86193 (Рішення ірраціональних рівнянь)

Курсова робота

Рішення ірраціональних рівнянь

Введення

Тема моєї курсової роботи рішення ірраціональних рівнянь. Я вибрала її тому, що в навчальному курсі, цьому матеріалу присвячено мало годин, а в задачниках велика кількість прикладів присвячена саме цій темі.

Тому у вивченні «ірраціональних рівнянь» я маю на меті - дати основні визначення ірраціональним рівнянням і теоремам. Визначити які бувають види рівнянь. Розглянути правила рішення ірраціональних рівнянь.

Задачі моєї роботи - вивчити наукову й методичну літературу, підібрати й розглянути задачі для даної теми.

У моїй курсовій роботі показані рішення ірраціональних рівнянь як стандартного методу, так і не стандартного методу рішення. Я намагалася як можна доступніше охопити проблеми цієї теми. Звичайно, всі не можна врахувати в курсовій роботі, але я постараюся нижче викласти основні моменти. Я хотіла б зробити дану роботу допоміжним посібником при вивченні теми «Ірраціональні рівняння».

1. Основні визначення й теореми

Визначення 1. Рівняння - це два вираження, з'єднані знайомий рівності; у ці вираження входить одна або трохи змінних, називаних невідомими.

Приклад 1. - є рівнянням з однієї невідомої.

Приклад 2. - є рівнянням із двома невідомими.

Визначення 2. Рівність виду називається рівнянням з однієї змінної .

Приклад 1. - є рівнянням з однієї змінної х.

Далі розглядаємо рівняння з однієї змінної.

Визначення 3. Усяке значення змінної, при якому вираження й приймають рівні числові значення, називається коренем рівняння або його рішенням.

Приклад 1. Рівняння має два корені: -1 і 1.

Визначення 4. Вирішити рівняння - виходить, знайти множину всіх його рішень або довести, що їх немає.

Приклад 1. Рівняння має єдиний корінь 4, тому що при цьому й тільки при цьому значенні змінної звертається у вірну рівність, таким чином, відповідь записується в наступному виді:

Відповідь: {4}.

Приклад 2. Рівняння не має дійсних корінь.

Відповідь: .

Приклад 3. Рівняння має нескінченна множина рішень, тому що після тотожних перетворень одержали рівність . Дане рівняння є тотожна рівність, вірне для будь-якого дійсного значення .

Відповідь: .

Визначення 5. Тотожність (тотожна рівність) - це рівність двох виражень зі змінними, вірне при всіх припустимих значеннях вхідних у нього змінних. Тотожностями вважаються й вірні числові рівності, а також рівності, що перетворюються у вірну числову рівність для всіх числових значень букв, для яких ці вираження визначені.

Приклад 1. Рівність , справедливо для всіх числових значень і в, є тотожним.

Приклад 2. Рівність 2=2 тотожність.

Визначення 6. Тотожне перетворення вираження - це заміна вираження на тотожно рівне йому вираження, тобто рівне для всіх числових значень вхідних у нього змінних.

До тотожних перетворень ставляться, наприклад, приведення подібних доданків; розкладання на множники; приведення алгебраїчних дробів до загального знаменника; розкладання їх на елементарні дроби й інші.

Визначення 7. Ірраціональним називають рівняння, у якому змінна втримується під знаком радикала або під знаком введення в дробовий ступінь.

Приклад 1. - ірраціональне рівняння (змінна втримується під знаком радикала).

Приклад 2. ірраціональне рівняння (змінна втримується під знаком введення в дробовий ступінь).

Визначення 8. Областю визначення рівняння (або областю припустимих значень змінної - ОПЗ) називають множина всіх тих значень змінної , при яких і вираження , і мають сенс.

Приклад 1. Вираження ( і визначені при всіх . Виходить, ОПЗ: .

Приклад 2. . Вираження не визначене при , а вираження не визначене при .

Виходить, ОПЗ: .

Приклад 3. . Корінь парного ступеня має сенс лише при ненегативних значеннях підкореневого вираження. Виходить, одночасно повинні виконуватися умови: тобто ОПЗ:

Визначення 9. Нехай дані рівняння: (1), (2).

