UTS (Ответы на экзаменационные вопросы по УТС)

1. Классификация дискретных систем. Импульсные и цифровые системы. Виды импульсной модуляции сигнала.

В иды импульсной модуляции сигнала:

• Амплитудно-импульсная модуляция (рис. б))

• Широтно-импульсная модуляция (амплитуда импульсов постоянна, а их ширина γ_nT пропорциональна в некоторых пределах значениям f[nT])(рис. в))

• Фазо-импульсная модуляция осуществляется за счет смещения импульсов в пределах периода квантования T. Величина смещения β_nT пропорциональна значениям f[nT].(рис. г))

Классификация дискретных систем:

• Импульсная система – система, в которой используются сигналы дискретные по времени.

• Релейная система – если используются сигналы, дискретные по уровню.

• Цифровая система – если используются сигналы, дискретные как по времени, так и по уровню.

При квантовании по времени значения непрерывного сигнала выделяются в виде дискретных сигналов через равные промежутки времени , при этом уровни сигнала могут принимать произвольные значения (рис.1).

При квантовании по уровню осуществляется преобразование непрерывного сигнала в дискретный в произвольные моменты времени с выделением значений непрерывного сигнала в момент пересечения им равноотстоящих уровней (рис.2).

При смешанном квантовании происходит преобразование непрерывного сигнала в дискретный через равные временные промежутки, но при этом выделяется ближайший уровень непрерывного сигнала (рис.3).

2. Дискретные (решетчатые) функции и действия над ними. Конечные разности и суммы.

Дискретные (решетчатые) функции – функции, которые определены только в отдельных точках t₁, t₂,…., t_n. В частности, можно рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках t=nT, где n – любое целое число, а Т – постоянная, называемая периодом дискретности. Эти функции принято обозначать х[nT].

x(t)|_t=nT =x[nT]

t^-=t/T t=nT => t^-=n

x(t)|_t=t^-_T=x(t^-T)=x₁(t^-)|_t^-_=n=x₁[n]

Смещенная дискретная функция:

x(t)|_t=(n+ε)T=x[nT,εT]=x(nT+εT) ε=[0,1]

x(t^-)|_t^-_=n+ε=x[n,ε]

Действия над дискретными функциями.

1. конечная разность

Разность первого порядка:

Разность k-го порядка, где

Пример:

1. конечная сумма

F[n]= x[k]

Δ (x[k]+C)=x[n]

ΔF[n]=F[n+1]-F[n]

F[n]= x[k]+C

F[m]= x[k]+C

F[n]= x[k]+F[m]- x[k]

F[n]-F[m]= x[k]

П ример:

3. Разностные уравнения. Две формы записи разностного уравнения. Порядок разностного уравнения. Рекуррентный способ решения. Системы разностных уравнений.

Разностные уравнения для дискретных систем играют ту же роль, какую дифференциальные уравнения играют в теории непрерывных систем. Способ описания дискретных систем разностными уравнениями является наиболее общим и применяется как для линейных, так и для нелинейных систем.

Решением разностного уравнения называется функция f[n], которая обращает уравнение в тождество.

Разностное уравнение связывает дискретные уравнения разных порядков.

Ф(f[n],Δf[n],Δ²f[n]…Δ^kf[n])=0

Если уравнение содержит f[n] и f[n+m], то порядок уравнения- m.

Две формы записи разностного уравнения:
1) Δ³f[n]+ Δ²f[n]+ Δf[n]=g[n]
2)b₀f[n+m]+b₁f[n+m-1]+…+b_mf[n]=g[n].

Рекуррентный способ решения:
Решением разностного уравнения называется функция f[n], которая обращает уравнение в тождество.
Решение определяется наиболее просто, если разностное уравнение порядка к можно разрешить относительно функции f[n+k], т е представить в виде f[n+k]=F[n,x[n],x[n+1]…,x[n+k+1]] (1).
Относительно функции F[n,y1,y2,…,yk] будем предполагать, что она определена при всех вещественных значениях своих аргументов n, y1,y2,…yk, ограничена и однозначна. Зададим к начальных условий, при некотором значении аргумента n=n0.
f[n0]=f0,f[n0+1]=f1; …; f[n0+k-1]=f_k-1.
Соотношение (1) определяет по заданным НУ значение решения при n=n0+k. Используя значение f[n0+k],вычислим послежовательно f[n0+k+1], f[n0+k+2] и все остальные решения f[n] при n>=n0+k.
Итак, решение f[n] разностного уравнения (1) определяется единственным образом в функции от к начальных условий: f[n]=E[n,f0,f1,…,f_k-1].
Рассматривая всевозможные начальные условия , мы получим общее решение уравнения (1) как функцию к произвольных постоянных С0 С1… С_к-1: f[n]=E[n,c0,c1,…,c_k-1]. (2).
Решение (2) является общим решением в том же смысле, что и общее решение дифференциального уравнения.
Пример
Δf[n]+a1[n]f[n]=0
Рассмотрим уравнение в форме (1) f[n+1]=(1-a1[n])x[n]
Рассматривая это уравнение как рекуррентное соотношение, последовательно получим:
f[1]=(1-a1[0])f[0];
f[2]=(1-a1[1])f[1]=(1-a1[1])(1-a1[0])f[0];
……………
f[n]=
Значит общее решение : E[n]= , где с1- произвольная постоянная.

