86101 (Статистическое исследование свойств псевдослучайных чисел получаемых методом Джона фон Неймана), страница 2

а б

рис. 1.1

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

F(x)=

ее математическое ожидание

M(X) = (1.3)

а дисперсия

D(X) = (1.4)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению. Так, случайная величина Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [0,1], называемая «случайным числом от 0 до 1», служит материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.

Понятие о критериях согласия

Полного совпадения между теоретическими и эмпирическими частотами нет. Более того, иногда между опытными и теоретическими частотами наблюдаются значительные расхождения. Например, если исходить из того, что рост мужчины имеет нормальное распределение, то из 1000 мужчин 173 должны иметь рост от 161 до 164 см. В действительности их оказалось 181. Если предположить, что число распадающихся за 1/8 мин атомов радиоактивного вещества следует по закону Пуассона, то из 2608 промежутков должно быть 407 таких, в которых распадается по 2 атома. На самом деле их было 383. Разница составляет 24 промежутка и кажется значительной. Эти расхождения можно объяснить двояко:

1. Несовпадения между опытными и теоретическими частотами несущественны, они объясняются случайностью отбора отдельных элементов или результатов единичных наблюдений. Допущение о распределении изучаемого признака по закону, выбранному в качестве предполагаемого теоретического, должно быть признано не противоречащим имеющимся опытным данным, согласованным с ними.

2. Различия между теоретическими и наблюденными частотами объяснить случайностью нельзя, опытное и теоретическое распределения противоречат друг другу. Допущение о распределении изучаемого признака по избранному закону необходимо признать ошибочным.

Но что позволит сделать первый или второй вывод? Эту возможность дают критерии согласия.

Можно рассмотреть различные виды расхождений между теоретическим и опытным распределениями. Каждый вид такого расхождения является случайной величиной. Иногда удается установить ее закон распределения. Зная его, можно сформулировать предложение (правило), устанавливающее когда полученное в действительности расхождение между предполагаемым теоретическим и опытным распределениями следует признать несущественным, случайным, а когда существенным, неслучайным. Это предложение и будет критерием согласия.

Итак, предположим, что неизвестен закон распределения случайной величины Х, которая характеризует некоторый вид или функцию расхождений между предполагаемым теоретическим и опытным распределениями. С другой стороны, имея опытное распределение признака, можно найти значение α, которое в рассматриваемом случае приняла случайная величина Х.

Закон распределения случайной величины Х определяет вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не меньшее α. Пусть эта вероятность Р(Х≥α)=β. Согласно принципу практической уверенности при однократном наблюдении происходит немаловероятное событие. Поэтому если величина α была получена как результат наблюдения именно случайной величины Х, т.е. при распределении рассматриваемого признака по предполагаемому теоретическому закону, то вероятность β не должна быть малой. Если же вероятность β оказалась весьма малой, то это означает, что наступило маловероятное событие, которое в соответствии с тем же принципом практической уверенности при распределении признака в генеральной совокупности по предложенному закону не должно было наступить. Наступление события с такой вероятностью объясняется, по-видимому, тем, что наблюдалась случайная величина, распределенная не по предположенному закону, а по какому-то другому. Таким образом, в случае, когда вероятность β не мала, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями следует признать несущественными, случайными, а опытное и теоретическое распределения – не противоречащими, согласующимися друг с другом. Если же вероятность β мала, то расхождения между опытным и теоретическим распределениями существенны, объяснить их случайностью нельзя, а гипотезу о распределении признака по предложенному теоретическому закону следует считать не подтвердившейся, она не согласуется с опытными данными. По-видимому, при выборе предполагаемого теоретического закона не были в достаточной степени учтены особенности имеющихся опытных данных или при этом сказались субъективные качества исследователя. Следует внимательнее изучить опытные данные и попытаться найти новый теоретический закон в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, который лучше, полнее учитывал бы особенности опытного распределения.

Необходимо только установить, какие вероятности считаются «малыми». Обычно это вероятности, не превосходящие 0,01. В других случаях считают малыми вероятности, не превосходящие 0,05.

Существует много критериев согласия. Рассмотрим критерий χ-квадрат (Пирсона) и критерий Колмогорова.

Критерий согласия (Пирсона)

Пусть в результате n наблюдений получен вариационный ряд с опытными частотами n1, n2, …, nm. Тогда сумма их n1+n2+..+nm=n. Анализ опытных данных привел, допустим, к выбору некоторого теоретического закона распределения в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, а по опытным данным найдены его параметры (если они не были известны заранее). С помощью самого закона вычислены теоретические частоты n01, n02, …,n0m, соответствующие эмпирическим частотам. Сумма теоретических частот также равна объему совокупности n:

n01+ n02+…+n0m=n.

