85265 (Частные случаи дифференциальных уравнений), страница 2

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T₁ sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) = =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T₁ =0.62

h(t)=2 1(t)

w(t)=3.2e 1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину .

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)=U()+jV()= = -j

U()=

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A()=W(j)

A()= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk - arctg

()=-arctgT₁ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T₁ =0.62

A()=

()=arctg0.62

L()=20lg

U()=

V()=

4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ - a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

-y(t)= g(t)

T -y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T= -постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T p-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T sY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) = =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T =0.62

h(t)=2 1(t)

w(t)=3.2e 1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину .

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)= = j =U()+jV()

U()=

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk - arctg

()=-arctg(-T) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T =0.62

A()=

()=-arctg(-0.62)

L()=20lg

U()=

V()=

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ +a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=50,4

a_o=120

b_o=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+ +y(t)= g(t)

+T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= ,T₂²= -постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T₁>2T₂), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,42

2T₂=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

( p²+T₁ p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s)+T₁ sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) = = , где

T_3,4=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1= =

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= =

= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j) = =

U()=

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()= =..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=................

()=............... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ +a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=0,504

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+ +y(t)= g(t)

+T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= ,T₂²= -постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,042

2T₂=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T₂=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, - декремент затухания (0<<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

( p²+2Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s)+2T sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)= =

=

Заменим в этом выражении , .Тогда

H(s)= =

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1= = =

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j)=

U()=

V()

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(2Tj - T²²+1)= - arctg

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ - a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=0,504

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

- +y(t)= g(t)

-T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= ,T₂²= -постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,042

2T₂=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T₂=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, - декремент затухания (0<<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

( p² - 2Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s) - 2T sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)= =

=

Заменим в этом выражении , .Тогда

H(s)= =

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1= = =

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j)=

U()=

V()

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(1 - 2Tj - T²²)= - arctg

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,0588

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)= g(t)

+ y(t)=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T²= -постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при =0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T²p²+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T²s²Y(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Заменим .Тогда

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1= = =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k₀sin₀t1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

U()=

V()=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()= =(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(1-T²²)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg (10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ

4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a₁:

= g(t)

=kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kt1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

w(t)= =k1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)=

U()=0

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A()=W(j)

A()= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - argj

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

+ a₁ =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,0588

a₁=0,504

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a₁:

+ = g(t)

T + =kg(t) (2),

где k= -коэффициент передачи,

T= -постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp²+p)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Ts²Y(s)+sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= - kT1(t)+kt1(t)+kT 1(t)=

= (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)

U()=

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A()=W(j)

A()= = (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - argj - arg

()= - arctg - arctgT (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ =b₁ +b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

b_o=4

b₁=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a₁:

= + g(t)

=k₁ +kg(t) (2),

где k₁= , k= -коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=(k₁p+k)g(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(t)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=k₁sG(s)+kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= 1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k₁(t)+k1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

U()=k₁

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A()=W(j)

A()=............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=............

()=............ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg........

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a_oy(t)=b₁ (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a_o=2

b₁=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a_o:

y(t)=

y(t)=k (2),

где k= -коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=ksG(s)

W(s)=ks (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е.

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =k

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k(t) (5)

Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1=ks

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=ks

W(j)=jk (7)

W(j)=U()+jV()

U()=0

V()=k

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.

4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ + a_oy(t) =b₁ (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

a_o=2

b₁=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a₁:

+y(t)=

T +y(t)=k (2),

где k= -коэффициент передачи,

T₁= -постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

TsY(s)+Y(s)=ksG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) = =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= 1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (t) e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)=

W(j)= =

6.Найдем АЧХ:

A()=W(j)

A()= =

Найдем ФЧХ:

()=argW(j)

()=arctgk-arctgT

L()=20lgA()

L()=20lg

4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

Данное звено описывается следующим уравнением:

a0y(t)=b1 +b0g(t)

y(t)= + g(t)

k1=

k=

p=

y(t)=k1pg(t)+kg(t)

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

Y(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=k1s+k

H(s)= =k1+

h(t)=k1(t)+k1(t)

W(j)=k1j+k

U()=k

V()=k1

A()=W(j)

A()=

()=argW(j)

()=arctg

L()=20lgA()

L()=20lg

4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

a0y(t)=b2 +b1 +b0g(t)

y(t)= + + g(t)

y(t)=k2 +k1 +kg(t)

y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)

Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)

W(s)=k2s2+k1s+k

H(s)=k2s+k1+

h(t)=k2 +k1(t)+k11(t)

w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k

w(t)=k2 +k1 +k(t)

W(j)=k1j+k - k22

U()=k - k22

V()=k1j

A()=

()=arctg

L()=20lg