85846 (Сечение многогранников), страница 2

2.1 Методы построения сечений многогранников

Геометрические задачи традиционно делятся на три типа:

1. на вычисление;

2. на доказательство;

3. на построение.

Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листе бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связано с темой «Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи на вычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями. Основными методами построения сечений многогранников являются следующие методы:

1. Метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

2. Метод вспомогательных сечений. Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «скученными». Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

3. Комбинированный метод построения сечений. Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов и методом вспомогательных сечений.

4. Координатный метод построения сечений. Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

Из всех перечисленных способов построения сечения наиболее приемлемым является координатный метод, так как он связан с большим объемом вычислений и имеет простой алгоритм реализации, что целесообразно реализовать с помощью ЭВМ. Достаточно знать координаты вершин каждой грани многогранника и три точки задающие плоскость сечения.

2.2 Задание сечений пространственных тел

Как уже говорилось, удобнее всего задавать плоскость сечения тремя точками, причем координаты этих точек должны быть известны или должны вычисляться. Рассмотрим возможные варианты задания точек плоскости сечения:

1. точка расположена вне многогранника;

2. точка находится внутри многогранника;

3. точка расположена в грани многогранника;

4. точка принадлежит ребру многогранника;

5. точка принадлежит диагонали многогранника;

6. точка совпадает с вершиной многогранника.

Условие задания секущей плоскости тремя точками будет выполняться не всегда и в этом случае придется вычислять уравнение плоскости сечения, используя другие методы. В данной работе рассматривается лишь способ задания тремя точками.

2.3 Построение сечений пространственных тел. Алгоритм

Метод построения сечения заключается в нахождении точек пересечения секущей плоскости с гранями многогранника, а вернее с ребрами многогранника. Проверка на пересечение секущей плоскости и ребра многогранника производится следующим образом:

1. Составление уравнения секущей плоскости по трем точкам;

2. Подстановка в уравнение координат концов ребра с целью проверки: расположены ли точки в разных полупространствах относительно плоскости сечения.

3. Нахождение точки пересечения ребра многогранника и плоскости сечения.

Для каждой грани записываются две точки, причем запись производится только для тех граней, где плоскость сечения пересекла два ребра. Далее используя полученные данные, строится многоугольник сечения следующим образом:

1. Берем первую пару точек и ищем следующую пару точек в которой повторяется одна из точек первой пары.

2. Найдя следующую пару проделываем для нее тоже самое, что и для первой пары, но исключаем из поиска первую пару.

3. Проделываем весь алгоритм для каждой пары, пока не останется одна ненайденная точка.

4. Полученная цепочка является последовательным описанием ребер многоугольника сечения.

Далее запоминаем полученный многоугольник, как новую грань многогранника.

2.4 Исследование свойств сечения

Перечислим некоторые свойства сечения (исходя из факта, что сечением является многоугольник).

1. Уравнение плоскости сечения.

2. Количество вершин многоугольника сечения.

3. Площадь многоугольника сечения.

4. Координаты вершин многоугольника сечения.

5. Двугранный угол между плоскостью сечения и гранями многогранника.

6. Углы при вершинах многоугольника сечения.

Некоторые из этих свойств реализованы в программе (1,2,3,4).

Пример: Нахождение площади сечения. Так как строятся сечения выпуклых многогранников, то многоугольник сечения будет тоже выпуклым, т.е. его площадь можно найти разбиением на треугольники (площадь сечения равна сумме площадей треугольников из которых оно составлено).

Глава III. Визуализация

3.1 Способы визуализации трехмерного пространства

Для визуализации используются два вида проекций: параллельные (аксонометрические) (на рисунке слева) и центральные (перспективные)

(на рисунке справа). При построении аксонометрической проекции пространственного тела его отдельные точки сносятся на плоскость проекции параллельным пучком лучей, а при построении центральной проекции – пучком лучей исходящих из одной точки, соответствующей положению глаз наблюдателя. Частным случаем аксонометрической проекции является проекция ортографическая, при построении которой плоскость проекции выравнивается параллельно одной из координатных плоскостей.

3.2 Перекрытие

Под перекрытием понимается тот факт, что невозможно одновременно видеть все грани многогранника и какие - то грани обязательно окажутся невидимыми. Проблема состоит в том, как узнать какие грани видны, а какие нет. В проекте мы рассматриваем только выпуклые многогранники, поэтому для реализации перекрытия используется тот факт, что нормальный вектор к каждой грани направлен извне. Т.е. если использовать ортографическую проекцию, то тот факт, что координатная составляющая (оси проекции) нормального вектора положительна, то грань видима, если отрицательна, то грань перекрыта.

3.3 Освещенность

Освещенность граней вычисляется путем, вычисления угла (синуса угла) между нормальным вектором к грани и осью ортографической проекции.

Глава IV. Создание компьютерного приложения

4.1 Постановка требований к реализуемому проекту

1. Простота использования.

2. Полнота необходимых инструментов и возможностей.

3. Интерактивность.

4. Быстрота работы.

5. Простота создания входного файла.

4.2 Разработка интерфейса программы

При разработке интерфейса программы уклон делался на стандартизацию меню и удобство использования. Также необходима функция встроенных подсказок (всплывающих и в строке состояния).

4.2.1 Окна проекций

В программе используются три окна проекции: вид сверху, вид слева, вид спереди, перспектива. Размер окон проекции изменяется путем перемещения цента разделителя. Также здесь показаны оси координат. Существует возможность включения координатной сетки.

4.2.2 Меню пользователя

Файл

Открыть (загрузка файла многогранника).

Сохранить (сохранение файла).

Выход (выход из программы).

Правка

Сброс (сброс всех измененных параметров).

Вид

Каркас (отображаются ребра многогранника).

Заливка (вывод граней, с расчетом их освещенности).

Обозначить (обозначить вершины многогранника).

Сетка (вывод сетки координат).

Инструменты

Выбрать (позволяет выбирать и перемещать точки задающие сечение).

Переместить (перемещение многогранника).

Повернуть (поворот многогранника).

Масштаб (масштаб окон проекций).

Стирка (позволяет отключать заливку выбранной грани).

Заливка (позволяет включить заливку выбранной грани).

Ограничить (ограничение манипулирования сценой по осям координат).

Цент поворота (изменение центра поворота).

Распространить (изменять координаты точек задающих сечение вместе с координатами многогранника).

Сечение

Построить (построение сечения путем задания трех точек плоскости сечения).

Удалить (удаление сечения).

Вид (настройка вида сечения).

Привязать (привязка выбранной точки сечения к элементам многогранника).

Просмотр (окно просмотра сечения).

Настройка

Цвет (вызов диалога изменения цветовой схемы)

4.2.3 Основные методы работы

Основной метод работы заключается в выборе инструмента, затем наведении курсора на объект действия и манипуляция с помощью нажатия клавиши мыши.

4.2.4 Диалог просмотра сечения

Вывод многоугольника сечения производится с помощью поворота плоскости сечения в положение параллельности плоскости XOY.

Заключение

В заключении данного проекта рассмотрим возможные пути дальнейшего развития проекта и его использования, а также оценку выполнения поставленной задачи и отметим полученные результаты. Поставленная перед началом работы цель: создание инструмента, позволяющего наглядно и интерактивно изучать пространственные тела и их сечения – реализована.

Создано приложение, которое позволяет загружать пространственные тела и манипулировать ими – это уже можно использовать при начальном изучении пространственных тел. Далее в программе реализована функция построения сечения пространственных фигур плоскостью, которая задается тремя точками, координаты которых можно изменять. Минусом программы является возможность изучения только выпуклых фигур и невозможность построения более одного сечения.

Пути дальнейшего развития проекта:

1. Построение нескольких сечений;

2. Возможность загрузки невыпуклых фигур;

3. Подбор задач решаемых с помощью созданного приложения;

4. Разработка методик применения программы в обучении;

5. Создание конструктора пространственных тел;

6. Создание интерактивного инструмента для построения сечений пространственных фигур аксиоматическим методом («Живая стереометрия»);

7. Создание обучающего модуля и методического сопровождения к нему;

8. Применение на практике.

Изучаемая в данной курсовой работе тема, должна быть изучена до конца, так как это может найти целесообразное и удачное применение на практике.

Приложение

Текст программы

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,