86087 (612637), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(v
H)( v
H) = v v H 
и (v H)
= v
H
Следовательно, v v V и v V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ
(3) Отображение 
: U → 
будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что – инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы = {uH | u U} и = { vH | v V } совпадают. Тогда для любого элемента u U существует элемент v V такой, что uH = vH. Поэтому v u H ≤ V ∩ U. Теперь u V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и — инъекция.
(4) Если N 
G, N S(G,H), то
(gH) (nH)(gH) = g ngH N/H
для всех g G, n N. Поэтому 
= N/H 
. Обратно, если , то
g ngH = (gH) (nH)(gH)
и g ngH N, значит N G.
Пример: Найдем все фактор-группы группы S
.
Среди подгрупп группы S со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S , H=
(см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S . Ясно, что S / S – единичная группа, а S / E изоморфна S .Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S / H равен 2. Поэтому S / H – циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S имеет три фактор-группы: S / H
S , S / S E, S / H={H,(12)H}=
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.
2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
3. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.:Вышэйшая школа, 2006.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
