86087 (612637), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K

ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Каждый элемент g G содержится в единственном двойном смежном классе HgK;

2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;

3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;

4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;

5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит

| K: H K | правых смежных классов по H и | H : H K | левых смежных классов по К.

Доказательство.

(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то

g=ege HgK

Допустим, что gHxK. Тогда g=hxk для некоторых hH, kK и

HgK=H(hxk)K=HxK.

(2) и (3) следуют из (1)

(4)Так как

HgK= = ,

то утверждение (4) доказано.

Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK= по подгруппе H. Допустим, что Hgk =Hgk . Тогда

Hg k k = Hg и k k g Hg K=H K

Справедливо и обратное, т.е. если k k H K, то

k k g Hg, g k k Hg, g k Hgk

и Hg k = Hgk . Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе K по подгруппе H K.

Аналогично,

Hgk= и h gK=h gK

тогда и только тогда, когда h h H K . Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет точно столько, каков индекс

|H : H K |

Произведение подгрупп. При g = e двойной смежный класс HgK=HK={hk | hH , kK} превращается в произведение подгрупп H и K . В общем случае HK не является подгруппой.

Пример:

Найдем разложение симметрической группы S в левые смежные классы по подгруппе .

Для этого найдем все левые смежные классы группы

S ={,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H= ={,(12)}

H = {, (12)} = {, (12)} = H,

(12)H = (12) {, (12)} = {(12), } = H,

(13)H = (13) {, (12)} = {(13), (123)},

(23)H = (23) {, (12)} = {(23), (132)},

(123)H = (123){,(12)} = {(123),(13)} = (13)H,

(132)H = (132){,(12)} = {(132),(23)} = (23)

Искомое разложение принимает вид

S =H (13) H (23) H.

3. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ

3.1 Нормальные подгруппы

Подгруппа H называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx для всех xG. Запись H G читается так: “H – нормальная подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что для любого элемента h H существует элемент h H такой, что xh = h x.

ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие утверждения эквивалентны:

1) H – нормальная подгруппа группы G;

2) Подгруппа H вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. h H для всех hH и всех xG;

3) Подгруппа H совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H для всех xG.

Доказательство.

Доказательство проведем по схеме (1) (2) (3) (4)

(1) (2). Пусть H G, т.е. xH=Hx для всех xG. Если h — произвольный элемент из H, то hx Hx = xH. Поэтому существует элемент h H такой, что hx = x h .Теперь x hx = h H.

(2) (3). Пусть выполняются требование 2). Тогда H = {h | h H} H для всех x G. В частности, Hx H, т.е. xHx H. Теперь

H x Hx =H и H = H для всех x G.

(3) (1). Если H = H для всех x G, то x Hx = H и Hx = xH для всех x G, т.е. H – нормальная подгруппа группы G.

Ч.т.д.

СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.

Если H G и h H, то h H. Обратно, если h H для всех h H, то H G.

Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H K G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x K.

Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.

3.2 Фактор-группы

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x G}. Положим

(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)

Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = x H, yH = y H для некоторых x , y G, то x = xh, y = =yg, h и g H. Поэтому

(x H)(y H) = x y H = (xh)(yg)H = xy(y hy)gH = xyH,

т.к. y hy H по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.

Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент a H — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность = {xH | x G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией

(xH)(yH) = xyH

образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH) = a H.

Группа называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.

Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.

Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.

|G/H |=| G : H |=| G | / | H |

ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.

Доказательство.

Пусть G/Z(G) = gZ(G) циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = g z , b = g z , z , z Z(G), k, l Z

и

ab = g z g z = g g z z = g g z z = g z g z = ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы а исчерпываются бесконечной циклической группой а / E а и конечными циклическими группами aа порядка m для каждого натурального числа m.

Доказательство.

По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = а исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = а , m N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.

Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a | k Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов a M, k Z. Если два смежных класса совпадут a M = a M, то a

M и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, a M, . , a M попарно различны. Кроме того, для любого a M A/M имеем:

t = mq + r, 0 ≤ r < m и a M = a

a M = a M.

Таким образом,

A/M = {M, aM, a M, . . . , a M} = aM,

т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы a порядка n исчерпываются конечными циклическими группами aа порядка m для каждого натурального m, делящего n.

Доказательство.

По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = a порядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = а порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что

A/M = aM = {aM, a M, . . . , a M,M},

т.е. A/M=aа будет циклической группой порядка m.

Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.

ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то = U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;

2) каждая подгруппа фактор-группы = G/H имеет вид = V/H, где V— подгруппа группы G и H V ;

3) отображение : U → является биекцией множества S(G,H) на множество S( );

4) если N S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.

Доказательство.

(1) Пусть U S(G,H) и пусть ={uH | u U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если u H, u H , то u , u U, а так как U — подгруппа, то u u U и u U. Поэтому,

(u H)(u H) = u u H , (u H) = u H

и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность – подгруппа группы .

(2) Пусть — произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие , т.е. V = {x G | xH }. Если v , v V, то v H, v H , а так как — подгруппа, то

Характеристики

Список файлов курсовой работы