Учебное пособие

"Моделирование электрических цепей в системе MathCAD"

Введение

Большинство проблем, связанных с анализом схем электрических цепей, решается в два этапа. Первый этап заключается в составлении уравнений электрической цепи в форме, позволяющей использовать законы Кирхгофа и характеристики элементов, входящих в схему. Полученные на этом этапе уравнения представляют математическую модель цепи. Второй этап заключается в решении этих уравнений путем подходящих аналитических или численных методов. При машинном анализе электрических схем оба этапа могут выполняться ЭВМ, а программу общего анализа часто называют машинной моделью.

В настоящее время имеется достаточно много пакетов программ (PSpice, Electronic Workbench, P-Cad) для решения электрических (электронных) схем.

Любая такая программа машинного анализа схем признает и допускает лишь базовый на6ор схемных элементов, для которых она была разработана.

Чем больший базовый набор допускает программа, тем более многофункциональной она становится.

В случае, если схема содержит элементы, не входящие в базовый набор, следует заменить каждый такой элемент некоторой «эквивалентной схемой» на основе базовых элементов. Это часто невозможно, однако, в большинстве практических случаев считается возможным заменить каждый не допускаемый элемент «почти эквивалентной схемой», называемой схемной моделью. При разработке схемной модели необходимо, чтобы она имела такое же количество полюсов, что и рассматриваемый элемент, состояла лишь из элементов, входящих в базовый набор, чтобы результирующая схема аппроксимировала характеристики соответствующего элемента с переменной точностью.

Выбор наиболее подходящей модели зависит от ее правильного соответствия режима работы цепи: динамическому переходному режиму, установившемуся синусоидальному режиму или режиму постоянного тока.

Для синтеза нелинейных моделей по переменному току возможны два подхода, которые качественно согласуются с режимом работы реальных элементов: это физический метод и метод «черного ящика».

В физическом методе делается попытка преобразовать физическую структуру и механизм работы данного прибора (элемента) в схемную модель.

В методе «черного ящика» полная характеристика схемной модели и моделируемого элемента, полученная экспериментально, должны совпадать с заданной степенью точности. При этом сначала строится статическая модель, а затем для построения модели по переменному току к ней добавляются паразитные ёмкости и индуктивности в существенно важных местах и нет необходимости понимать внутренний физический механизм работы прибора.

Успешное моделирование элементов цепи и создание их схемных моделей позволяет разработать электрическую схему, состоящую только из базовых элементов, которая используется при формировании математической модели (системы уравнений, адекватно описывающей процессы рассматриваемой цепи).

Использование пакета MathCAD в практикуме по решению задач электрических цепей позволяет при освоении курса разделить этапы формирования уравнений и численного их решения, избавляя от рутинных вычислений.

Самостоятельное формирование (моделирование) уравнений, основанных на топологии, способствует их успешному освоению, а возможность изменения численных методов их решения – подходящему их выбору.

Такой подход может быть плодотворным при освоении методов анализа электрических цепей и разработке новых.

1. Элементы теории матриц

1. Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Элемент с номерами ij матрицы А, а_ij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца:

. (1.1)

Матрица размера (mn) (или mn – матрица) имеет m строк и n столбцов. У квадратной матрицы m=n. Если аij=0 при i≠j, то квадратная матрица диагональная. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны 1, матрица называется единичной:

. (1.2)

Если у квадратной матрицы расположенные выше (ниже) главной диагонали элементы равны нулю, то матрица – нижне – (верхне-) треугольная:

. (1.3)

Если у матрицы лишь один столбец или строка, в этом случае она называется столбцовой или строчной, или вектор-столбец, или вектор-строка, или просто вектор.

Вектор-столбец:

. (1.4)

Вектор-строка:

. (1.5)

Матрица А^Т называется транспонированной к А, если элемент а_ij матрицы А равен элементу а_ji матрицы А^Т для всех i и j

Пример 1.1. Если .

Матрица А называется симметричной, если А=А^Т, в противном случае – несимметричной.

При А=-А^Т – матрица кососимметричная.

1.2 Арифметические операции над матрицами

1.2.1 Сложение

Сумма матриц А и В

С = А + В (1.6)

получается сложением каждого элемента матриц А и В одного размера mn, т.е. для всех i и j.

Операция сложения матриц коммутативна

А + В = В + А (1.7)

и ассоциативна

А + (В + С) = (А + В) + С, (1.8)

а также

(А + В)^Т = А^Т + В^Т. (1.9)

1.2.2 Умножение матриц

Произведение С = АВ может быть получено тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Если А размера mt и В размера tn, то матрица С = АВ определяется формулой

. (1.10)

Заметим, что в общем случае АВ ≠ ВА.

Если АВ=ВА, то матрицы коммутирующие или перестановочные.

Умножение обладает свойствами:

А(ВС) = (АВ) С (1.11)

ассоциативности и

(А+В) С=АС+ВС и А(В+С)=АВ+АС (1.12)

дистрибутивности.

1.2.3 Умножение на скаляр

Умножение матрицы (А) на скаляр b означает, что каждый элемент матрицы умножается на скаляр

(1.13)

1.2.4. Вычисление определителей

Пусть А – квадратная матрица порядка n, n>1:

.

Определителем квадратной матрицы А порядка n, n>1 называется число

где – определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-того столбца.

Формулу называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число называется алгебраическим дополнением элемента a_1j.

1.2.5 Обращение матрицы

Если А и В-две квадратные матрицы порядка n, такие, что

АВ=Е, (1.14)

то говорят, что В-матрица, обратная к А, и обозначается через

В=А^-1 , (1.15)

заметим, что АА^-1=А^-1А=Е,

(1.16)

где D=detА (определитель матрицы А); – алгебраическое дополнение элемента а_ij., а М_ij минор к элементу a_ij (определитель, полученный из А удалением i-й строки и j-ого столбца_.

Обращение обладает свойствами:

(1.17)

А^-1 существует, если det A0.

Если det A=0, то матрица особенная.

1.3 Матричное представление линейных уравнений

Система линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения:

АХ=В. (1.18)

Ее решение получаем, умножая обе части равенства слева на А^-1:

А^-1АХ=1Х=А^-1В,

то есть:

Х=А^-1В. (1.19)

Это удобный способ выразить решение Х, но существуют методы решения значительно лучше, чем явное формирование матрицы А^-1 и умножение ее на В.

1.4 Используемые инструменты MathCAD

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции:

– определение размеров матрицы;

– ввод нижнего индекса;

– вычисление обратной матрицы;

– вычисление определителя матрицы: ;

вычисление длины вектора |х|, |х|²= ;

– поэлементные операции с матрицами: если А={а_ij}, B={b_ij}, то ;

– определение столбца матрицы: М^<j> – j-й столбец матрицы;

– транспонирование матрицы: М={m_ij}, M^T={m_ji},

– вычисление скалярного произведения векторов: ;

– вычисление векторного произведения двух векторов: ab=(a₂b₂ – a₃b₂ – a₂b₁ – a₁b₂ – a₂b₁);

– вычисление суммы компонент вектора: ;

– определение диапазона изменения индекса переменной;

– визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции для матрицы.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix (m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности mn, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f (i, j) функции f (x, y);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment (A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

staсk (А, В) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix (A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, irjr, icjc.

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN=1.

Функции вычисления числовых характеристик матриц:

last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора v;

legth(v) – вычисление количества компонент вектора v;

rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;