85232 (Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине)

^{Определитель} произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Курсовая работа

Выполнила студентка II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна

Мурманский Государственный Педагогический Университет

Мурманск 2007

Введение

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Цель данной работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения теоремы Коши-Бине:

Пусть ,

-

и

-матрицы соответственно,

и

Тогда

Другими словами, при определитель матрицы

является суммой произведений всевозможных миноров порядка

в

на соответствующие миноры матрицы

того же самого порядка

Работа состоит из четырех глав, содержит заключение, список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе I рассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операции над матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава II посвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонирование произведения двух матриц. В главе III рассматриваются обратимые и элементарные матрицы. В главе IV вводиться понятие определителя квадратной матрицы, рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательство теоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагается программа показывающая механизм нахождения определителя произведения двух матриц.

Глава I

§ 1 Определение, обозначения и типы матриц

Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:

Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля .Для наших целей поле

будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы

, где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.

Каждой матрице

с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к

и обозначается через

. Видно, что = . Строки матрицы становятся столбцами в

и столбцы матрицы

становятся строками в

.

Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:

Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0

Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0

Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы

. Если

-номера выбранных строк и

-номера выбранных столбцов, то субматрица это

В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

§2 Операции над матрицами

Определим следующие операции:

Сумма двух матриц

, и

с элементами

и

есть

матрица С с элементами

, запишем это как

Произведение матрицы на число

поля

есть матрица С с элементами

, запишем как

.

Произведение матрицы

на

матрицу

есть

матрица С с элементами

, запишем

поле скаляров, рассмотрим

, где

элемент матрицы

, расположенный в

-строке

,

-столбце

. Размерность матрицы

.Если

, то

-квадратная матрица порядка

. Множество

-это множество всех

матриц над полем

.

Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: равна матрице

, т.е

Опр. Пусть -это матрицы одинаковой размерности

. Суммой матриц

и

называется

матрица у которой в

строке,

столбце расположен элемент

, т.е.

. Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:

Пример:

Опр. Пусть ,

,

. Произведение скаляра

на матрицу

называется

у которой в

строке,

столбце расположен элемент

. Другими словами: Чтобы скаляр

умножить на матрицу

нужно все элементы матрицы

умножить на скаляр

.

Определение. Противоположной к матрице называется матрица

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

-абелева группа

1) Сложение матриц ассоциативно и коммутативно.

2)

3)

а)

б)

4)

Глава II

§1 Умножение матриц

,

,

Опр. Произведением матрицы

на

матрицу

называется

матрица

.

, где

, где

Говорят, что есть скалярное произведение

-строки матрицы

на

-столбец матрицы

.

, где

Пример:

§2 Свойства умножения матриц

Умножение матриц ассоциативно:

1)

, если определены произведения матриц

и

Доказательство:

Пусть , так как определено

, то

и определено

, то

Определим матрицы:

а)

б)

(1) матрицы, тогда

имеют одинаковую размерность

2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковые элементы

из равенства (1)

(2),

(3). Подставляя (3) в (2) получим:

, тогда

(4),

(5). Подставляя (5) в (4) получим:

Вывод: Матрицы имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

Умножение матриц дистрибутивно :

Доказательство:

так как определено

, то

и определено

, то

размерности

размерности

Матрицы имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:

,

,

Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

3. ,

. Если определены

матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.

4. ,

:

, если определена матрица

Доказательство:

. Пусть

,

,

,

5. Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:

, тогда

§3 Техника матричного умножения

поле скаляров,

,

Свойства:

Произведение можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы

на

слева и как результат умножения строк матрицы

на

справа.

Пусть матрица

,

-линейная комбинация столбцов матрицы

коэффициенты которой служат элементы матрицы

Пример

Пусть -матрица

, тогда

-линейная комбинация строк матрицы

коэффициенты которой служат элементы матрицы

Пример:

Столбцы матрицы -линейная комбинация столбцов матрицы

. Строки

-линейная комбинация строк матрицы

.

§4 Транспонирование произведения матриц

поле скаляров,

,

,

,

Теорема

если

, то

. Обозначим:

,

Доказательство:

1) Пусть

,

- размерности

,

- размерности

, тогда

и

имеют одинаковую размерность

2) ,

-элемента расположенный в

-строке,

-столбце матрицы

т.е

,

-произведение

-строки транспонированной

на

столбец

,

Глава III

§1 Обратимые матрицы

поле скаляров, множество

матриц порядка

Определение. Квадратная матрица порядка

называется единичной матрицей

,

Пусть ,

Теорема 1

, то для

выполняется

Доказательство:

Из этого следует . Матрица

является единичной матрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.

Определение. Квадратная матрица называется обратимой если существует

так, что выполняются условия

Матрица называется обратной к

и обозначается

, тогда если

-это обратная к

, то

обратная к

-это взаимообратные матрицы т.е.

Теорема 2

Если -обратима, то существует только одна матрица обратная к

Доказательство:

Пусть дана матрица

, которая обратима и пусть существуют матрицы

обратные к

т.е.

. Имеем

Обозначение: Множество всех обратимых матриц порядка над полем

обозначается

Теорема 3

Справедливы утверждения:

1) алгебра

2) группа

Доказательство:

1)

-это бинарная операция

а) Пусть , так как

-обратимые матрицы, проверим, что

-это бинарная операция:

обратные к

Аналогично: ,

обратимая матрица т.е

-это бинарная операция

б) , матрица

обратима, поэтому

-это унарная операция