150908 (Собственные колебания пластин), страница 2

Продифференцируем по x выражение (1.3.2):

.

Подставляем полученные выражения в (1.3.1):

(1.3.3)

.

Обозначим через - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде .

Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины : на .

Е

(1.3.4)

сли (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но , следовательно

.

Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).

Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).

Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет

,

где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].

Е

(1.3.5)

сли корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравнения действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет

.

Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3.1) будет

(1.3.6)

.

Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одно частное решение будет иметь вид

.

Второе частное решение будет

.

Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде

(1.3.7)

.

Глава II Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны

2.1 Основные определения

В этой главе использованы следующие обозначения

• - частная производная функции по ;

• - производная функция одной переменной.

Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , которая зависит от координат точки (x, y) и от времени t. Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных

(2.1.1)

.

В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны

.

В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат и и времени t:

.

Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид

,

Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде

(2.1.2)

.

В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:

Система функций называется ортогональной на интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю: ( ). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом [1].

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны

Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением

(2.2.1)

(2.2.1)

Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b₁ и b₂, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.

Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях

(2.2.2)

и граничных условиях

(2.2.3)

.

Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.

Функция имеет вид

,

где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой

.

А коэффициенты и равны:

,

.

Найдем решение задачи при других граничных условиях.

Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях

(2.2.4)

и граничных условиях

(2.2.5)

.

Б

(2.2.6)

удем искать решение методом Фурье. Пусть функция

и

(2.2.7)

не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем

.

Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x,y), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

(2.2.8)

,

где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

И

(2.2.9)

з соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :

,

а для функции следующую краевую задачу:

(2.2.10)

Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть

и

(2.2.10)

не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду

.

Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:

где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции .

,

,

,

.

Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:

(2.2.11)

(2.2.12)

- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен.

1. При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид

,

т. к. характеристическое уравнение имеет корни .

Учитывая граничные условия, получаем:

т.к. - действительно и положительно, то .

1. При нетривиальных решений тоже не существует.

1. При общее решение уравнения имеет вид

.

Учитывая граничные условия, получаем:

, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно

Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид

.

Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.

Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):

Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции

,

где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с весом единица была равна единице

.

Вычислим отдельно интегралы в равенстве:

Т

(2.2.13)

огда,

.

Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения

.

Собственным значениям соответствуют решения уравнения :

,

где и - произвольные константы.

Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид

.

Тогда общее решение запишется в виде

,

где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны:

,

.

В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.

1. Собственные колебания круглой мембраны

Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.

У

(2.3.1)

равнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид

.