114631 (Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах)

Содержание.

Введение

Глава1. Теоретические основы изучения темы «Интеграл» с помощью моделей

1. Модели и моделирование в обучении

2. Психолого-педагогические и методические основы изучения интеграла в школьном курсе математики

1.3. Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

1.4. Физические модели при введении понятия интеграла

1.5. Различные методы изучения приложений интеграла в физике

Глава 2. Физические модели при изучении темы «Интеграл»

2.1. Введение понятия интеграла с помощью физических моделей

2.2. Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

2.3. Физические модели при отработке техники интегрирования

2.4. Приложения интеграла в физике

Заключение

Библиография

Приложение

Введение.

Как известно, эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием. Потребность в использовании практических материалов при обучении школьников математике диктуется тем, что возникновение, формирование и развитие математических понятий имеют своим источником ощущения и восприятия, а также и тем, что в познавательной деятельности учащегося имеет место тесная связь логических процессов мышления и чувственных восприятий. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает учителю возможность организовать учебную деятельность учащихся и поддерживать их интерес к обучению. В то же время, бурное развитие математики и физики не могло не наложить определенного отпечатка на уровень развития и направление интересов учащихся. Интерес молодежи к технике, физике и математике растет с каждым днем.

Математика использует физические задачи для иллюстрации некоторых процессов, явлений и их исследования. Физики же не могут обойтись без аппарата математики. Интеграл – не исключение. Определенный класс задач решается с его использованием. Поэтому довольно актуальным становится обучение учащихся математике (в частности изучение темы «Интеграл») через прикладные задачи физики.

Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает учащимся значение и силу высшей математики.

Понятие интеграла не на много сложнее таких понятий, как «неизвестная величина» или «подобие треугольников», которые незыблемо входят в школьную программу. Давно пора сделать понятие интеграла достоянием всякого культурного человека, чем бы он ни занимался.

Анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, показывает наличие разных мнений по поводу изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ интегрального исчисления.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:

• необходимостью полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления в основной школе в связи с огромной значимостью и важностью этого материала для учащихся;

• недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала с помощью использования физических моделей в школьном курсе математики.

Исходя из вышесказанного, для исследования была выбрана тема «Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах».

Проблемой исследования является поиск путей методически грамотного применения физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники вычисления интегралов и изучении приложений с учетом психолого-педагогических основ изучения данной темы.

Объект исследования – процесс изучения основ интегрального исчисления с использованием физических моделей в курсе математики основной школы.

Предмет исследования – физические модели при изучении темы «Интеграл».

Основные цели данной работы – изучить различные подходы к введению понятия интеграла, изучению его свойств и приложений, определить достоинства и недостатки этих подходов, разработать методику изучения интеграла с использованием физических моделей, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанной методики.

Гипотеза: изучение основ интегрального исчисления с помощью разработанной методики способствует осознанному качественному усвоению школьниками этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике.

Задачи исследования:

1. изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;

2. на основе анализа литературы разработать методику изучения некоторых вопросов интегрального исчисления в курсе математики основной школы;

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:

1. изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;

2. анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме.

Глава 1

Теоретические основы изучения темы «Интеграл» с помощью моделей

1.1. Модели и моделирование в процессе обучения

Модель - очень широкое понятие, включающее в себя множество способов представления изучаемой реальности.

Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.

Под моделью понимается объект, воплощающий данную идею или интерпретирующий некоторую теорию. Построение объекта называется конкретизацией, или моделированием.

Моделирование представляет собой обязательный этап процесса научного познания. Между моделью и моделируемым объектом имеется определенное отношение – модельное отношение. Это отношение показывает, в каком смысле оригинал и его модель подобны, аналогичны.[9]

Применение метода моделирования при изучении математики в школе дает возможность получить наиболее достоверные (поскольку доказательство некоторых математических фактов в школьном курсе не предусмотрено) и наглядные результаты, раздвинуть границы знаний учащихся об окружающем мире, развивать их мышление.

Модель должна быть наилучшим образом приспособлена к восприятию учащихся и учитывать их психологические особенности. В процессе обучения учитель обязан помогать учащимся формировать научный взгляд на мир. В процессе моделирования учащиеся могут научиться таким операциям, как анализ изучаемого объекта, выполнение доказательств, объяснений и т.п.[9]

Операции над моделями учат школьников умению абстрагировать, конструировать, обобщать, т.е. способствуют развитию мышления. Таким образом, моделируя, учащиеся развивают свое логическое мышление.

