УТС_3 (Куча готовых ДЗ)

Московский Государственный Технический Университет

им. Н.Э. Баумана.

Задание№3 по курсу:

УТС

Выполнил студент:

Пестриков М.И.

Группа Э1-92

Проверил:

Шацкий О.Е.

Москва, 2005г.

Расчет.

.

Вводим в схему единичную отрицательную обратную связь и размыкаем схему. За тем записываем функцию переходного процесса разомкнутой схемы:

(1)

Запишем данное уравнение в операторной форме и т.к. рассогласование на выходе стремится к 0, то:

(2).

Изображение заменим на характеристическое уравнение первообразной САУ:

(3).

1. Определение устойчивости системы.

!!! Так как все коэффициенты положительные, то данная система устойчива. Это необходимое, но недостаточное условие !!!

Необходимо построить матрицу Гурвица и тогда достаточным условием будет такое соотношение в численных значениях коэффициентов, чтобы любой определитель имел положительное значение.

Так как характеристическое уравнение 3го порядка, то:

a₀>0

Δ – определитель.

Δ₁=8,4·10^-6>0;

Δ₂=8,4·10^-6·7,2·10^-3-2,05·4·10^-9=5,228·10^-8>0 (достаточное условие);

Δ₃=2,05·Δ₂=2,05·5,228·10^-8=10,7174·10^-8>0 (т.к. а₃>0).

Так как матрица Гурвица положительна, то уравнение (3) сходится, т.е. система устойчива.

1. Определение границ устойчивости.

Заменим параметры регулирования К_{ус р.д.} и Т_р.д. на А и В соответственно. И пересчитаем передаточную функцию (1):

- остается неизменным, т.к. регулируемые параметры в него не входят;

Т.к. знаменатель передаточной функции характеризует переходной процесс y(t), то уравнение знаменателя будет являться характеристическим уравнением (Деноменатор):

S→λ;

D(λ)=(B² λ ²+1,6B λ +1)(0,004 λ +1)+(B² λ ²+1,6B λ +1)+A=0;

D(λ)=0,004B² λ ³+1,6·0,004B λ² +0,004 λ +1+ B² λ ²+1,6B λ +1+B² λ ²+1,6B λ+ +1+A;

D(λ)=0,004B² λ ³+(6,4·10^-3B+2B²)λ²+(0,004+3,2B)λ+(2+A)=0, (4)

где а₀=0,004В²;

а₁=6,4·10^-3В+2В²;

а₂=0,004+3,2В;

а₃=2+А.

1. Определяем границу устойчивости по «0» действительному корню.

Для этого примем, что а₃=0→ В=f(А)→ А=-2.

D(λ)= λ (0,004B² λ ²+(6,4·10^-3B+2B²)λ+(0,004+3,2B))=0,

λ=0→ А=-2.

1. Определяем границу устойчивости по «- » действительному корню.

: последнее слагаемое равно 0. Отсюда следует, что в характеристическом уравнении а₀=0. Но т.к. а₀=0,004В², то границы устойчивости по «- » действительному корню никакой нет.

1. Определение колебательной границы устойчивости.

Колебательная граница устойчивости определяется при условии: λ_1,2=±j·ω.

Тогда D(λ, А, В)=0→ D(ω, А, В)=0.

D(ω)= 0,004B² j³ω ³+(6,4·10^-3B+2B²)j²ω²+(0,004+3,2B)jω+(2+A)=0.

Записываем параметрические уравнения:

Re(ω,A,B)=X(ω,A,B)= -(6,4·10^-3B+2B²) ω²+(2+A)=0,

Im(ω,A,B)=Y(ω,A,B)= -0,004B²ω ³+(0,004+3,2B)ω=0.

Определяем условие конформности изображения и оригинала. Для этого составляем определитель из частных производных:

Коэффициент В в нашем случае имеет лишь положительные значения и должно быть как можно меньше, т.к. В=Т_р.д. – время регулирования давления (чем меньше, тем лучше). Поэтому Δ>0 и определяется лишь знаком ω. Значит изображение и оригинал конформны.

Для построения колебательной границы устойчивости записывается и решает параметрические уравнения относительно ω:

Re(ω,A,B)=X(ω,A,B)= -(6,4·10^-3B+2B²) ω²+(2+A)=0,

Im(ω,A,B)=Y(ω,A,B)= -0,004B²ω ³+(0,004+3,2B)ω=0;

А=(6,4·10^-3B+2B²) ω²-2,

-0,004ω³В²+3,2ωВ+0,004ω=0;

;

Строим графики А(ω) и В(ω), чтобы в дальнейшем построить график В=f(А).

1. Определение области действительной устойчивости.

После предварительного нахождения области предварительной устойчивости необходимо провести поверочный расчет. Для этого внутри этой области выбираем конкретную точку.

А₁=1,

В₁=4.

Вводим численные значения А и В в характеристическое уравнение (4):

0,004·3² λ ³+(6,4·10^-3·3+2·3²)λ²+(0,004+3,2·3)λ+(2+1)=0,

где а₀=0,036;

а₁=18,0192;

а₂=9,604;

а₃=3.

Составляем Гурвициан:

,

а₀>0,

Δ₁=18,0192>0,

Δ₂=18,0192·9,604-0,036·2>0,

Δ₃=Δ₂·3>0.

а₁а₂>а₀а₃, т.к. условие алгебраического критерия Гурвициана выполняется, то область предполагаемой устойчивости этой точки можно считать областью действительной устойчивости для этой точки.

А₂=2,

В₂=2.

Вводим численные значения А и В в характеристическое уравнение (4):

0,004·2² λ ³+(6,4·10^-3·2+2·2²)λ²+(0,004+3,2·2)λ+(2+2)=0,

где а₀=0,016;

а₁=8,0128;

а₂=6,404;

а₃=4.

Составляем Гурвициан:

,

а₀>0,

Δ₁=8,0128>0,

Δ₂=8,0128·6,404-0,016·>0,

Δ₃=Δ₂·4>0.

а₁а₂>а₀а₃, т.к. условие алгебраического критерия Гурвициана выполняется, то область предполагаемой устойчивости этой точки можно считать областью действительной устойчивости для этой точки.