LINALG6 (Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы))

52

1.13. Билинейные и квадратичные формы

Введем понятие декартова (или прямого) произведения линейных пространств.

Определение 1.18 Декартовым (прямым) произведением линейных пространств и называется множество всех упорядоченных пар векторов .

(Под упорядоченной парой векторов понимается произвольная двухэлементная последовательность векторов, в которой первый элемент берется из пространства , а второй - из ).

Декартово произведение обозначается .

Вводя в операции сложения и умножения на число по формулам

,

получим, что декартово произведение линейных пространств само будет линейным пространством, в котором нулевым вектором окажется пара , а вектором, противоположным вектору вектор .

Нетрудно доказать также, что

Определение 1.19 Билинейным функционалом на пространстве называется такое отображение , что для любых векторов и любого вещественного

В определении выше мы обозначили как . Можно было бы определить билинейный функционал как вещественнозначную функцию из произвольного декартова произведения , но мы ограничимся случаем .

Таким образом, билинейный функционал есть не что иное, как числовая функция, определенная на упорядоченных парах векторов некоторого конечномерного линейного пространства (числовая функция двух векторных аргументов) и линейная по каждому из аргументов. Линейный функционал есть числовая функция одного векторного аргумента.

Простейшим и наиболее распространенным примером билинейного функционала служит обычное скалярное произведение векторов (евклидова пространства).

Еще один пример - это определитель второго порядка. Его можно рассматривать как билинейный функционал на .

Определение 1.20 Билинейный функционал на называется симметрическим, если для любых векторов :

Если же

,

то билинейный функционал называется кососимметрическим (или антисимметрическим).

Скалярное произведение - симметрический билинейный функционал, а определитель второго порядка - кососимметрический.

Докажем теперь следующую важную теорему:

Теорема 1.9 Для любого билинейного функционала , определенного на конечномерном линейном пространстве , существует единственная относительно выбранного базиса в пространстве матрица такая, что

,

где предполагается, что .

Доказательство. Вычислим

В проведенных выше выкладках сначала мы используем линейность по первому аргументу и «пропускаем» функционал под первую сумму, затем точно также используем линейность по второму аргументу. В результате получаем двойную сумму.

Обозначим , и матрицу введем как . Элементы этой матрицы суть значения нашего билинейного функционала на парах базисных векторов.

Тогда

(1)

Данную двойную сумму можно расписать так:

,

т.е., строка умножается на матрицу , в результате чего получается строка , умножаемая затем на столбец , что дает в итоге число - значение билинейного функционала на данной паре векторов.

Итак, окончательно

. (2)

Теорема доказана.

Матрица , которую мы только что определили, называется матрицей билинейного функционала в базисе .

Само же представление билинейного функционала в виде (1), или (2), называется билинейной формой (от переменных ).

Множество всех билинейных функционалов на само является линейным пространством, совпадающем с . Как и в случае линейных форм, мы можем рассмотреть базис этого пространства, состоящий из всех функционалов таких, что

при .

Тогда (1) можно переписать в виде:

(3)

Или, для самого функционала :

Нетрудно показать, что размерность пространства билинейных функционалов равна (где ).

Выясним теперь, как преобразуется матрица билинейного функционала (называемая также и матрицей билинейной формы) при переходе к новому базису в пространстве .

Пусть новый базис .

Тогда

Так как матрица билинейной формы единственная для фиксированного базиса, то матрица в базисе есть

(4)

Закон преобразования (4), называемый иногда тензорным законом преобразования, отличается от закона преобразования матриц линейных операторов

тем, что вместо матрицы, обратной к матрице перехода, стоит транспонированная матрица.

Помимо рассмотренных билинейных функционалов на , т.е., отображений типа , весьма важную роль играют билинейные функционалы типов , и , т.е. такие, в котором один или оба аргумента берутся из сопряженного пространства. Все эти билинейные функционалы (включая и рассмотренные нами функционалы на ) называются тензорами второго ранга. Мы, однако, ни в какой степени не будем заниматься теорией тензоров.

Последнее, что мы обсудим в этом разделе в связи с билинейными формами, это представление их в евклидовом пространстве.

Теорема 1.10 Для любого билинейного функционала на конечномерном евклидовом пространстве однозначно определены такие линейные операторы и , что для любых векторов

Доказательство. Выберем в пространстве ортонормированный базис , и пусть - матрица заданного билинейного функционала в этом базисе.

Матрица , согласно теореме 1.4 (п. 1.9) определяет однозначно линейный оператор такой, что его матрица в данном базисе совпадает с матрицей . При этом для любого вектора

и

Но, с другой стороны

,

где линейный оператор определен матрицей .

Единственность операторов и доказывается аналогично тому, как доказывалась единственность вектора для линейной формы.

Частным случаем билинейной формы является квадратичная форма.

Определение 1.21 Квадратичный функционал на линейном пространстве есть отображение такое, что (для всякого ), и - симметрический билинейный функционал.

Таким образом, квадратичный функционал есть числовая функция векторного аргумента, определенная на базе некоторого симметрического билинейного функционала, аргументы которого отождествлены.

Вводя в базис, получим матричное представление квадратичного функционала:

называемое квадратичной формой от переменных. Матрица называется в этом случае матрицей квадратичной формы в данном базисе. При переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется в соответствии с тензорным законом (4). Нетрудно доказать, что матрица квадратичной формы как матрица всякого симметрического билинейного функционала является симметрической (в любом базисе).

В евклидовом пространстве квадратичная форма может быть записана в виде

,

где однозначно определяемый данной формой линейный оператор таков, что

.