115462 (591938), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Решение. Введем новые переменные
и 
, где 
.
Тогда исходное уравнение принимает вид: 
. Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z: 
и 
. Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z
.
В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z
Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению 
, корнями которого являются числа 
и 
. Корень 
посторонний, поскольку 
. Осталось решить уравнение 
, откуда находим 
.
Ответ. .
Пример 17. Решить уравнение 
. [6]
Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить 
, 
, то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что 
.
Итак, надо решить систему уравнений
она имеет два (действительных) решения: , 
; 
, 
.
Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным
и систему
первая из них дает 
, вторая дает 
.
Ответ: , .
Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае. [17]
Пример 18. Решить уравнение 
.
Решение. Введем новые переменные
и 
, где .
По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:
откуда следует, что
.
Так как 
, то y и z должны удовлетворять системе
Возведем оба уравнения этой системы в квадрат, после чего, сложив их, получаем уравнение 
.
Также возведем равенства , в квадрат и заметим, что 
.
Получаем следующую систему уравнений:
из которой получаем уравнение 
.
Заметим, что это уравнение имеет корень . Тогда, разделив многочлен на 
, получаем разложение левой части уравнения на множители
.
Отсюда следует, что – единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.
Ответ: .
2.2.5. Умножение обеих частей уравнения на функцию.
Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений. [6]
Пример 19. Решить уравнение 
.
Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию 
. Выражение 
называется сопряженным для выражения 
. Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.
В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению
,
которое равносильно совокупности уравнений
Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат и получим
Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств 
и 
пусто. Следовательно, уравнение 
решений не имеет. Значит, уравнение имеет единственный корень 
.
Подстановка в исходное уравнение показывает, что – корень.
Ответ: .
Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция 
нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.
Пример 20. Решить уравнение 
. [9]
Решение. Умножим обе части уравнения на функцию 
. После преобразований получим уравнение
.
Оно имеет два корня: 
. Проверка показывает, что 
– посторонний корень (нетрудно видеть, – корень функции ). Таким образом, уравнение имеет единственный корень 
.
Ответ: .
2.2.6. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций
В школьном курсе математики изучаются свойства многих элементарных функций. Их иногда с успехом можно применять и при решении иррациональных уравнений. Рассмотрим несколько примеров.
-
Использование монотонности функции.
Если уравнение имеет вид
где 
возрастает (убывает), или
где и 
«встречно монотонны», т.е. возрастает, а убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения. [9]
Пример 21. 
.
Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: 
. Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, – единственный корень.
Ответ: .
Пример 22. Решить уравнение 
.
Решение. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что 
– корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, – единственный корень.
Ответ: .
Пример 23. Решить уравнение 
.
Решение. Опять-таки имеем стандартное иррациональное уравнение. Тем не менее, не будем спешить возводить в квадрат. Так, 
, 
, значит 
(функция 
возрастающая), и левая часть исходного уравнения не меньше 2. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Корней нет.
Пример 24. Решить уравнение 
.
Решение. Поскольку 
и функция возрастающая, то 
. Следовательно, левая часть данного неравенства области определения принимает только отрицательные значения, то есть исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: Корней нет.
Пример 25. Решить уравнение 
.
Решение. Как и в предыдущих примерах, несложно обнаружить, что 
– корень. ОДЗ исходного уравнения – промежуток 
. Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на 
указанная функция возрастает, причем корень принадлежит этому промежутку. Значит, на данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции 
на отрезке 
. Очевидно, что при 
, а 
. Следовательно, на исходное уравнение корней не имеет.
Ответ. .
-
Использование ОДЗ
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.
Пример 26. Решить уравнение 
.
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех 
, одновременно удовлетворяющих условиям 
и 
, то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней.
Ответ: Корней нет.
Пример 27. Решить уравнение 
.
Решение. Конечно, это иррациональное уравнение можно решить путем традиционного возведения обеих частей в квадрат. Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество {2}. Подставив 
в данное уравнение, приходим к выводу, что – корень исходного уравнения.
Ответ: .
-
Использование графиков функций
При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.
Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.
Пример 28. Решить уравнение 
.
Р
ешение. ОДЗ данного уравнения есть все из промежутка 
. Эскизы графиков функций 
и 
представлены на рисунке 1.
Проведем прямую 
. Из рисунка следует, что график функции лежит не ниже этой прямой, а график функции не выше. При этом эти графики касаются прямой в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого 
имеем 
, а 
. При этом 
только для , а 
только для . Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: Корней нет.
Пример 29. Решить уравнение 
.
Решение. Эскизы графиков функций 
и 
представлены на рисунке 2.
Л
егко проверяется, что точка 
является точкой пересечения графиков функций и , то есть – решение уравнения. Проведем прямую 
. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций 
и 
. Это наблюдение и помогает доказать, что других решений данное уравнение не имеет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
