UTS (Ответы на экзаменационные вопросы по УТС), страница 2

решение разностного уравнения:

передаточная функция

7. Z-преобразование и его свойства. Две формы Z-преобразование. Обратное Z-преобразование и его вычисление с помощью вычетов.

Z-преобразование используется для определение изображения по Z от оригинала по изображению Лапласа без использования D-преобразования.

Обычно: X(s) X[nT] X(q) X*(z)

По Z-преоб: X(s)X*(z).

Две формы Z-преоб:

Рассмотрим свойства D-преобразования, поскольку Z-преобразование это модификация D-преобразования Z{F(q)}=F*_z(z,)=Res F(q) e^q (z/(z-eq))|_q=qv

Свойства Z-преобразования

1. Линейность.

D-преобразования линейной комбинации изображений по Лапласу F_v(q) (v=1,2,…..k) равно линейной комбинации соответствующих изображенийий дискретного преобразования по Лапласу:

1. Умножение изображения по Лапласу на экспоненциальную функцию.

1. Смещение изображения по Лапласу

Добавление к переменной q изображения по Лапласу комплексную  приводит к изменению изображения дискретного преобразования Лапласа по формуле:

1. Умножение изображений

1. Дифференцирование изображений

Пример

Пример 2

8. Описание дискретных систем во временной области и определение передаточной функции дискретной системы с помощью Z–преобразования.

Для описания д.с. во временной области обозначим через S(t) функцию, которая описывает один импульс шириной Т, где <1 и Т – время квантования. При амплитудно-импульсной модуляции входного непрерывного сигнала f(t), амплитуда a_s последовательности импульсов: S(t), S(t-T), S(t-2T), S(t-3T) и т.д., изменяется в зависимости от значений входного сигнала f(t) в дискретные моменты времени: f(0), f(T), f(2T) и т.д.

Здесь зависимость линейная, т.е. считаем что амплитуда импульсов пропорциональна значениям сигнала f(t). a_s = k_иf [nT], где k_и – коэффициент пропорциональности.

Тогда функция y(t), на выходе импульсного элемента во временной области описывается как: y(t) =  k_иf [nT]  S(t-nT).

Нахождение передаточной функции с помощью Z-преобразования

Z{x[n]} = z^-nx[n] = X*(z)

Если имеется D-преобразование можно получить Z-преобразование путем постановки z = e^q

D{x[n]} =  e^-qnx[n] = X*(q)

Пример 1. Найти передаточную функцию через Z-преобразование системы со ступенчатым воздействием. x[n] = 1,

Z{x[n]} =  z^-n = 1/(1-z^-1) = z/(z-1). Где |z| > 1

Пример 2 Найти передаточную функцию через Z-преобразование системы со входным сигналом x[n] = e^-n.

Z{x[n]} =  z^-n = 1/(1+(z e^)^-1) = z e^/(z e^+1) =z/(z- e^-). Где |z| > e^-

Пример 3 Найти передаточную функцию через Z-преобразование системы со входным сигналом x[n] = cos(n).

9. Применение Z-преобразования для определения передаточной функции дискретной системы. Особенности передаточной функции дискретной системы.

Передаточная функция импульсной системы - отношение изображения (D-преобразования) выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях:

Уравнение этой системы во временной области при нулевых начальных условиях:

Определим передаточную функцию как D-преобразование:

Также можно найти с помощью D – преобразования передаточной функции приведенной непрерывной части (ПНЧ):

, где .

Передаточная функция ПНЧ находится: , где .

Связь между W_T(s) и W(q):

Таким образом:

Особенности передаточной функции дискретной системы:

В соответствии со свойствами D-преобразования передаточная функция периодична вдоль мнимой оси плоскости q с периодом 2π: , r – любое число.

Из-за этого она полностью определяется своими значениями в полосе шириной 2π (основная полоса). Внутри основной полосы функция является аналитической, кроме, может быть, конечного числа полюсов.

Преобразование отображает основную полосу в плоскости q на всю расширенную плоскость z. Во внешности единичного круга она является аналитической, а внутри имеет полюсы (т.к. левая полуполоса отображается внутрь круга, а правая во внешнюю часть круга).

Пример: Определить передаточную функцию разомкнутой импульсной системы:

Решение: Передаточная функция ПНЧ:

С учетом этих соотношений можно записать:

10. Передаточные функции замкнутой дискретной системы, по ошибке и по возмущению.

