1450 (Моделювання поведінки клієнта страхової компанії), страница 5

Сподіваний прибуток страхової компанії за умови, що всі клієнти однакові, становитиме величину:

(20)

Максимізація сподіваного прибутку буде еквівалентна максимізації сподіваної корисності прибутку, оскільки, згідно з припущенням, страхова фірма нейтральна до ризику.

Для визначення сподіваного прибутку фірми, який відповідає певному рівню питомого страхового платежу, потрібно визначити реакцію клієнтів (а вони, згідно з припущенням, всі однакові) на , тобто знайти х( ) Після цього знайдену величину підставити формулу (20).

Розрахунок реакції клієнта страхової компанії

Для визначення реакції клієнта страхової компанії потрібно у разі різних питомих страхових платежів перерахувати дані Табл. 2 і знайти той обсяг страхування, який забезпечує максимальну сподівану корисність клієнтові.

У Табл. 4 відображений розрахунок для = 0.001, у Табл. 5 для = 0.003

Оберемо інтервал зміни від 0.0001 до 0.0021 і дня кожною з цього інтервалу з кро­ком 0.0001 знайдемо х( ). Для спрощення розрахунків можна скористатись законом спада­ючої граничної сподіваної корисності. Використання цього закону дає змогу повністю не за­повнювати таблиці на зразок Табл. 2:. як тільки сподівана корисність починає спадати у разі збільшення обсягу страхування, розрахунок можна припиняти. Табл. 5 містить результати розрахунків реакції клієнта на зміну питомого страхового платежу в інтервалі [0.0001, 0.0021] з кроком 0.0001.

Рис.6 графічно зображає обсяг страхування клієнта залежно від ціни страху­вання (питомого страхового платежу). (Для однозначності в точках r – 0.0001, 0.0005, 0.0010, 0.0020 обрані середні значення можливих варіантів страхування, тобто відповідно 17.5, 12.5, 7.5, 2.5.

Табл.5 та Рис.6 наочно показують важливу особливість: спадання обсягу страхування у разі зростання ціни страхування. Очевидним є намагання особи застрахуватись, коли це нічого не варто. Обсяг страхування у цьому випадку буде максимальним, проте страхова фірма матиме лише збитки. За ціни страхування, яка перевищує 0.0021 гривні на кожну гривню застрахованого майна, збитків не буде, але й прибуток теж буде відсутнім, оскільки ніхто не страхуватиметься.

Оптимальна ціна страхування

Полічимо сподіваний прибуток страхової фірми за різного обсягу питомого страхового платежу (ціни за страхування). Нагадаємо ще раз, що максимізація сподіваного прибутку згідно з припущенням про нейтральність страхової фірми до ризику, буде еквівалентна максимізації сподіваної корисності прибутку!

Результати розрахунків відображені в Табл.6. Як і під час побудови Рис.6, для усунення неоднозначності обсягу страхування для деяких значень страхового платежу обираються середні значення обсягів страхування.

Рис.7 і Табл. 6 свідчать про те, що максимальний сподіваний прибуток страхова компанія отримає у разі страхового платежу 0.0019 гривні за кожну гривню застрахованого активу.

Характерною особливістю залежності сподіваного прибутку від страхового платежу є відсутність увігнутості.

Умови прибутковості страхової компанії

Випишемо умови, за яких страхова компанія в середньому буде прибуткова. Розглянемо випадок, коли страхова компанія повністю відшкодовує застрахований актив, тобто q = 1. Сподіваний прибуток компанії з розрахунку на одного клієнта в цьому разі становитиме величину:

(21)

Як і раніше, будемо дотримуватись припущення, що всі клієнти страхової компанії однакові. Отже, за певних умов страхування вони всі гуртом страхуватимуться в однакових обсягах, або ухилятимуться взагалі від страхування. Це дає змогу розглядати питання про прибутковість страхової компанії з точки зору взаємовідносин компанії та одного клієнта.

З (21) випливає, що страхова компанія буде прибутковою (в середньому), якщо одночасно виконуються дві умови:

1. клієнт страхує хоча б частку свого активу, тобто:

х( ) > 0; (22)

2) сподіваний страховий платіж клієнта компанії перевищує сподівану страхову компенсацію компанії клієнтові, тобто:

(23)

Теорема про рівновагу та її наслідок, коли q = 1, дають умови, за яких клієнт схиляється до страхування.

