86104 (Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь), страница 3

Це рівняння містить дві невідомі - і . Замінимо ним друге рівняння (11.27). Два останні рівняння разом із (11.27) утворюють систему рівнянь із тридіагональною матрицею, що апроксимує вихідну крайову задачу (11.4), (11.5) з порядком . Цю систему також можна розв'язати методом прогону. Метод прогону є стійким, якщо матриця коефіцієнтів діагонально домінантна. Забезпечити діагональну домінантність можна обранням кроку . Для цього необхідно, щоб для системи рівнянь (11.27) виконувались умови:

і , .

Підсилюючи останні нерівності, маємо такі обмеження на величину кроку:

і , . (11.28)

Щоб задовольнялись умови (11.23), мають виконуватись нерівності

і . (11.29)

Наявність обмежень (11.28) і (11.29) свідчить про умовну стійкість розглянутого методу апроксимації.

Дослідження точності

Дослідження точності отриманих виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, по швидкості спадання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки досить малий, то похибка близька до першого відкинутого члена.

У такий спосіб порядок точності результату стосовно кроку сітки дорівнює числу залишених членів ряду, чи іншими словами, він дорівнює числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m-ої похідної, дорівнює m+1, воно забезпечує перший порядок точності.

Ці висновки відповідають принципу: при почленному диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.

Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третю і четверту – лише з великою похибкою. Похідні більш високого порядку рідко вдається обчислити з задовільною точністю.

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці х_i подається у вигляді

.

За формулою Рунге

Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:

де y_i – наближене значення, отримане в точці з кроком h; y_2i – із кроком h/2; p - порядок методу; y(x_2i) - точний розв’язок задачі.

Формула Рунге:

.

Збіжність різницевої схеми

Постановка задачі

Універсальним методом наближеного розв’язання, є метод скінченних різниць. Як задачі представлені у вигляді систем нелінійних рівнянь у часткових, які розглядаються у області

Розв’язок задачі в має додаткові умови:

1. умови при називають початковими умовами;

2. умови на границі області — крайовими або граничними умовами.

Задача з початковими умовами – називається задачею Коші.

Нехай . Тоді для функції маємо задачу:

(1)

(2)

де и - диференціальні оператори задачі і крайових умов. Припустимо ,що відповідно задачі (1-2) поставлені коректно, тобто оператори А и R; область D и її границі Г такі, що при виборі відповідних класів функцій і правих частин у рівняннях (1) и (2) розв’язок існує, і залежить від початкових даних.

Різницева схема

Введемо у області сітку , яка складається з множини внутрішніх вузлів і множини граничних вузлів :

Далі розглянемо сіткові функції і з їх допомогою побудуємо наближений розв’язок задачі (1-2). Для цього відносно сформулюємо "різницеву задачу", заміняючи оператори задачі і і їх сітковим аналогами и . Тоді на сітковому шаблоні маємо

(3)

(4)

Задачу (3)-(4) назвемо різницевою схемою для задачі (1)-(2). Звичайно це алгебраїчна система рівнянь відносно .

При переході від початкової задачі (1)-(2) до її різницевого аналогу (3)-(4) особливо важливі 3 групи питань:

- існування, єдиність і алгоритм побудови різницевого розв’язку ;

- при яких умовах різницевий розв’язок збігається до точного розв’язку і яка при цьому швидкість збіжності;

- як конкретно вибирати сітку і побудувати різницеву схему і у задачі (3)-(4).

Нев’язка різницевої схеми

При побудові різницевого рівняння задачі

ми отримали задачу, якої точний розв’язок , як правило, не задовольняє. Сіткову функцію

називають нев’язкою сіткового рівняння (3). Її зручно представити на розв’язку и(х) у вигляді:

на (5)

Аналогічно знаходяться нев’язки граничних умов

на (5')

Як правило нев’язки і оцінюють по параметру через розклад у ряд Тейлора в припущені гладкості відповідного розв’язку для отримання представлення нев’язки з залишковим членом виду .

