47778 (Обработка данных в автоматизированных системах), страница 3

N - количество отсчетов (длина) временного ряда.

Дискретное преобразование Фурье связывает спектральную характеристику (комплексный спектр) X(k), определенную в дискретных значениях частоты (с номером k), с дискретными значениями временного ряда (сигнала) x(i), определенными в дискретные моменты времени (с номером i).

Точность представления спектральной характеристики определяется разрешением по частоте:

(2.3)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется следующим соотношением:

(2.4)

Из сравнения формул (2.2) и (2.4) следует, что они отличаются знаком показателя экспоненты, множителем перед знаком суммы, а также переменной суммирования. Это позволяет строить единые программы для прямого и обратного преобразований Фурье.

Применяя формулу Эйлера, выражение (2.2) можно привести к виду:

(2.5)

где

(2.6)

Оценивание спектральной плотности мощности (СПМ) с помощью дискретного преобразования Фурье осуществляется по формуле:

(2.7)

где X(k) - дискретное преобразование Фурье (спектральная характеристика) временного ряда , соответствующего процессу x(t), обладающего свойством эргодичности;

T - период дискретизации процесса x(t);

N - длина временного ряда.

Черта в правой части формулы (2.7) означает операцию осреднения. Применение формулы (2.7) без операции осреднения приводит к получению "грубой" оценки СПМ. Формула (2.6) позволяет вычислить оценку СПМ посредством статистического осреднения модуля спектральной характеристики совокупности данных, поделенного на длину записи данных. Статистическое осреднение необходимо здесь потому, что ординаты спектральной характеристики являются случайными величинами, изменяющимися для каждой используемой реализации случайного временного ряда .

Операция осреднения уменьшает статистическую изменчивость, или повышает статистическую устойчивость. В спектральном анализе случайных временных рядов на статистическую устойчивость влияют два параметра - разрешение по частоте и длина записи .

Можно показать, что оценки ПСМ приближенно имеют распределение с n степенями свободы, где . Более того, для достаточно больших n, например, , распределение аппроксимируется гауссовским (нормальным) распределением. В этом случае нормированное стандартное отклонение (стандартное отклонение, связанное с оцениваемой величиной, т.е. процентная ошибка, или, в статистической терминологии, "коэффициент разброса") определяется соотношением:

(2.8)

Величину называют стандартной ошибкой. Если

, то

.

Результат означает, что вычисление оценки СПМ с использованием полной длины временного ряда имеет стандартную ошибку, равную 100%.

Если отрезок поделить на m участков, то в этом случае:

(2.9)

Подставляя полученный результат в (2.7), найдем:

(2.10)

Таким образом, для повышения точности оценивания СПМ необходимо исходный временной ряд длины N разбить на m участков длины Nу, вычислить для каждого i-го участка по формуле (1), а затем найти осредненную оценку по формуле:

(2.11)

Следует иметь в виду, что разрешение по частоте в рассмотренном случае определяется из соотношения . Число степеней свободы для найденной оценки СПМ можно найти следующим образом:

(2.12)

Следовательно, для повышения степеней свободы и, соответственно, статистической устойчивости оценок СПМ необходимо увеличивать число участков для осреднения.

Повышение числа степеней свободы можно достичь другим способом - осреднением по частотам.

Сглаженная оценка:

(2.13)

полученная осреднением - соседних оценок спектральной характеристики, имеет распределение с числом степеней свободы, равным примерно 2l. Это следует из теории о сложении величин, имеющих распределение .

Следует отметить, что разрешение по частоте в данном случае определится из соотношения:

(2.14)

Поскольку операция осреднения линейная, оценку СПМ можно найти, комбинируя осреднение по участкам с осреднением по частотам. При этом сначала выполняется осреднение по участкам, а затем - по частотам. При осреднении по m участкам с последующим осреднением соседних спектральных оценок в итоге получаются оценки, число степеней свободы которых равно . Разрешение в этом случае равно

.

3. РАЗРАБОТКА ПРИКЛАДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Программное обеспечение разрабатывается в виде стандартного приложения для операционной системы Windows. Она наиболее распространена среди потенциальных пользователей разрабатываемого программного продукта, а использование оконного интерфейса позволяет сделать приложение наглядным и простым в использовании.

3.1 Общие сведения

Разрабатываемая программа предназначена для моделирования работы системы обработки информации, состоящая из АЦП и блока анализа. Блок анализа позволяет находить характеристики генерируемого временного ряда, производить прямое и обратное преобразование Фурье и анализировать полученные результаты, оценивать спектральную плотность мощности несколькими способами. В программе так же предусматривается блок, генерирующий исходный временной ряд (поступающий на вход АЦП).

Входными данными для программы являются: разрядность АЦП; динамический диапазон напряжений АЦП; период дискретизации АЦП; амплитуда входного сигнала; число отсчетов (элементов генерируемого временного ряда); число гармоник и их величины; разрешение по частоте; % погрешность оценивания спектральных плотностей; база усреднения.

Выходными данными являются ряды: исходный временной ряд, дискретный временной ряд, ошибка квантования, грубая и сглаженные оценки спектров мощности и т.д.

3.2 Описание используемых модулей

Программа состоит из одного основного модуля Unit1 и дополнительного модуля Unit2. Также в программе используются функции ftt и mo, оформленные в одноименные модули.

Модуль Unit1 представляет собой главное окно программы и содержит основные функции: tsg – генерации временного ряда, grub- анализа грубой оценки и оценки осредненной по частоте, sred – анализа оценки осредненной с помощью разбиения на участки и smooth – анализа оценки со спектральным окном.

Модуль Unit2 является вспомогательным и содержит только информативные сообщения.

Модуль FFT содержит функцию быстрого преобразования Фурье.

Модуль MO содержит функцию, выполняющую нахождение математического ожидания временного ряда.

3.3 Руководство пользователя

При запуске программы открывается окно следующего вида

Рисунок 3.1 – Общий вид окна программы

Окно состоит из нескольких основных частей. Блок ввода исходных данных, где необходимо ввести параметры временного ряда, подлежащего генерации. Все данные вводятся в численном виде, знак разделения – запятая. Число гармоник задается компонентой SpinEdit, и сразу после изменения ее значения в таблице под ней устанавливается соответствующее число ячеек для ввода значений гармоник. Число гармоник в данной программе можно устанавливать в пределах от 1 до 20.

Исходные данные для спектрального анализа вводятся аналогичным образом. Это процентная ошибка, разрешение по частоте и база осреднения.

Блок операций позволяет осуществлять три операции. Это генерация ряда, спектральный анализ и очистка графиков и таблиц.

Генерация ряда проводится на основе введенных данных для ряда. Данные дискретного временного ряда сохраняются в файл. При этом выводятся графики исходного ряда, ряда на выходе АЦП, ошибки квантования, а также численные данные по этим рядам. Последнее будет выглядеть так:

Рисунок 3.2 – Вид окна программы после генерации ряда

Вид окна с графиком, например, исходного врем. ряда, будет таким:

Рисунок 3.3 – Исходный врем. ряд после его генерации

Осуществив ввод данных для спектрального анализа, нажимаем на кнопку «Спектральный анализ». Будут построены графики грубой и осредненной оценок спектральной плотности мощности, а также выведены численные данные по ним, спектры построены в виде гистограмм.

В таблицу выводятся как значения ординат спектров, так и частоты, соответствующие им, отдельно для грубой оценки СПМ и для оценки осредненной по участкам. Для оценки осредненной по частотам частоты те же, что и для грубой оценки СПМ.

Так будет выглядеть окно с численными данными после спектрального анализа: