задачи функций, оценивающих затраты, выпуск продукции и стоимость, зависящие не только от возраста t, но и непосредственно от k, т. е. от времени, прошедшего с начала процесса, является косвенным способом учета технического прогресса.

Как уже отмечалось неоднократно, модели ДП очень гибки и в смысле возможностей анализа чувствительности к вариации исходных данных, и в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Так, например, аналогичная модель может быть построена для задач, в которых ежегодно рассматривается более двух вариантов управления («сохранение», «замена», «реконструкция» и т. д.). Можно рассматривать задачи, в которых затраты или прибыль зависят не только от возраста оборудования, но и еще от одного параметра, например, времени, прошедшего после восстановительного ремонта, и т. д.

Замечание. Если функции затрат, ликвидная и начальная стоимости в задаче 2 зависят от времени τ, прошедшего с начала эксплуатационного периода, и τ не совпадает с k, то состояние системы следует характеризовать двумя параметрами τ и t.

В заключение главы рассмотрим задачу определения оптимальной стратегии замены оборудования при бесконечном плановом периоде.

Задача 3. Определить оптимальные сроки замены оборудования при неограниченном времени его использования, если известны: р — начальная стоимость; r(t) — эксплуатационные затраты на содержание оборудования возраста t лет в течение ближайшего года; —ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.

В задаче будем минимизировать затраты. Параметр состояния есть время: . Процесс, является бесконечным, поэтому условные минимальные затраты за все последующее время, начиная с k-гo года, зависят только от и не зависят от k.

При рассмотрении бесконечного процесса необходимо ввести так называемый дисконтирующий множитель 0<α<1, позволяющий привести сумму в последующий момент времени к настоящему моменту с учетом ежегодного роста по правилу сложных процентов. Если имеется первоначальная сумма а руб., то через п лет она составит, при процентной ставке р%, сумму руб. Наоборот, конечную сумму а руб. через п лет можно получить от первоначальной суммы руб. Множитель называется коэффициентом дисконтирования.

Учитывая этот множитель и повторяя весь ход рассуждений, изложенный в предыдущих задачах, получим следующие функциональные уравнения:

(6.9)

Поскольку конечного шага нет, обратный ход выпол-. нить нельзя, поэтому решим уравнения явно следующим образом.

Для 1-го шага имеем , поэтому

Так как то выражение, стоящее в первой строке, всегда не больше выражения во второй строке. Поэтому , что соответствует сохранению оборудования.

Пусть оптимальным является решение о сохранении для первых N шагов и о замене на (N+1)-м шаге. Задача состоит в определении этого числа N. Запишем последовательность рекуррентных соотношений для этих N шагов:

Исключив из этих равенств последовательно Z*(2),Z*(3), … получим

(6.10)

Но для (N+ 1)-го шага по предположению оптимальным является решение о замене оборудования, следовательно,

Подставляя значение Z*(N) в равенство (6.10) и разрешая полученное при этом уравнение относительно Z*(0), найдем

(6.11)

Величина Z*(0) равна необходимому минимуму затрат на весь процесс. Теперь, полагая последовательно N = 1, 2, 3, .... вычисляем значение Z*(0) и находим среди них наименьшее.

Заключение

В данной курсовой работе рассмотрены виды математических моделей, используемых в экономике и менеджменте, а также их классификация.

Особое внимание в курсовой работе уделено оптимизационному моделированию.

Изучен принцип построения моделей линейного программирования, также приведены модели следующих задач:

• Задача о раскрое материалов;

• Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия;

• Задача о диете;

• Транспортная задача.

В работе представлены общие характеристики задач дискретного программирования, описан принцип оптимальности и уравнение Беллмана, приведено общее описание процесса моделирования.

Для построения моделей выбраны три задачи:

• Задача оптимального распределения ресурсов;

• Задача об оптимальном управлении запасами;

• Задача о замене.

В свою очередь для каждой из задач построены различные модели динамического программирования. Для отдельных задач приведены числовые расчеты, в соответствии с построенными моделями.

Список литературы:

1. Вавилов В.А., Змеев О.А., Змеева Е.Е. Электронное пособие “Исследование операций”

2. Калихман И.Л., Войтенко М.А. “Динамическое программирование в примерах и задачах”, Москва ”Высшая школа”, 1979

3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. “Исследование операций”, Москва, 2003

4. Материалы из сети Internet.