86087 (Фактор-группы. Cмежные классы)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

Математический факультет

Кафедра алгебры и методики преподавания математики

Курсовая работа

СОДЕРЖАНИЕ

Ведение

1.Основные определения и теоремы

2.Смежные классы

2.1. Правые и левые смежные классы

2.2 Двойные смежные классы

3. Нормальные подгруппы и фактор-группы

3.1 Нормальные подгруппы

3.2 Фактор-группы

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввел понятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в виде подстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини (1799) и Абеля (1825).

В 1830–1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы. С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросах связанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки, формулировали и доказывали теоремы.

Теория групп – один из центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска, Новополоцка, Мозыря.

Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.

Понятие группы не труднее понятия функции; его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этой теорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современной математикой вообще.

Моя цель состоит в том, чтобы разобраться с начальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы, доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

Рассмотрим некоторое непустое множество G, на котором определена бинарная алгебраическая операция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:

1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c G выполняется

a*(b*c)=(a*b)*c;

2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е. для любого a G найдется такой элемент e ,что выполняется

a*e=e*a=a

3) для любого элемента G существует симметричный элемент относительно, т.е. для любых a, b G выполняется

a*b=b*a=e;

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называется подгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a. Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклической подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то G называют циклической группой.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аG имеет конечный порядок k.

Тогда

а ={e, a, a , … , a }

Кроме того, а = e в точности тогда, когда k делит m.

ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической группы G = а исчерпываются единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами а для каждого натурального m.

ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы а порядка n исчерпываются циклическими подгруппами а порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.

ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h h H и h H.

2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

2.1 Правые и левые смежные классы

Пусть G – группа, H – ее подгруппа и gG.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество Hg= {hg | hH} всех элементов группы G вида hg , где h “пробегает” все элементы подгруппы H.

Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hH}.

ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H – подгруппа. Тогда справедливы утверждения:

1) H=He;

2) gHg для каждого gG;

3) если a H, то Ha=H; если b Ha , то Hb=Ha;

4) Ha=Hb тогда и только тогда, когда ab H;

5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;

6) если H – конечная подгруппа, то | Hg | = | H | для всех gG.

Доказательство

Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса

(4) Если Ha = Hb, то ea = hb, hH и ab = hH. Обратно, если ab H, то aHb и Ha=Hb по утверждению 3.

(5) Пусть Ha Hb ≠ и c Ha Hb. Тогда c= a= b и ab = H. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).

(6) Для каждого gG отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H | = | Hg |

Ч.т.д.

Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H. Это свойство позволяет ввести следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называется правой трансверсалью подгруппы H в группе G , если T содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы G по подгруппе H .Итак, если T = { | aI} –правая трансверсаль подгруппы H в группе G, то G = , H при .

Таким образом, справедлива теорема.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, то G является подгруппой непересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.

Если G – конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе H также будет конечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G : H|. Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в правой трансверсали T подгруппы H, т.е.

|G : H|=|T|=|G|/|H|

ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G | = | H || G : H |. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.

Доказательство.

Пусть индекс H в группе G равен n . По теореме 2.1.1. имеем разложение

G=Hg Hg Hg , Hg Hg при i ≠ j.

Так как

| Hg | = |H| для всех i, то | G | = | H || G : H |

СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядок всей группы.

Доказательство

Порядок элемента a совпадает с порядком циклической подгруппы а, порожденный этим элементом, см. теорему 1.1. Поэтому, | а | = | a | делит | G |.

Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы H в группе G. Если L={ l | a J } – левая трансверсаль подгруппы H в группе G, то

G= l H, l H l H= при .

Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G : H |=| L |. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1 .Поэтому из теоремы Лагранжа имеем

СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечной группы G по подгруппе H совпадают.

ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядка нет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.

Доказательство.

Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит | G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе G и рассмотрим циклическую подгруппу а, порожденную этим элементом. Так как a ≠ e ,то а ≠ E, поэтому а = G и G – циклическая группа.

ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H ≤ K ≤ G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H в группе K, а S – правая трансверсаль подгруппы K в группе G, то TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. В частности, | G : H | = | G : K || K : H |.

Доказательство

Пусть

T={t , … ,t }, S={s , … , s }

Тогда

K=Ht . . . Ht , Ht Ht , i ≠j;

G=Ks . . . Ks , Ks Ks , i ≠j.

Теперь

G =( Ht . . . Ht )s . . . ( Ht . . . Ht )s . (2.1.1)

Предположим, что Ht s Ht s для некоторых натуральных a,b,c и d. Тогда

t s (t s ) = t s s t H ≤ K,

поэтому

s s t Kt = K, K s =Ks

Но s и s – элементы из правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s = s и b = d. Теперь

t s (t s ) = t t H, H t =Ht

и a = c. Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G по подгруппе H и TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали этой подгруппы, то

|G : H |=| TS |=| T | | S |=| K : H || G : K |

Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы 2.1.4. при H=E.

2.3. Двойные смежные классы

Пусть H и K – подгруппы группы G и g G. Множество

HgK ={ hgk | h H, k K}