Системы разностных уравнений.
Система разностных уравнений связывает решетчатые функции f1[n], f2[n], .. , fi[n] и их разности вплоть до порядков k1, k2, …, ki соотвественно. В общем случае систему разностных уравнений можно записать следующим образом:
Ai[n,f1[n], …, f1[l1+n], …,f1[k1+n], f2[n],…,f2[k2+n],…,fi[n],…,fi[ki+n]]=0;

4. Основные теоремы о решениях линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение методом неопределенных коэффициентов.

Теорема 1: Если решетчатые функции E1[n], … , El[n] являются решениями линейного однородного разностного уравнения f[n+k]+b1[n]f[n+k-1]+…+b_k[n]f[n]=0 (3), то функция E[n]= , где Сi(i=1,1,…,l) – произвольные постоянные, также является его решением.

Теорема 2(о линейности зависимости решетчатых функций): Если решетчатые функции f1[n],..,fk[n] линейно зависимы, то при всех щначениях аргумента n, при которых они определены, обращается в ноль определитель. W[f1[n], f2[n],…,fk[n]]=

Теорема 3: Если решетчатые функции E1[n], E2[n],…,Ek[n] являются линейно независимыми решениями однородного разностного уравнения (3) при n>=n0, то определитель W[E1[n],…Ek[n]] не обращается в ноль ни при одном значении n>=n0.

Теорема 4: Если при n>=n0 существует фундаментальная система решений E1[n],..,Ek[n] однородного разностного уравнения(3), то общее решение этого уравнения выражается формулой E[n]= , где Ci (i=1,2,…,k)- произвольные постоянные.

Для решения линейных неоднородных разностных уравнений также необходима Теорема 5:
Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения f[n+k]+b1[n]f[n+k-1]+..+bk[n]f[n]=g[n] равно сумме его частного решения x[n] и общего решения соответствующего однородного уравнения (3), т.е. f[n]=x[n]+ , дге Сi- произвольные постоянные, Ei[n]= решения однородного уравнения (3), удовлетворяющие условию W[E1[n0],…Ek[n0]]=/=0

Решение разностных уравнений (однородных).

b₀f[n+m]+b₁f[n+m-1]+…+b_mf[n]=0.
Ищем решение в виде f[n]=λⁿ.
Составим характеристическое уравнение: b₀ λ^m+ b₁ λ^m-1+…+ b_m-1 λ+b_m=0.
λ_i-корень, i=1,..,m.

f[0]=C1+C2+...+Cm
f[1]=C1λ1+C2λ2+…+Cmλm
…..
f[m-1]=C1 λ1^m-1+C2 λ2^m-1+…+Cm λm^m-1
-определитель Вандермонда.

Пример: x[n+2]+5x[n+1]-0.5x[n]=0
x[0]=1, x[1]=0

λ²+5 λ-0.5=0 => λ₁=0.5 ; λ₂=-1.

x[n]=C1(0.5)ⁿ+(-1)ⁿC2 – общее решение.

1=С1+С2 => 0=C1*0.5-C2 => C2=0.5 C1
C1=2/3; C2=1/3.

Решение разностных уравнений (неоднородных).

]

первое слагаемое- общее решение однор. второе- частное неоднор.

x[n+1]+2x[n]=5+6n

Будем искать x^[n]=a+bn –частное
a+b(n+1)+2(a+bn)=5+6n => a=1 b=2

Общее однородное: λ+2=0 =>λ=-2
x[n]=C(-2)ⁿ
Найдём С: пусть x[0]=4. 4=1+0+C => C=3.

5. Дискретное преобразование Лапласа(D-преобразование):

D-изображение всегда является функцией от ,поэтому

используют Z-преобразование,в котором

1) Линейность (следует из определения Z-образования)

2) Смещение в области оригиналов

3) Изображения конечных разностей и конечных сумм дискретных

функций:

если дискретная функция является оригиналом,то её первая и все

последующие конечные разности также являются оригиналами

4) Свертка оригиналов и изображений:

если дискретные функции являются оригиналами, то свертка этих

функций также является оригиналом

Обратное Z-преобразование:

Вычисление оригинала методом вычетов:

_при

6. Решение разностных уравнений с помощью Z-преобразования

Дискретная функция описывается уравнением:

_,

Известны начальные условия:

Преобразуем обе части с помощью Z- преобразования:

_,