48811 (Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "48811"
Текст 2 страницы из документа "48811"
С другой стороны, так как , то
Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.
1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования
Значение функции на удалении h от некоторой точки можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:
где - оператор дифференцирования,
- оператор сдвига, выраженный через оператор p .
h- шаг по оси действительной переменной
Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:
,
Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:
Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:
.
Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:
.
Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и :
.
Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:
После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся заменяются выражением . Раскрыв скобки, подставив и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:
.
Коэффициенты минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.
Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.
1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.
Таблица 1 - Аппроксимация первой производной по трем точкам
| y(0) | y(1) | y(2) |
|
y’(0) | -3 | 4 | -1 | 2 |
y’(1) | -1 | 0 | 1 | -1 |
y’(2) | 1 | -4 | 3 | 2 |
Таблица 2 - Аппроксимация второй производной по трем точкам
|
|
|
|
|
| 1 | -2 | 1 | -12, 2 |
| 1 | -2 | 1 | 0, -1 |
| 1 | -2 | 1 | 12, -2 |
Таблица 3 - Аппроксимация первой производной по пяти точкам
|
|
|
|
|
|
|
| -25 | 48 | -36 | 16 | -3 | 12 |
| -3 | -10 | 18 | -6 | 1 | -3 |
| 1 | -8 | 0 | 8 | -1 | 2 |
| -1 | 6 | -18 | 10 | 3 | -3 |
| 3 | -16 | 36 | -48 | 25 | 12 |
Таблица 4 - Аппроксимация второй производной по пяти точкам
|
|
|
|
|
|
|
| 35 | -104 | 114 | -56 | 11 | -150, 12 |
| 11 | -20 | 6 | 4 | -1 | 15, -3 |
| -1 | 16 | -30 | 16 | -1 | 0, 2 |
| -1 | 4 | 6 | -20 | 11 | 15, 3 |
| 11 | -56 | 114 | -104 | 35 | 150, -12 |
Чтобы получить конечно-разностную модель дифференциального уравнения, необходимо сначала интервал или область решения разделить с постоянным шагом по осям координат на требуемое число подинтервалов и для каждой внутренней точки подставить аппроксимирующие выражения в заданное уравнение. После приведения подобных членов в каждом уравнении, получится система алгебраических уравнений при полной дискретизации всех независимых переменных или система дифференциальных уравнений - при неполной дискретизации. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области.
В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Поэтому аппроксимирующие, выражения производных из таблиц 1-4 для точек у левой границы интервала берутся из верхних строчек, а для точек у правой границы - из нижних строчек.
2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В качестве демонстрационной краевой нестационарной задачи возьмем задачу теплопроводности с непрерывным временем. На этой задаче удобно показывать как динамику нагрева объекта, так и установившееся распределение температурного поля.
2.1 Задача теплопроводности с непрерывным временем
Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:
,
которое описывает изменение температуры вдоль металлического стержня длиной в 1 метр ( ), вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами
и .
Начальное распределение температуры по длине будем задавать для внутренних точек как
.
Единичную длину стержня разобьем на 8 равных частей
( )
и обозначим изменяющееся значение температуры в каждой точке через .
2.2 Вариант аппроксимации дифференциальными уравнениями
Применим трех точечную аппроксимацию частной производной второго порядка, воспользовавшись таблицей 2 из раздела 1.4. Для внутренних точек и для приграничных точек коэффициенты в аппроксимирующем выражении второй производной оказываются одинаковыми. Это позволяет для каждой внутренней точки, размеченного на 8 частей стержня, записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно скорости изменения температур в каждой точке:
Для получения числовых значений зададим конкретные величины. Так коэффициент В для теплоизолированного по боковой поверхности алюминиевого стержня равен теплопроводности этого материала, т.е. =200 вт/(мК).
Удвоенный квадрат шага по длине стержня равен 20.1252=0.03125 м2.
Вместо температуры введем относительную переменную, разделив левую и правую части на 100:
.
Если все коэффициенты перенести в правую часть и, вычислить, записав результат перед скобками, то система уравнений примет окончательный вид: