86193 (612680), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Приклад 3. Рівняння має корінь 4. Якщо обидві частини цього рівняння піднести до квадрата, то вийде рівняння , що мають два корені: -2 і 4. Виходить, рівняння - наслідок рівняння . При переході від рівняння до рівняння з'явився «сторонній» корінь: -2.

Теорема 2. При піднесенні обох частин рівняння у квадрат (і взагалі в будь-який парний ступінь) виходить рівняння, що є наслідком вихідного.

Приклад 1. .

При рішенні ірраціонального рівняння найчастіше намагаються замінити його більше простим, але рівносильним вихідному. Тому важливо знати рівносильні перетворення.

Визначення 10. Рівняння, що має ті самі корінь, називають рівносильними рівняннями. Рівняння, що не мають корінь, також уважають рівносильними. Іншими словами два рівняння називають рівносильними, якщо множини їхніх рішень збігаються. Рівносиль позначається в такий спосіб: .

Приклад 1. Рівняння й рівносильні, тому що кожне з них має єдиний корінь – число 3. .

Приклад 2. Рівняння й не рівносильні, тому що перше має тільки один корінь: 6, а друге має два корені: 6 і -6.

Приклад 3. Рівняння й рівносильні, тому що множини їхніх рішень порожні. .

Визначення 11. Нехай дані рівняння й і деяка множина М. Якщо будь-який корінь першого рівняння, що належить множині М, задовольняють другому рівнянню, а будь-який корінь другого рівняння, що належить множині М, задовольняє першому рівнянню, те ці рівняння називаються рівносильними на множині М.

Приклад 1. і не є рівносильними на множині всіх дійсних чисел, тому що перше рівняння має єдиний корінь 1, а друге має два корені: -1 і 1. Але ці рівняння рівносильні на множині всіх ненегативних чисел, тому що кожне з них має на цій множині єдиний корінь: 1.

Відзначимо, що часто множину М збігається або з ОПЗ рівняння , або множиною всіх дійсних чисел.

Є ряд теорем про рівносиль рівнянь.

Теорема 3. При піднесенні обох частин рівняння в ту саму непарний ступінь виходить рівняння, рівносильне вихідному.

Приклад 1. .

Теорема 4. Якщо в рівнянні який-небудь доданок перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння, рівносильне вихідному.

Приклад 1. .

Теорема 5. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й теж відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне вихідному.

Приклад 1. (обидві частини першого рівняння розділили на 2).

Теорема 6. Якщо в який або частини рівняння виконати тотожні перетворення, що не міняють області визначення рівняння, то вийде рівняння, рівносильне вихідному.

У шкільній практиці при рішенні ірраціональних рівнянь найчастіше використовуються два основних методи:

1) обох частин рівняння в ту саму ступінь;

2) введення нових (допоміжних) змінних.

Ці методи будемо вважати стандартними. В обов'язковому шкільному курсі звичайно цими методами й обмежуються. Однак іноді доводиться застосовувати нестандартні методи й штучні прийоми рішення ірраціональних рівнянь.

Типова помилка при рішенні ірраціональних рівнянь полягає в тому, що школярі без додаткових пояснень використовують перетворення, що порушують рівносиль, що приводить до втрати кореня і появі «сторонніх» коренів.

При піднесенні обох частин ірраціонального рівняння в ту саму ступінь потрібне мати на увазі, що якщо ступінь - не парне число, то одержимо рівносильне рівняння, якщо ж ступінь - парне число, то одержимо рівняння - наслідок. Тому при рішенні ірраціональних рівнянь у більшості випадків необхідна перевірка знайдених рішень.

Перевірки можна уникнути, якщо вирішувати ірраціональні рівняння за допомогою рівносильних замін. Для цього корисно знать наступні теореми.

Теорема 7. Рівняння виду рівносильне змішаній системі

Рівняння виду

Теорема 8. Рівняння виду або .

Рівняння виду .

Далі розглянемо більш докладно типи ірраціональних рівнянь і методи їхнього рішення.

2. Стандартні ірраціональні рівняння

Як правило, у шкільному курсі розгляд ірраціональних рівнянь зводиться до розбору декількох нескладних прикладів. Вони в більшості випадків вирішуються введенням у квадрат лівої й правої частин рівняння. Після рішення обов'язково виконується перевірка. Не звертається увага на те, що ірраціональні рівняння можуть вирішуватися й з використанням поняття рівносиль. У даному параграфі представлені різні види ірраціональних рівнянь, які можна віднести до стандартного й вирішувати одним з наступних методів, а саме:

1) метод переходу до рівняння - наслідку з наступною перевіркою отриманих корінь;

2) метод рівносильного переходу до рівняння або до змішаної системи;

3) метод введення нової змінної.

2.1 Рівняння виду

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння у квадрат. .

Відповідь: {6}.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення. У лівій частині вихідного рівняння коштує арифметичний квадратний корінь - він по визначенню ненегативний, а в правій частині - негативне число.

Отже, рівняння не має кореня.

Відповідь: .

Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду.

, якщо й не має рішення, якщо .

Приклад 3. Вирішити рівняння .

Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння в куб.

; .

Відповідь: {-5}.

Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду: .

2.2 Рівняння виду

Досить часто при рішенні рівнянь даного виду учні використовують наступне формулювання властивості добутку «Добуток двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю». Помітимо, що формулювання властивості добутку повинна виглядати в такий спосіб: « добуток двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю, а іншої при цьому має сенс».

Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду:

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення.

.

Відповідь: {-2;6}.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення. У цьому випадку рівняння не має виду, зазначеного в заголовку. Отже, його необхідно перетворити. Але спочатку знайдемо ОПЗ змінної .

ОПЗ:

Перетворимо рівняння до виду

При рішенні рівняння учні часто необґрунтовано ділять обидві частини рівняння на вираження, що містить невідоме (у цьому випадку, на ), що приводить до втрати кореня й придбанню «стороннього». Подібні рівняння, що містять в обох частинах загальний множник, варто вирішувати переносом всіх членів в одну частину й розкладанням отриманого вираження на множники.

Вирішимо кожне рівняння із сукупності.

; .

(1).

З огляду на, що ОПЗ: одержуємо, що рівняння (1) рівно сильно сукупності:

. Тоді , не задовольняє умові

, дане рівняння не має корінь.

Отже, сукупність прийме наступний вид:

Повернемося до системи:

Відповідь: {-3;6}.

2.3 Ірраціональні рівняння, які вирішуються введенням нової змінної

При рішенні різних видів рівнянь: раціональних, тригонометричних, показових часто використовується метод введення нової змінної. Нова змінна в рівняннях іноді дійсно очевидна, але іноді її важко побачити, а можна виявити тільки лише в процесі яких або перетворень. Буває корисно ввести не одну, а дві змінні. Бачимо типові випадки введення нових змінних в ірраціональних рівняннях.

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення. Уведемо нову змінну. Нехай , , де . Одержуємо, що .Тоді - не задовольняє умові

Виконаємо зворотну заміну.

Відповідь:{34}.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення. Самота радикала й введення в ступінь обох частин рівняння привело б до громіздкого рівняння. У той же час, якщо виявити деяку спостережливість, то можна помітити, що дане рівняння зводитися до квадратного. Дійсно, помножимо обидві частини заданого рівняння на 2, одержимо, що

Уведемо нову змінну. Нехай Одержуємо, що . Тоді - не задовольняє умові ,

Виконаємо зворотну заміну. Тоді ,

Так як вихідне рівняння рівносильне рівнянню те перевірка отриманих корінь не потрібна.

Відповідь: {-2;3,5}.

Приклад 3. Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо дане рівняння.

Уведемо нову змінну. Нехай, а Одержуємо, що . Тоді - не задовольняє умові .

Виконаємо зворотну заміну. .

2.4 Рівняння виду , ,

Дані рівняння можна вирішити за допомогою основного методу рішення ірраціональних рівнянь (введення у квадрат обох частин рівняння), але іноді їх можна вирішити й іншими методами.

Розглянемо рівняння (1). Нехай - корінь рівняння (1). Тоді справедливо числова рівність . Знайдемо різницю чисел і , позначивши її , і запишемо дану рівність у вигляді (2).

Використовуючи, що , запишемо рівність (2) у вигляді . Дана рівність означає, що число є корінь рівняння (3).

Характеристики

Список файлов курсовой работы