123332 (Механизмы имплантации в металлы и сплавы ионов азота с энергией 1-10 кэВ), страница 4

То

, (2.20)

где r_min — минимальное расстояние, на которое частица приближается к рассеивающему центру, м; v — относительная скорость сталкивающихся частиц на "бесконечном" расстоянии друг от друга, .

Таким образом, угол рассеяния иона α в СЦМ зависит от формы потенциальной энергии поля U(r) и кинетической энергии иона E_отн:

. (2.21)

Величина r_min есть значение r при и определяется как корень выражения, стоящего под знаком радикала в формулах (2.16) и (2.20) [21, 22]:

. (2.22)

Важнейшей характеристикой процесса рассеяния является эффективное сечение рассеяния:

, (2.23)

где п — число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения однородного пучка; dN — количество частиц, рассеянных в единицу времени в единицу телесного угла , т. е. рассеянных в углы, лежащие в интервалах от α до α+dα и от φ до φ+dφ.

Для ионов с энергией 1 – 10 кэВ ( Дж) связь между прицельным расстоянием и углом рассеяния взаимно однозначна, и в интервал углов от α до α+dα рассеиваются только те частицы, для которых прицельное расстояние заключено в интервале от р до p+dp. Число таких частиц равно

, (2.24)

и поэтому

. (2.25)

Следовательно, окончательно имеем

. (2.26)

Итак, зная потенциальную энергию взаимодействия сталкивающихся частиц U(r), энергию T_n, T_max, α и сечение рассеяния dσ по формулам (2.8), (2.9), (2.20) и (2.26) можно найти упругие потери энергии ионом и дифференциальное сечение рассеяния.

Главную роль играет выбор потенциала взаимодействия. Если скорость налетающей частицы сравнима со скоростью любого электрона атома мишени или меньше ее, то необходимо учитывать экранирование ядер атомными электронами. В настоящее время еще не найдено точное значение потенциала взаимодействия частиц с учетом экранирования ядер электронами [1, 2, 12, 21, 22, 57]. Однако существует несколько приближенных выражений для потенциала, хорошо описывающих взаимодействие частиц в различных энергетических интервалах [22, 57 – 61].

Потенциал Томаса-Ферми-Фирсова [67 – 69]. При изучении систем со многими взаимодействующими частицами приходится ограничиваться приближенными методами, применение которых дает удовлетворительное описание реальных свойств и параметров. Для атомов и молекул такими методами являются: вариационный метод и метод самосогласованного поля Хартри—Фока [65, 70]. Вариационный метод обычно используется только для легких атомов, в то время как методом Хартри—Фока могут быть изучены любые атомные системы. В методе самосогласованного поля каждый электрон рассматривается движущимся в сглаженном симметричном относительно центра (ядра) потенциальном поле, образованном ядром и всеми электронами. Состояние отдельного электрона атома может быть описано некоторой собственной функцией, а собственная функция всего атома комбинируется из собственных функций отдельных электронов.

Для атомной системы с большим числом электронов движение частиц под действием самосогласованного потенциала может считаться квазиклассическим в преобладающей части пространства. Потенциал в этом случае является слабоменяющейся функцией координат за исключением области вблизи ядра и периферийной части атома. Квазиклассическое приближение к уравнениям Хартри—Фока носит название приближения Томаса—Ферми [63, 71].

В статистической модели атома Томаса—Ферми объем атома разделяется на элементы объема dv, в которых содержится значительное число электронов и в каждом из них потенциал можно считать постоянным. Эти условия не выполняются в периферийной области атомов из-за малого количества электронов, а около ядра — из-за резкого изменения потенциала. Для устранения этих недостатков квазиклассического приближения приходится вводить квантовые поправки. В статистической модели атома Томаса—Ферми принимается во внимание только электростатическое взаимодействие между электронами, тогда как взаимодействие электронов с параллельными (обменная поправка) и антипараллельными (корреляционная поправка) спинами не учитывается.

Таким образом, из статистической теории атомных систем можно найти распределение потенциала или электронной плотности как функции расстояния от ядра r [22, 57]:

, (2.27)

где ; радиус экранирования Томаса-Ферми-Фирсова, м [22, 57]. Этот потенциал более приближен к реальному, особенно для атомов с большим порядковым номером Z. Именно поэтому он наиболее подходит для расчётов пробегов ионов азота в металлах и сплавах.