Якщо кожний корінь рівняння (1) є одночасно коренем рівняння (2), то рівняння (2) називається наслідком рівняння (1). Наслідок позначається в такий спосіб:

Приклад 1.

У процесі рішення рівняння часто доводиться застосовувати такі перетворення, які приводять до рівняння, що є наслідком вихідного. Рівнянню-Наслідку задовольняють всі корені вихідного рівняння, але, крім них, рівняння-наслідок може мати й такі рішення, які не є коріннями вихідного рівняння, так звані, «сторонні» корені. Щоб виявити й відсіяти «сторонні» корінь, звичайно надходять так: всіх знайдених корінь рівняння-наслідку перевіряють підстановкою у вихідне рівняння.

Розглянемо приклади перетворень, які можуть привести до розширення ОПЗ, тобто до появи «сторонніх» корінь.

Заміна рівняння рівнянням

Якщо при деякому значенні , рівному , вірне рівність , то вірним є також рівність . Виходить, рівняння є наслідком вихідного рівняння. При цьому може існувати таке значення , рівне , при якому й . Тоді число , що є коренем рівняння , не є коренем вихідного рівняння, тому що при вихідне рівняння не має змісту.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. . Тоді .

Перевірка.

При знаменник рівняння не звертається в нуль, а при - звертається. Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь: -10.

Відповідь: .

2. Введення обох частин рівняння у квадрат

Нехай дані два рівняння (1) і . Якщо - корінь першого рівняння, то вірно рівність . З рівності двох чисел випливає рівність їхніх квадратів, тобто , а це означає, що - корінь рівняння (2). Значить із рівняння (1) потрібне рівняння (2).

У той же час із рівності квадратів чисел не потрібне рівність цих чисел. Тому з рівняння (2) не потрібне рівняння (1). Звідси випливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося введення обох частин рівняння у квадрат, те потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяє виключити «сторонні» корені, якщо вони з'явилися.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння у квадрат.

; .Тоді , .

Перевірка.

Якщо , те , рівність не вірно, отже, -1- не є коренем вихідного рівняння.

Якщо , то 4=4, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.

Відповідь: {4}.

3. Виконання в одній частині (або в обох частинах) рівняння тотожних перетворень, що приводять до розширення області визначення рівняння.

Якщо деяке тотожне перетворення привело до розширення області визначення рівняння, то одержуємо рівняння - наслідок. При цьому можуть існувати такі значення змінної, які є коріннями вихідного рівняння.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. Виконавши приведення подібних доданків, одержимо: . Тоді , .

Перевірка.

Якщо , то вираження не має змісту.

Якщо , те , рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:5.

Відповідь: {5}.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення. або . Тоді , .

Перевірка.

Якщо , то вираження не має змісту.

Якщо , те , рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:-2.

Якщо при рішенні рівняння ми замінили його рівнянням - наслідком, то зазначена вище перевірка є невід'ємною частиною рішення рівняння. Тому важливо знати, при яких перетвореннях дане рівняння переходить у наслідок.

Розглянемо рівняння (3) і помножимо обидві частини його на одне й теж вираження , що має зміст при всіх значеннях . Одержимо рівняння: (4), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь рівняння .

Виходить, рівняння (4) є наслідок рівняння (3). Ясно, що рівняння (3) і (4) рівносильні, якщо «стороннє» рівняння не має корінь. Таким чином, справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння помножити на , то вийде рівняння, що є наслідком вихідного. Якщо рівняння не має корінь, то отримане рівняння рівносильне вихідному (якщо область припустимих значень не вже області припустимих значень змінної даного рівняння).

Приклад 1. .

Помітимо, що подібне перетворення, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння (3) діленням обох частин рівняння (4) на вираження , як правило, неприпустимо, оскільки можна привести до втрати корінь, у цьому випадку можуть «втратитися» коріння рівняння .

Приклад 2. Рівняння має два корені: 3 і 4.

Ділення обох частин рівняння на приводить до рівняння , що має тільки один корінь 4, тобто відбулася втрата кореня.

Знову візьмемо рівняння (3) і зведемо обидві його частини у квадрат. Одержимо рівняння: (5), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь «стороннього» рівняння . Ясно, що рівняння (3) і (5) рівносильні, якщо в «стороннього» рівняння немає кореню.