Д ана замкнутая система. Её уравнения во временной области:

Применим к обеим частям неравенства D-преобразование. В результате: , где - передаточная функция разомкнутой импульсной системы. (1)

Применив D-преобразование к сигналу ошибки: получим (2). Тогда подставив (2)(1):

Передаточная функция замкнутой имп. системы:

Передаточная функция имп. системы по ошибке:

11. Определение процессов в дискретной системе с помощью обратного Z-преобразования. Особенности переходных процессов в дискретных системах

Определение процессов в импульсных системах с помощью дискретного преобразования Лапласа.

Если известны передаточная функция импульсной системы W*(z,ε) и изображение входного сигнала F*(q), то процесс на выходе системы может быть найден по формуле обратного D-преобразования( или обратного Z-преобразования):

Вычислить обратное D-преобразование можно с помощью вычетов:

где z_ν = e^qν – полюсы функций, стоящих под знаком обратного преобразования.

Определение переходной функции импульсной системы:

Она определяется по формуле:

Для вычисления обратного Z-преобразования используют вычеты:

Где вычеты берутся в точке z₀ = 1 и в полюсах z_ν передаточной ф-ии W*(z,ε).

12. Процессы в дискретной системе при гармонических воздействиях. Частотные характеристики дискретной системы и их основные особенности

Определение реакции импульсной системы на гармоническое воздействие

Применим D-преобразование для того, чтобы определить реакцию импульсной системы с передаточной ф-ей W*(z,ε) на гармоническое воздействие f[n] = A₀cos(ω₀n+ψ). Для этого целесообразно вначале найти реакцию системы на воздействие

[n] = A₀ exp[ j( ₀n+ψ)] , а затем рассмотреть вещественную часть этой реакции поскольку из равенства

следует

Изображение воздействия [n] равно

Отсюда получаем:

Здесь вычеты берутся в полюсах z_ν передаточной ф-ии W*(z,ε) и в точке z₀ = exp(jω₀)

Частотные характеристики импульсных систем

Функция W*(j , ε), получающаяся из функции W*(q, ε) при q = j , называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Функция | W*(j , ε)| = A*( , ε) называется амплитудно-частотной характеристикой, а функция arg W*(j , ε) = φ*( , ε) фазо-частотной характеристикой системы.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет изменение амплитуды гармонического воздействия при прохождении через импульсную систему. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) определяет сдвиг по фазе приложенного гармонического воздействия. Частотные характеристики позволяют найти установившуюся реакцию на гармоническое воздействие.

13. Частотные характеристики импульсных систем

Функция W*(j , ), получающаяся из передаточной функции W*(q, е) при q = j , 0< <1, называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой импульс­ной системы. Функция |W*(j , )| = A*( , е) называется амплитудно-частотной характеристикой, а функция argW*( j , ) = *( , е) — фазо-частотной характеристи­ки импульсной системы.

Физический смысл частотных характеристик ясен из формулы (1.60).

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет изменение амплитуды гармонического воздействия при прохождении через импульсную систему; фазо-частотная характеристика (ФЧХ) определяет сдвиг по фазе приложенного гармонического воздействия. Таким образом, частотные характеристики дискретной системы сохраняют тот же смысл, что и частотные характеристики непрерывной си­стемы. Они позволяют найти установившуюся реакцию на гармоническое воздействие. Амплитудно-фазовая ча­стотная характеристика (АФЧХ) может быть определе­на по следующим формулам:

Логарифмические частотные характеристики импульс­ных систем

Амплитудно-фазовая частотная характеристика получа­ется в результате замены переменной w = j * в выраже­нии для передаточной функции, т. е. представляет собой образ мнимой оси плоскости комплексной переменной w:

где * - псевдочастота. Связь псевдочастоты с частотой дается соотношением (1.76); при малых значениях м ча­стота и псевдочастота практически совпадают (см. (1.77)).

Ч астотная амплитудно-фазовая характеристика на плоскости w по своему характеру ничем принципиально не отличается от частотных характеристик непрерывных систем. Это дробно-рациональная функция переменной j *, причем псевдочастота меняется в пределах от нуля до бесконечности. Наряду с амплитудно-фазовыми харак­теристиками могут быть построены логарифмические ча­стотные характеристики. Это позволяет применять из­вестные методы синтеза непрерывных систем регулиро­вания в случае импульсных систем.

Пример: Построить ЛЧХ для импульсной системы; Т = 0,1 с, Т₁ = 0,1 с, Т’₁= 0,11 c,

Т ₂ = 0,01 с,k₁ = 100, k_и = 1, =1