Функция экранирования находится как решение дифференциального уравнения , но аналитически это уравнение не решается. В работе [67] представлена в табулированном виде. Однако пользоваться численными значениями не всегда удобно, поэтому до настоящего времени не прекращаются попытки найти её приближённое значение. Для практических задач исследователями получен ряд аппроксимаций функции Томаса-Ферми:

• Зоммерфельда [58]:

; (2.28)

• Гаспара [59]:

; (2.29)

• Тейтца [60]:

; (2.30)

• Видефола [61]:

. (2.31)

Литературные данные [46, 47, 57 – 61, 76, 78] не позволяют выбрать из этих аппроксимаций наилучшую, поэтому при практических расчетах можно использовать любую из предложенных функций.

С повышением энергии ионов возрастает вклад неупругого торможения на электронах материала подложки и при можно учитывать только электронное торможение иона. В разделе 2.3.2 рассмотрим потери энергии, происходящие при этом процессе.

2.3.2 Электронное торможение иона в материале

В настоящее время еще не получена общая формула, описывающая неупругие потери энергии ионом во всем диапазоне энергий имплантации [3]. Поэтому приходится ограничиваться формулами, справедливыми для узких энергетических интервалов.

Расчет электронных потерь энергии можно проводить на основе теорий Фирсова [22] и Линдхарда – Шарфа [21]. Для диапазона энергий имплантируемых ионов 1 – 10 кэВ ( Дж) неупругие потери энергии вычислены только для потенциала Томаса—Ферми—Фирсова.

Формула Линдхарда—Шарфа [47]. Авторы нашли формулу, позволяющую вычислить потери энергии на единицу длины пути:

, (2.32)

где — скорость иона до столкновения, ; v₀ — скорость электрона на первой боровской орбите атома водорода, ; a₀ – радиус экранирования Бора, м.

Формула (2.32) подходит для расчёта электронных потерь энергии ионом в одноатомных поликристаллических материалах. В формуле нет связи между потерями энергии и прицельным параметром, что увеличивает погрешность результатов. Поэтому для расчётов методом Монте-Карло целесообразнее использовать формулу Фирсова [74] или Кишиневского [75].

Формула Фирсова. В теории Фирсова учитывается непосредственная связь между потерей энергии и прицельным параметром, что позволяет построить более адекватную модель, основанную на вероятностных методах расчета.

Средняя энергия T_e передаваемая атому мишени при одном столкновении, равна:

, (2.33)

Нахождение потерь энергии на единицу длины пути сопряжено со значительными вычислительными трудностями, так как при этом необходимо проводить усреднение по всем параметрам соударений. Однако формулу (2.33) можно использовать в методе Монте-Карло, так как в этом случае потери энергии ионом считаются для каждого отдельного взаимодействия ион-атом. Формула применяется для атомов с близкими Z, причем Z₁ и Z₂ должны быть больше 10. При ионной имплантации азота в металлы Z₁ Z₂ и Z₁ = 7 (Z₁ < 10), значит использование формулы (2.33) для расчёта электронных потерь энергии ионами азота при имплантации в металлы и сплавы может существенно увеличить погрешность результата. Обобщение формулы (2.33) на случай, когда Z₁ Z₂, получено Л. М. Кишиневским.

Формула Кишиневского. Согласно его расчетам

, (2.34)

где Z_min — меньший, a Z_max — больший из зарядов сталкивающихся частиц.

Формула (2.34) позволяет получить более точные результаты, так как учитывает связь между потерями энергии и прицельным параметром и учитывает различие между Z₁ и Z₂. Она наиболее подходит для расчёта методом Монте-Карло электронных потерь энергии ионами азота при имплантации в металлы или сплавы.

Рассчитав потери энергии по формулам (2.5) и (2.32) можно найти средний пробег и средний проецированный пробег ионов по формулам (2.2) и (2.3) в различных фазах сплавов или чистых металлах. Для расчёта потерь энергии ионами при имплантации в реальные материалы, имеющие сложный химический состав, необходимо воспользоваться соотношениями (2.8) и (2.34). Также, определив угол рассеяния α из формулы (2.21), можно по формуле (2.25) определить дифференциальное сечение рассеяния.

Полученные из формул (2.2) и (2.3) значения пробегов ионов используются для расчёта распределения примеси в твёрдом теле после имплантации.

2.4 Распределение примеси и дефектов в материале подложки в зависимости от энергии ионов азота

Вследствие статистического характера взаимодействия ионов с атомами мишени наблюдается разброс пробегов ионов. Для металлов и сплавов распределение пробегов ионов приблизительно гауссовское. Такое распределение характеризуется двумя параметрами — средним значением R_p и среднеквадратическим отклонением ΔR_p (страгглингом пробега).

Для определения распределения имплантированных атомов наряду с параметрами пробега R_p и ΔR_p нужно знать полную дозу имплантированных ионов Ф, м^-2. Её можно получить через полный заряд всех ионов Q, Кл, который можно измерить в процессе имплантации [22]. Удельная доза имплантируемых ионов:

, (2.35)