85525 (612502), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Интегрирование дает

.

Отсюда

.

Интегрируя еще раз, придем к уравнению окружности радиуса

. (1.46)

Таким образом, если решение существует, то это – дуга окружности. Для определения ее радиуса и центра имеем три уравнения

.

Пусть будет угол, под которым виден отрезок AB из центра окружности (рис. 2):

.

Для определения имеем уравнение

,

решение которого всегда возможно при указанном выше условии. Подставляя условия (1.3) в уравнение (1.46) находим . Найдя из уравнения (1.46) найдем .

1.10 Минимизирующая последовательность

Пусть J-произвольный ограниченный снизу функционал. В этом случае существует нижняя грань его значений

.

Последовательность элементов из D(J) называется минимизирующей для функционала J, если существует предел J(un), равный m.

Теорема 1: Функционал, ограниченный снизу, имеет по крайней мере одну минимизирующую последовательность.

Из определения нижней грани следует, что: 1) для любого элемента справедливо равенство ; 2) для любого существует такой элемент из D(J), что . Положим и обозначим . Тогда , откуда следует, что .

Теорема 2: Пусть D(J) – линейное многообразие некоторого банахова пространства X. Если функционал J непрерывен в D(J) и существует предел минимизирующей последовательности , то элемент сообщает функционалу J минимальное значение.

Доказательство вытекает из непрерывности функционала

.

Теоремы 1, 2 создают возможность решать задачу о минимуме функционала, минуя уравнение Эйлера. Для этого надо прежде всего погрузить множество D(J) в такое банахово пространство X, в котором функционал J был бы непрерывен. Далее следует построить минимизирующую последовательность. Если она сходится, то ее предел решает вариационную задачу.

На этом построены численные вариационные методы (см 15) и обоснование их сходимости.

1.11 Функционал от функций, нескольких независимых переменных

Рассмотрим конечную область в m-мерном Евклидовом пространстве. Будем считать, что граница Г области состоит из конечного числа кусочно-гладких (m-1) – мерных поверхностей.

Рассмотрим функционал

(1.47)

при условии , где g(x) – заданная непрерывная функция на поверхности Г. Считаем, что выполнены требования 1, 2, 3.

Найдем первую вариацию функционала (1.47)

(1.48)

Здесь обозначено

.

Пусть функция такова, что существуют обобщенные производные

.

Тогда имеем

и, следовательно

(1.49)

В этом случае уравнение Эйлера для функционала (1.47) принимает вид

, (1.50)

и называется уравнением Остроградского.

Пример.

Найти уравнение Эйлера для функционала

при краевом условии .

Пусть функция подчиняется всем оговоренным выше условиям, тогда уравнение (1.50) принимает вид

. (1.51)

1.12 Функционал от функций, имеющих производные высших порядков

Рассмотрим функционал вида

. (1.52)

Будем считать, что функция определена в области

и в этой области k раз непрерывно дифференцируема.

Функционал (1.52) зададим на функциях , удовлетворяющих краевым условиям

(1.53)

где Ai, Bi – заданные постоянные. Возьмем функцию в виде , чтобы удовлетворялись требования 1,2,3 и составим функционал

(1.54)

Пусть функция такова, что имеет обобщенную производную j-го порядка, тогда

и, следовательно,

(1.55)

Откуда получим уравнение Эйлера

(1.56)

с краевыми условиями (1.53).

Сказанное выше переносится на случай функции многих независимых переменных. Для функционала

(1.57)

при краевых условиях

(1.58)

где – нормаль к Г.

Уравнение Остроградского будет иметь вид

(1.59)

Это уравнение должно решаться при краевых условиях (1.58)

Пример.

Выражение полной энергии деформации жесткой пластинки (плиты) при малых перемещениях, находящейся под действием поперечной нагрузки , представляет собой функционал вида

(1.60)

где W (x, y) – прогиб пластинки; ;

E, – механические характеристики материала пластинки; h – толщина пластинки.

Функция W (x, y) является непрерывной функцией, имеющую непрерывную производную до четвертого порядка включительно и все требования 1,2,3 будут выполнены.

При шарнирно-неподвижном закреплении краев пластинки должны выполняться условия

При x=0, x=a

(1.61)

При y=0, y=b

(1.62)

Получим уравнение Эйлера(Остроградского) для функционала (1.60) при краевых условиях (1.61), (1.62). Так как

то уравнение Остроградского принимает вид

(1.63)

При этом

Поставив эти выражения в (1.63), получим уравнение Остроградского для функционала (1.60)

. (1.64)

Уравнение (1.64) является уравнением равновесия рассматриваемой пластины и должно решаться при граничных условиях (1.61), (1.62).

1.13 Функционалы, зависящие от нескольких функций

Рассмотрим функционал

(1.65)

Зададим его на парах функций из (непрерывных вместе со своей первой производной), удовлетворяющих краевым условиям

(1.66)

где – постоянные. Множество таких пар обозначим через D(J). Каждую такую пару будем называть вектором. За и возьмем функции из , удовлетворяющие условиям

Множество векторов , очевидно линейное, и D(J) есть линейное многообразие. Таким образом функционал (1.65) удовлетворяет требованиям 1,2,3.

Строим две функции, близкие к u(x) и v(x):

и .

Подставив их в функционал (1.65), получим функцию от и . Найдем частные производные от по и при :

Первая вариация функционала (1.65) выражается формулой

где .

Откуда получаем уравнения Эйлера для функционала (1.65) в виде системы двух дифференциальных уравнений

; (1.67)

Эти уравнения должны решаться при краевых условиях (1.66).

2. Вариационные задачи с подвижными границами

2.1 Простейшая задача с подвижными границами

В гл. 1 при исследовании функционала

предополагается, что граничные точки заданы.

Предположим теперь, что одна или обе граничные точки могут перемещаться, тогда класс допустимых кривых расширяется. Поэтому, если на какой-нибудь кривой достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой , и, следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция должна быть решением уравнения Эйлера:

.

Итак, кривые , на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, должны быть экстремалями.

Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с неподвижными граничными точками такими условиями были

, .

В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постоянных общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного необходимого условия экстремума , так как в задаче с подвижными границами экстремум достигается лишь на решениях уравнения Эйлера, то в дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства. При этом функционал превращается в функцию параметров и

и пределов интегрирования , , а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции. Для упрощения будем считать, что одна из этих точек, например , закреплена, а другая может перемещаться и переходить в точку , или, как обычно обозначают в вариационном исчислении, .

Допустимые кривые и будем считать близкими, если модули вариаций и малы и малы модули приращений и .

Экстремали, проходящие через точку , образуют пучок экстремалей . Функционал на кривых этого пучка превращается в функцию и . Если кривые пучка не пересекаются, то этот функционал можно рассматривать как однозначную функцию и (рис. 3.1).

2.2 Условие трансверсальности

Вычислим вариацию функционала на экстремалях пучка при перемещении граничной точки из положения в положение . Так как функционал на кривых пучка превратился в функцию и , то его вариация совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из приращения главную линейную по отношению к и часть:

(3.1)

Характеристики

Список файлов курсовой работы