Згадаємо, що, згідно з наслідком з теореми про рівновагу, якщо q = 1, то:

(24)

(25)

(26)

Поєднуючи (26) та (23), робимо висновок, що умови прибутковості страхової компанії в середньому будуть такі:

(27)

Варто звернути увагу на цікаву особливість. Порівняння формул (25), (23) та (27) дає підстави стверджувати, що у разі виконання умов, достатніх для того, щоб власник активу страхував його повністю, страхова фірма буде в середньому збитковою.

Цей висновок, до речі, підтверджується розрахунками з Табл.6 та Рис.7.

Параметричний аналіз взаємодії страхової компанії та її клієнта

Аналіз теореми про рівновагу, її наслідку та умов прибутковості страхової компанії дає змогу дослідити, яким чином впливають деякі параметри на взаємодію компанії та її клієнта.

Відразу ж вкажемо три принципові ситуації, які можуть трапитись на ринку купівлі та продажу ризику.

1) умови врахування вигідні страховій компанії, але не привабливі дня клієнта;

2) умови страхування привабливі для клієнта, але не вигідні страховій компанії,

3) умови страхування вигідні компанії й водночас привабливі для клієнта.

З точки зору аналізу, принциповим є взаємне розташування величин та 1, , . Розглянемо розташування в чотирьох інтервалах: .

Результати аналізу відображені в табл.7. Підкреслимо, що реальна прибутковість страхової компанії та реальна приваб­ливість умов страхування для клієнта можливі лише тоді, коли умови взаємно вигідні й для продавця, й для покупця ризику. Це забезпечується лише в третьому випадку.

Перші два випадки були б реально вигідними для клієнтів, коли б існувала страхо­ва компанія, яка б працювала собі на збиток. Останній - коли б клієнти страхувались, погіршуючи свої життєві кондиції.

Отже, клієнт страхової компанії зацікавлений в її процвітанні, й навпаки, страхова компанія не може нормально працювати, не створивши вигідні умови для клієнтів.

Окремий випадок

Табл.7 свідчить про важливість урахування страховою компанією сили цінностей клієнтта й зокрема, загрозливої межі для параметра , після чого клієнт вже не звертається до страхової компанії.

Досить часто оправданою є така гіпотеза:

Корисність першої одиниці активу надзвичайно велика, а останньої - досить мала;

З гіпотези випливає, що загрозлива межа відсувається дуже далеко, й достатньою умовою прибутковості страхової фірми буде виконання лише нерівності:

або . (28)

У підручниках і задачниках з мікроекономіки вживаною є функція корисності .

Очевидно, що гранична корисність першої одиниці активу, згідно з цією функцією становитиме величину: .

Звідси, для страхової компанії, яка обслуговує клієнтів із системою цінностей, що відображається функцією корисності , єдиною умовою прибутковості є нерівність (28).

Проте прибутковість буває теж різною, й звісно, компанія прагне до максимального прибутку (сподіваного). Тому надмірна жадібність може призвести до невеликих прибутків.

Ускладнені варіанти розрахунків

Проведений вище аналіз базувався на істотних спрощеннях, зокрема на припущенні, що всі клієнти однакові. Зберігаючи основну схему розрахунків, її можна розповсюдити на більш загальний випадок, зокрема на той, коли є кілька груп клієнтів із різним ставленням до ризику.

Позначимо через g групу клієнтів, через - множину груп, - кількість осіб, які належать до групи - відповідно функцію корисності та актив особи групи.

Модель індивіда, який звертається за послугами до страхової компанії, залишається незмінною, за винятком того, запроваджується додатковий індекс належності до груп.

(29)

Позначимо через вважатимемо, що розв'язок задачі (29). Будемо вважати його єдиним. Також вважатимемо, що страхова подія трапляється для усіх осіб однієї групи разом.

розрахунків

Завдання страхової компанії полягає у виборі параметрів страхування та q таким чином, щоб максимізувати сподівану корисність її прибутку, тобто: