86327 (Математический анализ. Практикум), страница 3

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:

1. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c :

1. Если на отрезке , то и

2. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:

1. Интеграл в точке равен 0:

1. (“о среднем”) Пусть y = f(x) – функция, интегрируемая на [a,b]. Тогда , где , f(c) – среднее значение f(x) на [a,b]:

1. Формула Ньютона-Лейбница

,

где F(x) – первообразная для f(x).

3.2.2 Методы вычисления определенного интеграла.

1. Непосредственное интегрирование

Пример 35.

а)

б)

в)

д)

2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.

Пример 36.

1. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пример 37.

а)

б)

в)

д)

3.2.3 Приложения определенного интеграла

Характеристика	Вид функции	Формула
площадь криволинейной трапеции	в декартовых координатах
площадь криволинейного сектора	в полярных координатах
площадь криволинейной трапеции	в параметрической форме
длина дуги кривой	в декартовых координатах
длина дуги кривой	в полярных координатах
длина дуги кривой	в параметрической форме
объём тела вращения	в декартовых координатах
объём тела с заданным поперечным сечением

Пример 38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .

Решение: Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

Итак, точки пересечения и .

Площадь фигуры найдем, используя формулу

.

В нашем случае

Ответ: площадь равна (квадратных единиц).

Глава 4. Функции нескольких переменных

4.1 Основные понятия

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар , при которых функция z существует.

Область определения функции двух переменных представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E³. Например:

Рис.1

Пример 39. Найти область определения функции.

а)

Выражение, стоящее в правой части имеет смысл только при . Значит, область определения данной функции есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса R с центром в начале координат.

б) .

Область определения данной функции – все точки плоскости , кроме точек прямых , т.е. осей координат.

Определение. Линии уровня функции – это семейство кривых на координатной плоскости , описываемое уравнениями вида .

Пример 40. Найти линии уровня функции .

Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости , описываемое уравнением

, или .

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О₁(1, 1) радиуса . Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ее удаления от оси, которая задается уравнениями x = 1, y = 1. (Рис. 4)

Рис.4

4.2 Пределы и непрерывность функций нескольких переменных.

1. Пределы.

Определение. Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для любой точки верно условие , также верно условие . Записывают: .

Пример 41. Найти пределы:

т.е. предел зависит от , а, значит, он не существует.

2. Непрерывность.

Определение. Пусть точка принадлежит области определения функции . Тогда функция называется непрерывной в точке , если

(1)

причем точка стремится к точке произвольным образом.

Если в какой-либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции . Это может быть в следующих случаях:

1. Функция не определена в точке .

2. Не существует предел .

3. Этот предел существует, но он не равен .

Пример 42. Определить, является ли данная функция непрерывной в точке , если .

Получили, что значит, данная функция непрерывна в точке .

предел зависит от k, т.е. он в данной точке не существует, а значит, функция имеет в этой точке разрыв.

4.3 Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

4.3.1 Частные производные первого порядка

Частная производная функции по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y и обозначается:

Частная производная функции по аргументу y является обыкновенной производной функции одной переменной y при фиксированном значении переменной x и обозначается:

Пример 43. Найти частные производные функций.

4.3.2 Частные производные второго порядка

Частные производные второго порядка – это частные производные от частных производных первого порядка. Для функции двух переменных вида возможны четыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные второго порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называют смешанными производными. Смешанные производные второго порядка дважды дифференцируемой функции равны.

Пример 44. Найти частные производные второго порядка.

4.3.3 Полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

Определение. Дифференциал первого порядка функции двух переменных находится по формуле

.

Пример 45. Найти полный дифференциал для функции .

Решение. Найдем частные производные:

тогда

.

При малых приращениях аргументов x и y функция получает приращение , приблизительно равное dz, т.е. .

Формула для нахождения приближенного значения функции в точке , если известно ее точное значение в точке :

.

Пример 46. Найти .

Решение. Пусть ,

.

Тогда используем формулу

.

Получим:

.

Ответ. .

Пример 47. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Имеем

Ответ. .

Пример 48. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Получим:

Ответ. .

4.3.4 Дифференцирование неявной функции

Определение. Функция называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно z.

Частные производные такой функции находятся по формулам:

Пример 49. Найти частные производные функции z, заданной уравнением .

Решение.

Определение. Функция называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно y.

Производная такой функции находится по формуле:

.

Пример 50. Найти производные данных функций.

Глава 5. Классические методы оптимизации

5.1 Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение 1. Функция имеет максимум в точке , если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Определение 2. Функция имеет минимум в точке , если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Необходимое условие экстремума. Если функция достигает экстремума в точке , то частные производные от функции обращаются в нуль или не существуют в этой точке.

Точки, в которых частные производные обращаются в нуль или не существуют, называются критическими.

Достаточный признак экстремума. Пусть функция определена в некоторой окрестности критической точки и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка