85525 (Вариации при исчислении)

1. Элементы вариационного исчисления

1.1 Понятие функционала и оператора

В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или закону число y, то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x).

Если же функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону число J, то говорят, что задан функционал J = J(y). Примером функционала может быть определенный интеграл от функции y(x) или от некоторого выражения, зависящего от y(x),

Если теперь функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что задан оператор z = L(y), или z = Ly.

Примерами дифференциальных операторов могут служить:

Дадим более строгое определение функционала. Пусть A – множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствие одно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областью определения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значением функционала J на элементе u. Функционал J называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным, если его область определения есть линейное множество и если

J (αu + βv) = αJ(u) + βJ(v).

1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала

Задача о брахистохроне

Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: точки А (0,0) и В (а, b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Какова должна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А и В, чтобы материальная точка, двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой из точки А в точку В в кратчайшее время?

Искомая кривая и была названа брахистохроной.

Пусть уравнение кривой АВ есть y = u(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда , где v – скорость движущейся точки, g – ускорение силы тяжести. В то же время

Отсюда

.

Обозначим через Т время, в течение которого материальная точка достигает точки В. Интегрируя, находим

(1.1)

Задача сводится к следующему: надо найти функцию y = u(x), удовлетворяющую условию

u(0) = 0; u(а) = b (1.2)

и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение. Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.

Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.

Задача о наибольшей площади

Сформулируем эту задачу так: среди всех плоских кривых, имеющих данную длину и оканчивающихся в точках А (а, 0) и В (b, 0), найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком [а, b] оси x область с наибольшей площадью.

Пусть уравнение кривой будет y = u(x). Задача заключается в том, чтобы найти функцию u(x), удовлетворяющую краевым условиям

u(а) = u(b) = 0 (1.3)

и тождеству

(1.4)

и сообщающую интегралу

(1.5)

наибольшее значение.

Общим для рассмотренных задач является то, что каждый раз ищется функция, удовлетворяющая тем или иным поставленным условиям и сообщающая экстремальное значение заданному функционалу.

Приведенные здесь задачи относятся к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением.

1.3 Постановка задачи вариационного исчисления

Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение

, (1.6)

либо максимальное значение

. (1.7)

Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала – J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.

В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.

Будем считать, что D(J) есть часть некоторого пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М – линейное множество элементов пространства Х и ū – некоторый фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде

u = ū + η, ηєМ. (1.8)

Если ūєМ, то, очевидно, так определенное линейное многообразие совпадает с М.

Требование 1. Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие.

Будем считать также, что пространство Х бесконечномерно. Тогда в Х линейное множество М также бесконечномерно и, следовательно, из него можно выделить конечномерное подпространство.

Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J(u) = J (ū + η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.

Введем понятие об абсолютном и относительном минимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютного минимума, если неравенство

J(u₀) = J(u) (1.9)

Справедливо для любого элемента u є D(J). Тот же функционал достигает на элементе u0 относительного минимума, если неравенство (9) справедливо для элементов u є D(J), достаточно близких к u0.

Абсолютный минимум называют еще сильным минимумом, а относительный – слабым.

Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к нулю и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью второй производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.

1.4 Первая вариация и градиент функционала

Будем рассматривать функционал J, подчиненный требованиям 1, 2. Возьмем произвольный элемент u є D(J) и произвольный элемент η є М. Обозначим через α произвольное вещественное число. Нетрудно видеть, что элемент

u + αη є D(J). (1.10)

Составим выражение J (u + αη). В силу требования 2 J (u + αη) есть непрерывно дифференцируемая функция от α. Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при α = 0

. (1.11)

В результате получим число, которое можно рассматривать как значение функционала (11), зависящего от двух элементов u и η.

Определение. Функционал

называется первой вариацией функционала J на элементе u и обозначается символом δJ (u, η):

. (1.12)

При этом разность двух функций u є D(J) и u1 є D(J) называют вариацией функции u и обозначают δu = u(х) – u1 (х).

Пример. Найти первую вариацию функционала

(1.13)

область определения которого D(J) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям: u С(1) [a, b] и

u(а) = А, u(b) = В, (1.14)

где А и В-заданные постоянные. Условия (14) означают, что кривые у = u(х), где u D(J), проходят через две фиксированные точки (а, А) и (b, В).

Несложно показать, что функционал (13) удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяет требованию 3.

Требование 3. Вариация δJ (u, η) – не только однородный, но и аддитивный функционал от η.

Составим вариацию функционала (1.13)

(1.15)

Можно показать, что интеграл:

(1.16)

есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:

η(а) = η(b) = 0. (1.17)

В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям

Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде

. (1.18)

Здесь u + αη – u = αη = δu u можно записать

(1.19)

Вариацию δJ (u, η) можно записать в виде

δJ (u, η) = (Рu, η). (1.20)

Определение. Оператор Р, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом

Р = grad J.

Если u D(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде

δJ (u, η) = (grad J(u), η) (1.21)

Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18)

.

1.5 Необходимое условие минимума функционала

Пусть функционал J достигает на некотором элементе u₀ относительного минимума. Возьмем произвольный элемент η М и произвольное вещественное число α. По определению относительного минимума при достаточно малых значениях α

J(u₀ + αη) J(u₀) (1.22)

Это неравенство означает, что функция одной вещественной переменной α, равная J(u₀ + αη), имеет при α₀ = 0 относительный минимум. Но тогда необходимо

или, что то же

δJ(u₀, η) = 0 (1.23)

Если функционал в некоторой точке достигает минимума, то в этой точке первая вариация функционала равна нулю. В этом заключается необходимое условие экстремума функционала.

1.6 Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами

Рассмотрим основную лемму вариационного исчисления.

Лемма Лагранжа.

Пусть f (х, у) – функция, непрерывная в области D с контуром Г. Если

η (х, у) dxdy = 0 (1.24)

для любой функции η (х, у), непрерывной в области D вместе со своими частнымы производными до n-го порядка включительно и обращающейся в нуль на границе Г (η (х, у)|_Г = 0), то

f (х, у) = 0.

Для примера, рассмотренного в 1.4, было получено в точке минимума функционала (1.13) условие

(1.25)

Исходя из леммы Лагранжа, можем записать

. (1.26)

Если условие (1.25) записать в виде

,

то очевидно, что δu (вариация искомой функции) – функция неравная нулю на отрезке (а, b), поэтому должно выполняться условие (1.26).

Уравнение (1.26) можно еще записать в виде