В качестве меры расхождения теоретического и эмпирического рядов частот можно взять величину

Из этого выражения видно, что χ2 равно нулю лишь при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот: ni =n0i (i = 1, 2, …, m). В противном случае χ2 отлично от нуля и тем больше, чем больше расхождения между указанными частотами.

Величина χ2 , определяемая равенством, является случайной, которая как можно показать, имеет χ2-распределение, где k – число степеней свободы. Число k = m – s, где m – число групп эмпирического распределения, а s – число параметров теоретического закона, найденных с помощью этого распределения, вместе с числом дополнительных соотношений, которым подчинены эмпирические частоты. Если же эмпирическое распределение не использовалось для нахождения параметров теоретического закона и теоретических частот, а эмпирические частоты не связаны никакими дополнительными соотношениями, то k равно числу групп эмпирического распределения, причем в обоих случаях наблюденные частоты должны быть не малы. Малые частоты следует объединить с соседними с тем, чтобы укрупнить группы. Это будет показано на приводимом ниже примере.

Таким образом, схема расчета критерия согласия χ2 следующая:

По опытным данным выбрать в качестве предполагаемого закон распределения изучаемого признака и найти его параметры.

Определить теоретические частоты с помощью полученного закона распределения. Если среди опытных частот имеются малочисленные, объединить их с соседними.

По формуле (1) вычислить величину χ2. Пусть она оказалась равной χ20.

Определить число степеней свободы k.

В приложении 4 по полученным значениям χ2 и k найти вероятность β того, что случайная величина, имеющая χ2-распределение, примет какое-нибудь значение, не меньшее χ20 : P(χ2 χ20) = .

Сформулировать вывод, руководствуясь общим принципом применения критериев согласия, а именно: если вероятность β больше 0.01, то имеющиеся расхождения между теоретическими и опытными частотами следует считать несущественными, а опытное распределение – согласующимся с теоретическим. В противном случае (β<0.01) указанные расхождения признаются неслучайными, а закон распределения, избранный в качестве предполагаемого теоретического, отвергается.

Критерий Колмогорова

На практике кроме критерия χ2 часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

называемое статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X, при неограниченном увеличении числа наблюдений (n ) вероятность неравенства P(D ) стремится к пределу

задавая уровень значимости α, из соотношения

можно найти соответствующее критическое значение .

Проверка гипотезы о равномерном распределении

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности f(x) необходимо вычислив по имеющейся выборке значение, оценить параметры a и b по формулам

,

Где a* и b* - оценки a и b. Действительно, для равномерного распределения

M(X) =

σ= = ,

откуда можно получить систему для определения a* и b*:

f(x)= ,

решением которой являются выражения (*). Затем, предполагая, что

f(x)= ,

можно найти теоретические частоты по формулам:

,

, ,

,

Здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка. Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляется по формуле:

а критическое по таблице с учетом того, что число степеней свободы k=s-3.

Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием

,

где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством , а область принятия гипотезы – . Таким образом, если , то нулевую гипотезу принимают, если , то ее отвергают.

Для критерия Колмогорова теоретические и эмпирические функции распределения находим таким же образом, как и для критерия Пирсон.

Схема применения критерия Колмогорова:

Строятся предполагаемое теоретическая функция распределения F(x).

Находим величину по следующей формуле

где

;

3. Если вычисленное значение

,

где α критическое значение найденное при заданном уровне значимости, то проверяемая нулевая гипотеза о том что случайная величина Х имеет заданный закон распределения, отвергается, в противном случае гипотеза не отвергается.

Программа вычисления . Таблица результатов

uses crt;

const n=100;s=10;

var

A1,h, R, min, max, x_v, D_v, at, bt, Xi2:real;

a:array[1..N]of real;

alfa:array[1..s+1]of real;

x,mt:array[1..s]of real;

m:array[1..s]of integer;

i,k:integer;

begin

clrscr;

writeln('A1');

read(A1);

for I:=1 to n do

begin

a[i]:=sqr(a1)/1000000;

a[i]:=(trunc((a[i]-trunc(a[i]))*10000));

if a[i]<100 then A1:=random(7999)+2000

else a1:=a[i];

a[i]:=a[i]/10000;

writeln(a[i]:8:4);

end;

begin

min:=a[1];

max:=a[1];

for i:=1 to N do

if max

for i:=1 to N do

if min>a[i] then min:=a[i];

