115462 (Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики)

Содержание

Введение

§ 1. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа

1.1. «Алгебра, 8», авт. А. Г. Мордкович

1.2. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др..

1.3. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др..

1.4. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. М. И. Башмаков.

1.5. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Г. Мордкович.

1.6. «Сборник задач по алгебре, 8-9», авт. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.

1.7. «Алгебра и математический анализ, 11», авт. Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд.

§ 2. Методика изучения иррациональных уравнений

2.1. Теоретические основы решения уравнений

2.1.1. Основные понятия, относящиеся к уравнениям

2.1.2. Наиболее важные приемы преобразования уравнений

2.2. Методы решения иррациональных уравнений

2.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств

2.2.2. Метод уединения радикала

2.2.3. Метод введения новой переменной.

2.2.4. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений

2.2.5. Умножение обеих частей уравнения на функцию.

2.2.6. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций

3. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

§ 3. Методика решения иррациональных неравенств

3.1. Теоретические основы решения иррациональных неравенств

3.2. Методы решения иррациональных неравенств

3.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

3.2.2. Умножение обеих частей неравенства на функцию

3.2.3. Метод введения новой переменной

3.2.4. Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций

§ 4. Опытное преподавание

Заключение

Список библиографии

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются иррациональные уравнения и неравенства, так как в школе им уделяют достаточно мало внимания.

Трудности при изучении данного вида уравнений и неравенств связаны со следующими их особенностями:

• в большинстве случаев отсутствие четкого алгоритма решения иррациональных уравнений и неравенств;

• при решении уравнений и неравенств данного вида приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям (и неравенствам), не равносильным данному, вследствие чего чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения.

Опыт показывает, что учащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать иррациональные уравнения и неравенства, часто допускают ошибки при их решении. Однако задачи по теме «Иррациональные уравнения и неравенства» встречаются на вступительных экзаменах, и они довольно часто становятся «камнем преткновения».

Выше изложенное обусловило проблему исследования: обучение школьников решению иррациональных уравнений и неравенств, используя при этом основные методы решения иррациональных уравнений различных видов.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре в 7-9 классах и алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются различные виды иррациональных уравнений и неравенств и методы их решения.

Целью работы является разработка методики изучения учащимися иррациональных уравнений и неравенств в школе.

Гипотеза исследования: освоение умения различать основные виды иррациональных уравнений и неравенств, умения применять необходимые приемы и методы их решения позволит учащимся решать иррациональные уравнения и неравенства на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный способ решения, применять разные способы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. проанализировать действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств;

2. изучить стандарты образования по данной теме;

3. изучить статьи и учебно-методическую литературу по данной теме;

4. подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения иррациональных уравнений и неравенств;

5. рассмотреть основные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений и неравенств;

6. подобрать примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории;

7. разработать

8. осуществить опытное преподавание.

§ 1. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа

При изучении любой новой темы в основном курсе школы встает проблема изложения данной темы в школьных учебниках. Пропедевтикой изучения раздела иррациональных уравнений и неравенств в школе является введение понятие арифметического корня и, соответственно, рассмотрение его свойств.

Проанализируем в каких классах вводится данное понятие разными авторами учебников. Алимов Ш. А. в учебнике «Алгебра. 9класс» вводит понятие арифметического корня натуральной степени, а также свойства арифметического корня. Макарычев Н. Г. же разделяет понятия квадратного корня и корня -ой степени. В учебнике «Алгебра. 8 класс» классе вводится понятие арифметического квадратного корня и, соответственно, рассматриваются его свойства. В учебнике «Алгебра. 9 класс» вводятся понятия корня -ой степени, арифметического корня -ой степени и рассматриваются свойства арифметического корня -ой степени. Колмогоров А. Н. в учебнике «Алгебра. 10 класс» вводит понятия корня -ой степени, арифметического корня -ой степени и рассматривает свойства арифметического корня -ой степени перед изучением иррациональных уравнений. Мордкович А. Г. в учебнике «Алгебра. 8 класс» вводит понятие квадратного корня и его свойства. Кроме того, в этом же учебнике есть отдельный параграф, посвященный иррациональным уравнениям.

1.1. «Алгебра, 8», авт. А. Г. Мордкович [27], [28]

Данное учебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника.

В I части данного учебного пособия материал, посвященный иррациональным уравнениям, изложен в главе «Квадратные уравнения» в параграфе «Иррациональные уравнения». Параграф начинается с определения иррационального уравнения. Далее рассматривается решение иррационального уравнения по определению квадратного корня из чего выводится метод решения иррациональных уравнений – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Затем данный метод демонстрируется на примерах решения иррациональных уравнений вида , . Найденные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на те случаи, когда могут появиться посторонние корни. Автор подчеркивает, что проверка – обязательный этап решения иррационального уравнения. Далее приводится решение уравнения вида методом введения новой переменной . Параграф завершается беседой о равносильных и неравносильных преобразованиях: дается определение равносильных уравнений, перечисляются и демонстрируются на примерах равносильные и неравносильные преобразования.

Система задач во II части данного учебного пособия достаточно разнообразна. В №№ 1011-1014 необходимо решить иррациональные уравнения вида , где – линейное, квадратное или дробно-рациональное выражение. В № 1015 чтобы решить уравнение необходимо сначала уединить радикал. В № 1016 для решения предложены уравнения вида . №№ 10017-1020 –упражнения для решения методом замены иррациональных уравнений вида , , . В №№ 1023, 1024 необходимо выяснить, равносильны ли уравнения. В №№ 1021, 1022, 1025-1027 нужно решить уравнения вида , , где выражения , могут быть как линейными так и квадратными, а в №№ 1028-1031 – уравнения вида .

№№ 1032, 1033 – упражнения повышенной трудности для решения иррациональных уравнений методом замены.

Теперь проанализируем действующие учебники по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, чтобы выяснить, как в них представлены методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

1.2. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др. [13].

Материал по данной теме изложен в IV главе «Показательная и логарифмическая функции», как пункт «Иррациональные уравнения» параграфа «Обобщение понятия степени». Автор рекомендует рассматривать решение иррациональных уравнений в теме «Уравнения, неравенства, системы», где систематизируются сведения об уравнениях.

В пункте «Иррациональные уравнения» дается понятие иррационального уравнения, приводится несколько примеров простейших иррациональных уравнений вида , которые решаются с помощью возведения обеих частей уравнения в квадрат. Найденные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на те случаи, когда могут появиться посторонние корни. Показано, что кроме возведения в квадрат иррациональные уравнения удобно решать, используя равносильный переход от уравнения к системе, состоящей из уравнения и неравенства. Рассмотрен пример иррационального уравнения, содержащего корень третьей степени. Для того чтобы «избавиться от радикала», обе части такого уравнения возводятся в куб.

После пункта приведены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения. В №№417-420 предложены простейшие уравнения вида , решить которые можно с помощью возведения обеих частей уравнения либо в квадрат, либо в куб, а также используя равносильные переходы. Такие задачи, по мнению авторов учебника необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Задачи же в №№422-425 чуть сложнее. Здесь уравнения содержат корни выше третьей степени.

Иррациональным неравенствам в данном пункте внимания не уделено.

В заключительной главе учебника «Задачи на повторение» помещены практические упражнения для повторения курса. Здесь в параграфе «Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств» иррациональным уравнениям и неравенствам посвящен пункт «Иррациональные уравнения и неравенства». То есть, не смотря на то, что в основной части учебника иррациональным неравенствам внимания не уделено, автор включает в задания для повторения такие неравенства.

1.3. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. [1].