Пусть ядро интегрального оператора K(x, s) - функция, непрерывная по совокупности аргументов x ∈[c, d], s ∈[a,b], а решение z(s) - непрерывная на отрезке [a,b] функция. Тем самым, можно рассматривать оператор A как действующий в следующих пространствах: A :C[a,b]→ C[c, d]. (Пространство C[a,b] состоит из функций, непрерывных на отрезке [a,b]. Норма z ∈C[a,b]определяется как ). Покажем, что в этом случае задача решения интегрального уравнения является некорректно поставленной. Для этого нужно проверить условия корректности постановки задачи:

1. Существование решения для любой непрерывной на [c, d] функцииu(x) . На самом же деле, это не так: существует бесконечно много непрерывных функций, для которых решения нет.

2) Единственность решения. Это условие выполняется в том и только в том случае, если ядро интегрального оператора замкнуто.

Первые два условия корректности эквивалентны условию существования обратного оператора с областью определения D( )=C[c,d]. Если ядро интегрального оператора замкнуто, то обратный оператор существует, однако область его определения не совпадает с C[c,d].

1. Устойчивость решения. Это означает, что для любой последовательности последовательность z n → . Устойчивость эквивалентна непрерывности обратного оператора при условии, что обратный оператор существует. В данном случае это не так, что видно из следующего примера. Пусть последовательность непрерывных функций , n=1, 2, …, такая, что на промежутке и обращается в нуль вне данного интервала, max| z (s) |=1, s∈[a, b], а последовательность чисел d → 0 +0 .

2. Такая функция может быть выбрана, например, кусочно-линейной. Тогда для любого x ∈[c, d]

при

Последовательность функций равномерно, т.е. по норме C[c,d], сходится к = 0.

Хотя решение уравнения в этом случае = 0 , последовательность не стремится к , так как .

Интегральный оператор A является вполне непрерывным при действии из в

, при действии из C[a,b] в и при действии из C[a,b] в C[c,d]. (Пространство

состоит из функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [a,b]. Норма z∈ определяется как ). Это означает, что любую ограниченную последовательность этот оператор преобразует в компактную. Компактная последовательность по определению обладает тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся. Легко указать последовательность , , из которой нельзя выделить сходящуюся в C[a,b] подпоследовательность. Например,

Нормы всех членов этой последовательности равны 1 в , но из любой подпоследовательности этой последовательности нельзя выделить сходящуюся, поскольку . Очевидно, что эта последовательность состоит из непрерывных на [a,b] функций и равномерно (по норме C[a,b]) ограничена, но из этой последовательности нельзя выделить сходящуюся в C[a,b] подпоследовательность (тогда она сходилась бы и в , поскольку из равномерной сходимости следует сходимость в среднем). Если предположить, что оператор является непрерывным, то легко прийти к противоречию. Для существования обратного оператора достаточно потребовать, чтобы прямой оператор A был инъективным. Очевидно, что, если оператор B: C[c,d]→C[a,b] непрерывный, а оператор A вполне непрерывный, то BA :C[a,b] →C[a,b] - тоже вполне непрерывный оператор. Но тогда, поскольку для любого n , то последовательность компактна, что неверно. Оператор, обратный к вполне непрерывному оператору, не может быть непрерывным. Аналогичное доказательство может быть проведено для любых бесконечномерных банаховых (т.е. полных нормированных) пространств.

Поскольку задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в указанных пространствах некорректно поставлена, то даже при очень малых ошибках в задании u(x) решение может либо отсутствовать, либо как угодно сильно отличаться от искомого точного решения.

Итак, вполне непрерывный инъективный оператор обладает обратным оператором, который не является непрерывным (ограниченным). Более того, при действии в бесконечномерных банаховых пространствах множество значений вполне непрерывного оператора не является замкнутым. Поэтому как угодно близко к неоднородности u(x) , для которой решение операторного уравнения существует, найдется неоднородность, для которой решение отсутствует.

Некорректность постановки математической задачи может быть связана с ошибкой в задании оператора. Простейший пример дает задача отыскания нормального псевдорешения системы линейных алгебраических уравнений и возникающая при этом неустойчивость, связанная с ошибками задания матрицы.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Система может и не иметь решений. Гаусс и Лежандр в начале XIX века ввели метод наименьших квадратов, а именно, вместо решения СЛАУ предложили минимизировать квадратичный функционал (невязку):

- сопряженная (транспонированная) матрица. Поскольку матрица неотрицательно

определена, то Ф(x)- выпуклый функционал. Для выпуклого функционала задача отыскания эквивалентна отысканию стационарной точки, т.е. решения уравнения Ф'(x) = 0 . Легко видеть, что Ф' (x) = 2 ⋅ ( Ax − b), Ф''(x) = 2 ⋅ A ≥0.

Из равенства градиента нулю получается система линейных алгебраических уравнений с квадратной неотрицательно определенной матрицей (система нормальных уравнений):

В конечномерном случае легко доказать, что для любого вектора b система нормальных

уравнений всегда имеет решение (для исходного же уравнения это не обязательно), которое называется псевдорешением системы Ax = b . Псевдорешение может быть неединственным (если определитель det( A) =0; если же det( A) ≠0, то псевдорешение единственно). Множество псевдорешений образует аффинное (или линейное) подпространство и является выпуклым и замкнутым.

Если же система Ax =b имеет решение, то оно совпадает с решением системы Ax = b . В этом случае minФ(x) =μ=0. Если же minФ(x) =μ>0, система Ax = b не имеет решений, но, как уже указывалось выше, имеет псевдорешение (возможно, неединственное). Число μ обычно называется мерой несовместности системы Ax = b .

Определение. Нормальное псевдорешение системы Ax = b – это псевдорешение с

минимальной нормой, что является решением задачи отыскания минимума .

Можно привести много др. примеров классических математических задач, являющихся некорректными при совершенно естественном выборе понятий меры точности как для исходных данных задачи, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение интегральных уравнений 1-го рода; задача аналитического продолжения; суммирование рядов Фурье; большое число краевых задач для уравнении с частными производными. (Ист. №10)

1. Регуляризирующие алгоритмы

Пусть дано операторное уравнение: Az = u , где A - линейный оператор, действующий из нормированного пространства Z в нормированное пространство U. В 1963 г. А.Н.Тихонов дал знаменитое определение регуляризирующего алгоритма (РА), которое лежит в основе современной теории некорректно поставленных задач.

Определение. Регуляризирующим алгоритмом (регуляризирующим оператором) называется оператор, обладающий двумя следующими свойствами:

1) определен для любых δ > 0 , ∈U , и отображает (0,+ ∝) ×U в Z;

2) для любого z ∈ Z и для любого ∈U такого, что Az = u ,

.

Задача решения уравнения первого рода называется регуляризируемой, если существует хотя бы один регуляризирующий алгоритм. Непосредственно из определения следует, что если существует хотя бы один РА, то их существует бесконечно много.

В настоящее время все математические задачи можно разделить на следующие классы:

1) корректно поставленные задачи;

2) некорректно поставленные регуляризируемые задачи;

3) некорректно поставленные нерегуляризируемые задачи.

Понятно, что корректно поставленные задачи являются регуляризируемыми, поскольку можноположить . Отметим, что знание δ > 0 в этом случае необязательно.

Далеко не все некорректно поставленные задачи можно регуляризировать, причем это часто зависит от выбора пространств Z, U. Российский математик Л.Д.Менихес построил пример интегрального оператора с непрерывным замкнутым ядром, действующего из пространства C[0,1] в , обратная задача для которого (т.е. решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода) является нерегуляризируемой. Это связано со свойствами пространства C[0,1]. Ниже будет показано, что если пространство Z гильбертово, а оператор A ограниченный и инъективный, то задача решения операторного уравнения первого рода является регуляризируемой. Этот результат справедлив и для некоторых банаховых пространств, но не для всех. В частности, пространство C[0,1] к таким банаховым пространствам не относится.

Можно дать эквивалентное определение регуляризирующего алгоритма и регуляризируемости операторного уравнения. Пусть задан оператор (отображение) , причем определен для любых δ > 0, ∈U , и отображает (0,+ ∝) ×U в Z. Погрешность решения операторного уравнения в точке z ∈ Z с помощью оператора при условии, что правая часть u задана с погрешностью δ >0, определяется как

Оператор называется регуляризирующим оператором, если для любого z ∈ Z . Легко видеть, что данное определение эквивалентно данному выше.

Аналогично можно дать определение регуляризирующего алгоритма для задачи вычисления значений оператора (см. конец предыдущего параграфа), т.е. для задачи вычисления значений отображения G : D(G) → Y, D(G) ⊆ X при условии, что аргумент задан с погрешностью (X, Y – метрические или нормированные пространства). Разумеется, задача решения операторного уравнения при условии, что A – инъективный оператор, может рассматриваться как задача вычисления значений оператора .

Огромное значение имеет ответ на следующий очень важный вопрос, можно ли решить некорректную задачу, т.е. построить регуляризирующий алгоритм, не зная погрешность δ Если задача корректна, то устойчивый метод, очевидно, можно построить и без знания δ.

Так, в случае решения операторного уравнения . В случае некорректных задач это невозможно. Приведенная ниже теорема принадлежит А.Б.Бакушинскому и была им доказана для задачи вычисления значений оператора. Аналогичная теорема имеет место и для решения операторного уравнения.