R:=max-min;

h:=R/s;

alfa[1]:=min;

for k:=2 to S+1 do

alfa[k]:=alfa[k-1]+h;

for k:=1 to s do

x[k]:=alfa[k]+h/2;

for k:=1 to s do

for i:=1 to N do

if (a[i]>=alfa[k])and(a[i]

m[k]:=m[k]+1;

x_v:=0; D_v:=0;

for k:=1 to s do

x_v:=x_v+x[k]*m[k];

x_v:=x_v/n; writeln(' X_v=',x_v:8:4);

for k:=1 to s do

D_v:=D_v+sqr(x[k])*m[k];

D_v:=sqrt(D_v/N-sqr(x_v)); writeln(' D_v=',D_v:8:4);

at:=x_v-D_v*sqrt(3);

bt:=x_v+D_v*sqrt(3);

mt[1]:=N*(alfa[2]-at)/(bt-at);

for k:=2 to s-1 do

mt[k]:=N*(alfa[k+1]-alfa[k])/(bt-at);

mt[s]:=N*(bt-alfa[s])/(bt-at);

Xi2:=0;

for k:=1 to s do

if mt[k]<>0 then

Xi2:=Xi2+(sqr(m[k]-mt[k]))/mt[k];

for k:=1 to s do

writeln('i',k,' x[k]=',x[k]:8:4,' n[k]=', m[k], 'nt[k]=', mt[k]:8:4);

writeln('Xi2=',Xi2:8:4); readkey;

end; end;

end.

Таблица результатов N = 1000, m = 10, k = 7; A1=9887

По таблице хи-квадрат распределения =9.037. Так как , то гипотеза H0 согласуется с опытными данными.

Программа вычисления . Таблица результатов

uses crt;

const n=100;

var A1,min,max, alf,min1,max1:real;

a,D,D1,b:array[1..N]of real;

i,k,j:integer;

procedure swap(var x,y:real);

var t:real;

begin

t:=x; x:=y; y:=t;

end;

function f(s:real):real;

begin

if s<=0 then

f:=0;

if (s>0) and(s<=1) then

f:=s;

if s>1 then

f:=1; end;

begin

clrscr;

writeln('A1'); read(A1);

for I:=1 to n do

begin

a[i]:=sqr(a1)/1000000;

a[i]:=(trunc((a[i]-trunc(a[i]))*10000));

if a[i]<100 then A1:=random(7999)+2000

else a1:=a[i];

a[i]:=a[i]/10000;

end;

begin

for j:=1 to n-1 do

for i:=n downto j do

if a[i-1]>a[i] then

swap(a[i-1],a[i]);

for i:=1 to n do

end;

begin

for i:=1 to n do

D[i]:=abs(i/n-f(a[i]));

for i:=1 to n do

begin

max:=d[1];

min:=d[1];

for i:=1 to N do

if max

for i:=1 to N do

if min>d[i] then min:=d[i];

begin

for i:=1 to n do

D1[i]:=abs(f(a[i])-(i-1)/n);

for i:=1 to n do

begin

max1:=d1[1];

min1:=d1[1];

for i:=1 to N do

if max1

for i:=1 to N do

if min1>d1[i] then min1:=d1[i];

writeln('max',max:8:4)

writeln('max1',max1:8:4);

alf:=sqrt(n)*max;

writeln('alf',alf:8:3);

readkey;

end;

end.

Таблица результатов

N = 100 ; A1=9876

При уровне значимости 0,1 критическое значение равняется 1,22.

По формуле подставляя это значение получим следовательно гипотеза о равномерном распределении случайных чисел полученных методом Неймана неотвергается .

Заключение

Установленный теоретический закон отличается незначительно от закона, полученного в результате эксперимента. Эти расхождения объясняются случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений.

Критерий Пирсона опровергает гипотезу о том, что псевдослучайные числа полученные методом Неймана не распределены по равномерному закону распределения с уровнем значимости α=0.25.

Критерий Колмогорова подтверждает гипотезу о равномерном распределении случайных чисел полученных методом Неймана с уровнем значимости α=0.1

Числовые характеристики близки к статистическим параметрам, характерных для равномерно распределенных чисел

Следовательно, случайные числа получаемые методом Неймана распределены равномерно на интервале (0,1).

Список литературы

1. Гмурман В. Е. - Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высш. шк., 2003

2. Кремер Н. Ш. – Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Юнити, 2006

3. Крамер Г. – Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975

4. Гнеденко Б. В. – Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Наука, 1970

5. Ветцель Е.С.; Овчаров Л.А. - Теория вероятностей. - М.:Наука,1986

6. Ермаков С.М.; Михайлов Г.А.- Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1983

22