48811 (Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины), страница 2

2016-07-30СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "48811"

Текст 2 страницы из документа "48811"

С другой стороны, так как , то

Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.

1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования

Значение функции на удалении h от некоторой точки можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:

где - оператор дифференцирования,

- оператор сдвига, выраженный через оператор p .

h- шаг по оси действительной переменной

Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:

,

Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:

Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:

.

Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:

.

Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и :

.

Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:


После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся заменяются выражением . Раскрыв скобки, подставив и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:

.

Коэффициенты минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.

Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.

1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.

Таблица 1 - Аппроксимация первой производной по трем точкам

y(0)

y(1)

y(2)

y’(0)

-3

4

-1

2

y’(1)

-1

0

1

-1

y’(2)

1

-4

3

2

Таблица 2 - Аппроксимация второй производной по трем точкам

1

-2

1

-12, 2

1

-2

1

0, -1

1

-2

1

12, -2

Таблица 3 - Аппроксимация первой производной по пяти точкам

-25

48

-36

16

-3

12

-3

-10

18

-6

1

-3

1

-8

0

8

-1

2

-1

6

-18

10

3

-3

3

-16

36

-48

25

12

Таблица 4 - Аппроксимация второй производной по пяти точкам

35

-104

114

-56

11

-150, 12

11

-20

6

4

-1

15, -3

-1

16

-30

16

-1

0, 2

-1

4

6

-20

11

15, 3

11

-56

114

-104

35

150, -12

Чтобы получить конечно-разностную модель дифференциального уравнения, необходимо сначала интервал или область решения разделить с постоянным шагом по осям координат на требуемое число подинтервалов и для каждой внутренней точки подставить аппроксимирующие выражения в заданное уравнение. После приведения подобных членов в каждом уравнении, получится система алгебраических уравнений при полной дискретизации всех независимых переменных или система дифференциальных уравнений - при неполной дискретизации. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Поэтому аппроксимирующие, выражения производных из таблиц 1-4 для точек у левой границы интервала берутся из верхних строчек, а для точек у правой границы - из нижних строчек.

2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В качестве демонстрационной краевой нестационарной задачи возьмем задачу теплопроводности с непрерывным временем. На этой задаче удобно показывать как динамику нагрева объекта, так и установившееся распределение температурного поля.

2.1 Задача теплопроводности с непрерывным временем

Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:

,

которое описывает изменение температуры вдоль металлического стержня длиной в 1 метр ( ), вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами

и .

Начальное распределение температуры по длине будем задавать для внутренних точек как

.

Единичную длину стержня разобьем на 8 равных частей

( )

и обозначим изменяющееся значение температуры в каждой точке через .

2.2 Вариант аппроксимации дифференциальными уравнениями

Применим трех точечную аппроксимацию частной производной второго порядка, воспользовавшись таблицей 2 из раздела 1.4. Для внутренних точек и для приграничных точек коэффициенты в аппроксимирующем выражении второй производной оказываются одинаковыми. Это позволяет для каждой внутренней точки, размеченного на 8 частей стержня, записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно скорости изменения температур в каждой точке:

Для получения числовых значений зададим конкретные величины. Так коэффициент В для теплоизолированного по боковой поверхности алюминиевого стержня равен теплопроводности этого материала, т.е. =200 вт/(мК).

Удвоенный квадрат шага по длине стержня равен 20.1252=0.03125 м2.

Вместо температуры введем относительную переменную, разделив левую и правую части на 100:

.

Если все коэффициенты перенести в правую часть и, вычислить, записав результат перед скобками, то система уравнений примет окончательный вид:

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Нет! Мы не выполняем работы на заказ, однако Вы можете попросить что-то выложить в наших социальных сетях.
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4100
Авторов
на СтудИзбе
670
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее