Поэтому моделирование системы проводилось в два этапа. На первом этапе использовался кластерный алгоритм Вольфа, для определения критической температуры, а затем в ее вблизи исследовалась коротковременная динамика системы.

В работе использовался модифицированный для трехмерной системы кластерный алгоритм Вульфа [6].

1. Выбирается случайный единичный вектор

2. Случайным образом выбираются координаты центрального спина

3. Выбранный спин зеркально отражается в плоскости перпендикулярной направлению :

4. Рассматриваются все соседи данного спина. Спин считается сонаправленным, если он лежат по одну сторону от плоскости перпендикулярной направлению с вектором . Т.е. если

1. Такой спин переворачивается (включается в кластер) с вероятностью

.

1. Если спин перевернут, то аналогичным образом рассматриваются его соседи. Иначе переходим к следующему.

2. На один шаг моделирования может приходиться несколько переворотов кластера.

Алгоритм Вольфа позволяет значительно уменьшить эффекты критического замедления времени релаксации системы.

Для нахождения критической температуры в данной работе рассматривались кумулянты Биндера четвертого порядка. Выражение для кумулянта можно представить в виде:

Где скобки означают статистическое усреднение, а скобки […] - усреднение по различным примесным конфигурациям. Кумулянт U (L,T) имеет важную для описания поведения конечных систем скейлинговую форму:

.

Кумулянт определен так, что 0 £ U £ 1. При этом для температур выше T_c U (L,T) ® 0 в пределе L ® ¥. Данная скейлинговая зависимость кумулянта позволяет определить критическую температуру T_c (L=¥) для бесконечной системы через координату точки пересечения кривых, задающих температурную зависимость U (L,T) для различных L. Более того, легко показать, что в критической области при T® Tc

и, следовательно, по максимальному наклону кумулянтов вблизи точки их пересечения при L®¥ можно определить значение критического индекса n, характеризующего температурную расходимость корреляционной длины при T ® Tc.

Применение кумулянтов позволяет хорошо тестировать тип фазового перехода в системе. Так, в случае фазовых переходов второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную зависимость от L и некоторую область (треугольник) пересечения, близкую к точке. В случае фазового перехода первого рода кривые кумулянтов имеют специфический вид без взаимного пересечения, практически отсутствует их зависимость от размера моделируемой системы, а кумулянты в некоторой области температур принимают отрицательные значения.

1.3.3 Метод коротковременной динамики

Традиционно полагалось, что универсальное поведение существует только в равновесии. Однако недавние исследования в критической динамике для многих статических моделей показали, что универсальность также появляется в пределах микроскопического масштаба времени . Исследование метода коротковременной динамики не только показало существование универсального динамического поведения в пределах коротковременного периода, но также дало очень эффективный метод определения критических индексов [7]. Т.о. мы можем оценивать не только динамический критический показатель , но также и статические критические индексы и . Что более важно, результаты находятся в хорошем соответствии с полученными результатами традиционными методами, выполненными в равновесии.

Аналогично измерениям критических индексов определение критических температур также трудно в равновесии из-за критического замедления. Методом коротковременной динамики критическая температура может быть также получена из поведения намагниченности в критической области.

Главным образом из-за большой длины корреляции в равновесном состоянии существует динамическая скейлинговая форма, имеющая силу не только в равновесии, но также в раннем периоде развития критической системы, если система изначально имеет температуру выше критической, а также маленькую намагниченность. Т.о. после микроскопического времени существует скейлинговая форма. В общем случае для момента намагниченности:

.

Здесь - произвольный фактор, - время, - новый независимый критический параметр.

В ранней стадии развития системы длина корреляции мала, и эффекты конечности размеров почти отсутствуют. Выбирая фактор так, чтобы главная зависимость от времени была отменена (т.е. ), в критической точке получим:

,

где - новый динамический индекс, который характеризует универсальность в коротковременной динамике и равен:

.

Отсюда видно, что в течении микроскопического времени , намагниченность подвергается начальному увеличению в критической точке и можно легко получить значения индекса , основываясь на этой степенной форме.

Аналогично, полагая , в критической точке получим поведение второго момента намагниченности:

.

Для второго момента намагниченности можно ожидать, ввиду того, что длина корреляции мала в области ранней стадии развития системы :

.

Вблизи критической температуры в поведении намагниченности возникает дополнительный множитель - скейлинговая функция , т.е. появляются исправление к простому степенному закону, зависящие от . Поэтому при моделировании системы при температуре вблизи критической получается поведение с несовершенным степенным поведением, и критическая температура может быть получена путем интерполирования.

С другой стороны, можно также рассматривать динамические процессы, с начальным состоянием, в котором все спины направлены вверх. Моделирование методами Монте-Карло этих систем показало, что там также существует подобное скейлинговое выражение:

При критической температуре и при , получаем степенной закон для намагниченности:

Конечномерный скейлинговый анализ показывает, что поведение кумулянта Биндера определяется законом:

.

Т.о., появляется возможность измерять критические индексы и определять критическую точку. Критическое замедление почти отсутствует, так как длина корреляции еще маленькая (в течении времени, когда система еще не достигла равновесия). Метод коротковременной динамики может, кроме того, использоваться, как инструмент для отличия фазовых переходов первого рода от второго, сравнивая критическую температуру, полученную от различных стартовых состояний.

Глава 2. Результаты моделирования критического поведения трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами

2.1 Алгоритм Вульфа. Определение критической температуры

В первой части данной работы использовался алгоритм моделирования Вольфа, с целью уменьшения влияния эффектов критического замедления времени релаксации системы на результаты моделирования. Алгоритм Вольфа характеризуется тем, что на решетке произвольно выбирается спин, строится "физический" кластер, которому этот спин принадлежит, а затем весь построенный кластер переворачивается.

В самом начале вычислений термодинамических характеристик для каждой примесной конфигурации все спины ориентировались в одном направлении (так называемый "холодный старт" - соответствует состоянию системы при Т = 0). Затем чтобы получить конфигурацию спинов, характерную для данной температуры, переворачивалось некоторое количество кластеров. Этот процесс называется термолизацией. В наших вычислениях термолизация составляла 200 шагов Монте-Карло. При этом Монте-Карло шагу соответствовало 5 переворотов кластера Вольфа.

После этого усреднением по N=2000 шагов Монте-Карло вычислялись кумулянты Биндера Результаты усреднялись по 15 - 20 различным реализациям пространственного распределения линейных дефектов образце (примесным конфигурациям). Концентрация спинов выбиралась равной 0.80.

На рис.1 показана температурная зависимость кумулянтов Биндера для различных L. Для разбавленной системы кумулянты пересеклись в области T = 1.20 - 1.21.

2.2 Метод коротковременной динамики. Уточнение критической температуры. Расчет критических индексов

Во второй части работы был реализован метод коротковременной динамики для уточнения критической температуры и вычисления критических показателей. В начальном состоянии все спины были ориентированы в одном направлении, затем использовался алгоритм Метрополиса для нахождения зависимости намагниченности, её логарифмической производной по температуре и кумулянта Биндера от времени. Все вышеуказанные величины усреднялись по примесным конфигурациям.

При моделировании рассматривалась динамика системы в интервале до 1000 шагов Монте-Карло на спин (МКС), около 80 различных конфигураций примесей, для каждой конфигурации проводилось усреднение по 10 прогонкам. Для модели с дальней пространственной корреляцией дефектов характерна сильные флуктуации результатов при малых размерах решетки (L~ 16 - 32). Поэтому в данной работе была предпринята попытка выполнить моделирование для кубической решетки с линейным размером L=64.

При моделировании получилось, что наилучшим образом удовлетворяет степенному закону поведение намагниченности системы при температуре T=1.245, хотя моделирование методом Вульфа показало, что значение критической температуры должно лежать в пределах 1.20 - 1.21. Несоответствие критических температур, определенных этими двумя методами может быть объяснено недостаточной статистикой результатов и малыми размерами систем, используемыми при методе кумулянтов Биндера.

В табл.1 представлены полученные в данной работе значения критических индексов и критические индексы, полученные в работе [1] теоретико-полевыми методами.

Таблица 1. Критические индексы для модели Гейзенберга с линейно коррелированными дефектами. Концентрация примесей 0.2

Индекс		Результат моделирования	Теоретическое значение [1]
z	2.46  0.12		2.26
β/ν		0.49  0.03	0.48

Найденные значения динамического и статических критических индексов, описывающие критическое поведение трехмерной Гейзенберговской-модели с линейными дефектами, в пределах погрешностей находятся в удовлетворительном согласии с результатами теоретической работы Error: Reference source not found. Следует отметить, недостаточное число примесных конфигурации, используемых в работе для усреднения и получения более достоверных значений термодинамических и корреляционных функций. Требуется провести дальнейшее уточнение результатов для данной модели. Тем не менее, результаты проведенных исследований подтверждают факт влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение трехмерной Гейзенберговской модели (имеющей трехкомпонентный параметр порядка).

Заключение

В данной работе методами компьютерного моделирования было осуществлено исследование влияния эффектов дальней пространственной корреляции немагнитных атомов примеси, распределенных в образцах в виде линейных дефектов структуры, на критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга с трехкомпонентным параметром порядка.

Основными результатами работы являются следующие:

1. Для трехмерной модели Гейзенберга были реализованы основные алгоритмы моделирования методом Монте-Карло - алгоритм Метрополиса и кластерный алгоритм Вольфа.

2. В результате применения кластерного алгоритма Вольфа было проведено исследование температурного поведения кумулянтов Биндера 4-го порядка для решеток с размерами . Температуры точек пересечения кумулянтов Биндера для данных решеток позволили определить критическую температуру фазового перехода в ферромагнитное состояние для трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами со спиновой концентрацией .

3. С помощью метода коротковременной динамики были исследованы зависимости намагниченности, кумулянта Биндера 2-го порядка от времени для размера решетки была уточнена критическая температура системы (). Для трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами со спиновой концентрацией из временных зависимостей указанных выше величин были получены значения динамического и статических критических индексов: , и , соответственно.

Найденные значения динамического и статических критических индексов, описывающие критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами, в пределах погрешностей находятся в удовлетворительном согласии с результатами теоретической работы Error: Reference source not found. Можно сделать вывод, что факт влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга подтверждается.

Список литературы

1. V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, A. A. Fedorenko Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects.: Phys. Rev., 2000, v. B62 №13.

2. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.

3. Доценко В.С. УФН, 1995, т.165, № 5.

4. Гулд Х., Тобочник Я.К. "Компьютерное моделирование в физике" В 2 ч.: Наука 1989

5. Kun Chen, Alan M. Ferrenberg, and D. P. Landau. Static critical behavior of three dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study. Phys. Rev., 1993, v. B 48, p.3249-3256.

6. Grobe S. Pawing, Pinn K. Monte Carlo Algorithms For Fully Frustrated XY Model. arXiv: cond-mat/9807137.

7. Zheng B. Monte Carlo simulations and numerical solutions of short-time critical dynamics. arXiv: cond-mat/9910504.

Размещено на Allbest.ru