Апроксимація різницевої схеми

Різницева схема (3)-(4) апроксимує задачу (1)-(2), якщо має місце:

(6)

Тобто відповідні нев’язки 0 к нулю при .

Апроксимація задачі (1)-(2) має порядок , якщо

(6')

У цих випадках норми рахуються для сіткових функцій на і але у своїх функціональних просторах.

Зауваження:

Сам розв’язок задачі (1)-(2) ,як правило невідомий і використовувати його для отримання нев’язок і не можна. Тому беруть широкий клас функцій і вимагають апроксимації порядку к задачі (1)-(2) , тобто

.

При цьому на розв’язку задачі (1)-(2) апроксимація буде не гірше, ніж порядок

Як правило схема (3)-(4) по різним змінним має різний порядок апроксимації , наприклад, нев’язка рівняння

Така апроксимація називається абсолютною на відміну від умовної апроксимації у випадку, коли, наприклад

При умовній апроксимації різницеве рівняння може апроксимувати різні диференціальні задачі.

Стійкість різницевої схеми

Відсутність стійкості різницевої схеми характеризується тим, що малі помилки, допущені на якому-небудь етапі обчислення, надалі сильно зростають і роблять непридатним результат розрахунку (чи взагалі неможливим сам розрахунок). Звичайно стійкість різницевої схеми оцінюють по погрішності вхідних даних, оскільки погрішність апроксимації, у силу визначення (6), при до нуля. Виділимо в структурі погрішності ці доданки:

Типовий графік залежності погрішності сіткового рішення від величини кроку такий:

I - При зменшенні кроку спочатку погрішність усіх схем убуває, тому що істотно зменшується погрішність апроксимації.

П - Для стійких схем погрішність сіткового рішення буде прагнути до скінченої величини, зв'язаної з помилкою вхідних даних. Якщо при помилка вхідних даних зникає, те - це випадок III. Тобто стійка схема в цьому випадку дозволяє одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Якщо ж схема не стійка (IV), то при похибка зростає(чи зростає об’єм не стійких обчислень). Похибка буде мати ненульовий мінімум і вже неможливо одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Як правило похибка вхідних даних і апроксимації мають степеневий характер залежності від ; а не стійкість приводить до зростання похибки розв’язку по експоненціальному закону і при розрахунки втрачають сенс. Нагадаємо

Різницева схема (3-4)стійка по вхідним даним і , якщо розв’язок різницевої схеми неперервно залежить від вхідних даних і ця залежність рівномірна відносно кроку сітки , тобто є ( не залежить від ) таке, що

(7)

Для лінійних схем різницеве рішення лінійно залежить від вхідних даних (у силу лінійності зворотного оператора)і . Тоді

Зауваження:

На стійкість різницевої схеми впливає не тільки апроксимація рівнянь (1) (тобто оператора А), але, і особливо, крайових умов (2).

Якщо змінних у задачі мало, то розглядають безумовну й умовну стійкість;

Збіжність різницевої схеми

Розв’язуючи сіткову задачу (3)-(4) нас цікавить близькість сіткового розв’язку у(х) до розв’язку и(х) задачі (1)-(2). Різницевий розв’язок у(х) збігається до розв’язку и(х), якщо

(10)

Різницевий розв’язок має порядок точності , якщо

(10')

Нагадаємо ще раз, що ми розглядаємо лише коректні різницеві схеми (3)-(4), тобто рішення різницевої схеми існує і єдино при будь-яких вхідних даних и з заданих класів функцій і схема стійка по вхідним даної (її рішення неперервно них залежить).

Теорема: Якщо розв’язок задачі (1)-(2) існує, різницева схема (3)-(4) коректна и апроксимує задачу (1)-(2), то різницевий розв’язок збігається до точного:

("Апроксимація + Стійкість =>Збіжність").

Доведення: Запишемо нев’язку різницевої схеми (3)-(4).

(*)

Функція u(x) задовольняє задачі (*) — збуреній задачі (3)-(4). Так як схема стійка, то :

В силу апроксимації має місце