В моделировании есть два заметно разных пути. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно - словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.д.

Современная физика – часть общечеловеческой культуры, характеризующей интеллектуальный уровень общества, степень понимания основ мироздания. Среди других наук физика по-прежнему сохраняет роль лидера естествознания, определяя стиль и уровень научного мышления. [9]

Поэтому среди возможных моделей при изучении математики в школе (в частности темы «Интеграл») наиболее актуальными являются физические модели. В работе были использованы:

• известные законы физики (например, второй закон Ньютона в импульсном представлении, всемирный закон притяжения);

• модели физических явлений, выраженные формулами, известными из школьных учебников физики (например, формула мощности постоянного тока, силы взаимодействия между зарядами);

• задачи с физическим содержанием (например, задача о вытекании воды из сосуда, давлении жидкости на стенку).

1.2. Психолого – педагогические и методические основы изучения интеграла в школьном курсе математики

Необходимость изучения интеграла в школе характеризуется тем, что:

1. если изучать только производную, но не изучать интеграл, то цикл анализа одной переменной не будет завершен;

2. в приложениях (в том числе в физике) гораздо чаще, чем задачи на вычисление производной, её применение, используются задачи с использованием интеграла, интеграла и производной;

3. понятие интеграла очень существенно для общего образования учащихся (человек раньше стал решать интегральные задачи).

Целью изучения математического анализа (в том числе интегрального исчисления) в общеобразовательной школе является:

1. овладение основными понятиями (в частности, понятием интеграла);

2. обучение решению простейших задач на применение начал анализа в других школьных дисциплинах, в практике;

При рассмотрении понятия интеграла в школах с углубленным изучением математики возможно также и обучение простейшим методам интегрирования (технике вычисления интеграла).

Учителю в своей работе необходимо учитывать факторы, влияющие на успешность обучения.

Во-первых, следует тщательно отбирать теоретический материал, сочетая научность и доступность изложения. И хотя полностью реализовать принцип научности при изучении интеграла не удается, у учащихся все же формируются правильные представления о процессе познания и его закономерностях.

Содержание, формы и методы обучения должны учитывать реальные возможности учащихся, но, тем не менее, иметь достаточно высокий уровень трудности.

Во-вторых, необходимо учитывать общий уровень математической подготовки учащихся, особенности их мышления и восприятия и, в соответствие с этим, выбирать тот или иной путь изложения материала.

В-третьих, для лучшего запоминания материала, развития наблюдательности, для иллюстрации мыслей необходимо применять на уроке различные виды наглядности (чертежи, графики…)

И, наконец, в-четвертых, важную роль играет систематичность и последовательность в обучении.

Стройное, логичное изложение теоретического материала, а также хорошо подобранная система упражнений способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся, формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их. Т. е., является одним из средств достижения цели общего образования.

Систему упражнений нужно строить так, чтобы способствовать усвоению основных понятий, активизировать мыслительную деятельность учащихся и постоянно поддерживать их интерес к уроку. Этому помогут задачи на исследование, доказательство.

При формировании основного понятия (интеграла) необходимо учитывать, что оно даётся в достаточно общей, абстрактной форме. Потому главная трудность состоит в конкретизации, т. е. в умении видеть за математическими терминами и их определениями конкретные образы. Здесь большую помощь ученику должны оказать хорошо подобранные примеры.

Так как изучаемое понятие достаточно сложно, то существует несколько стадий его усвоения. Хорошо овладеть понятием интеграла учащимся помогут специально подобранные упражнения.

Помимо знания определения понятия ученик должен, по возможности, иметь о них зрительное представление (например, определенный интеграл – перемещение точки за промежуток времени). Раз усвоенные физические образы, рисующие картину рассматриваемого явления, надолго остаются в памяти и живут в воображении изучающего.

Каждый теоретический факт, даже и доказанный учащимися самостоятельно, следует по возможности немедленно закреплять при выполнении конкретных упражнений.

Важно показывать учащимся прикладную значимость материала при изучении других школьных дисциплин, в частности, различных разделов физики.

1.3. Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

Проведём анализ некоторых школьных учебников алгебры и начал анализа с точки зрения использования различных подходов введении понятия интеграла, рассматриваемых в них приложений интеграла в физике.

В учебниках, как правило, используются следующие подходы к введению понятия определенного интеграла:

1. Интеграл как предел интегральных сумм.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения конкретных задач, например, задачи о площади под кривой; задачи о работе силы и др. Затем, обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм.