112803 (Методика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии), страница 6

Урок 3

Тема урока: интегральная формула для вычисления объема фигуры.

Цель урока: показать построение подынтегральной функции и способ вычисления объемов фигур с помощью интеграла.

В начале урока в ходе решения ряда упражнений следует напомнить учащимся способ вычисления площадей плоских фигур с помощью интеграла: , где f(x) – функция, задающая криволинейную трапецию.

После этого следует сообщить учащимся, что для вычисления объемов пространственных фигур существует аналогичный способ, к изучению которого мы и переходим.

Пусть дана пространственная фигура Ф. Выберем плоскость таким образом, чтобы она не пересекала Ф (рис. 17).

Выберем прямую Ох, перпендикулярную плоскости . Зададим на этой прямой координаты: за начало координат возьмем О – точку пересечения прямой Ох с плоскостью . Положительное направление выбрано в том полупространстве, в котором расположена фигура Ф. Через точку с координатой х на этой прямой проведем плоскость (х), параллельную плоскости . Таким образом можно установить соответствие между плоскостями, параллельными плоскости , и множеством действительных чисел.

Среди плоскостей данного множества есть такие, которые пересекают фигуру Ф. Первая из этих плоскостей имеет координату а, а последняя – b. Таким образом, фигура Ф заключена между плоскостями (a) и (b), другими словами, задана на отрезке [a,b]. Конечно, далеко не всегда фигура задана на отрезке. Она может быть задана на интервале, на дискретном множестве и т. п. Но в курсе геометрии средней школы можно ограничиться рассмотрением фигур, заданных на отрезке.

Упражнения:

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, длина ребра которого равна 3. В качестве плоскости выбрана плоскость ABCD, а в качестве Ох – прямая АА₁. Найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b).

2. Дана пирамида ABCD. В качестве плоскости выбрана плоскость BCD, а в качестве оси Ох – высота АМ пирамиды. Найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b), если АМ=6.

3. Дан шар радиуса 8 см с центром в точке К. В качестве плоскости выбрана плоскость на расстоянии 10 см от центра шара. Задайте ось Ох, найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b).

4. Постройте функцию S(x) для шара радиуса 8 см, если плоскость (х) проходит через центр шара.

5. Постройте функцию S(x) для конуса с высотой Н и радиусом основания R, если в качестве плоскости выбрана плоскость, параллельная основанию и проходящая через вершину конуса.

После решения этих упражнений формулируется следующее определение: объемом фигуры Ф называется интеграл от a до b функции S(x): .

Упражнения:

6. Запишите интегральную формулу для вычисления объемов фигур, заданных в упр. 4, 5.

7. Запишите формулу для вычисления объема цилиндра высоты Н и радиуса R, если в качестве плоскости выбрана плоскость основания цилиндра.

8. Запишите формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями m, p, n (плоскость задайте сами).

Урок 4

Тема урока: интегральная формула для вычисления объема фигуры.

Цель урока: закрепить изученное на предыдущем уроке и провести доказательство обоснованности данного определения объема.

Упражнения:

1. Выведите формулу для вычисления объема призмы с высотой Н и площадью основания S.

Решение. Здесь a=0, b=H, S(x)=0. Следовательно, .

2. Выведите формулу для вычисления объема пирамиды с высотой Н и площадью основания Q (аналогично тому, как это делалось для конуса).

Решение. Выберем в качестве плоскости плоскость, параллельную основанию и проходящую через вершину. Тогда а=0, b=H, . Поэтому S(x)= . Следовательно, .

Так как объемы фигур должны удовлетворять ранее перечисленным свойствам объемов, то надо показать, что при таком определении объема эти свойства выполнены.

Упражнения:

Выпишите интегральные формулы и выведите формулы для вычисления объема:

1. Призмы с высотой Н и площадью основания S.

2. Пирамиды с высотой Н и площадью основания Q.

3. Цилиндра с высотой Н и радиусом основания R.

4. Конуса с высотой Н и радиусом основания R.

5. Шара радиуса R.

После изучения всех формул для нахождения объема тел следует провести проверочную работу в виде теста.

Тест (объем прямоугольного параллелепипеда) [34]

1. Выберите неверное утверждение.

а) За единицу измерения объемов принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков;

б) тела, имеющие равные объемы, равны;

в) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений;

г) объем куба равен кубу его ребра;

д) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.

а) 252 см³; б) 126 см³; в) 164 см³; г) 462 см³; д) 194 см³.

1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ которого равна 6. Через диагональ основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость под углом 45⁰ к нижнему основанию. Найдите объем параллелепипеда.

а) 108; б) 216; в)27; г)54; д) 81.

1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 60⁰. найдите объем параллелепипеда.

а) 390 см³; б) 390 см³; в) 780 см³; г) 780 см³; д) 780 см³.

Тест (объем призмы)

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота – 5 см. найдите объем призмы.

а) 15 см³; б) 45 см³; в) 10 см³; г)12 см³; д) 18 см³.

2. Выберите неверное утверждение.

а) Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

в) объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту;

г) объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

д) объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы.

3. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14 см.

а) 720 см³; б) 360 см³; в) 180 см³; г) 540 см³; д) 60 см³.

4. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10, 12. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60⁰. найдите объем призмы.

а) 480 ; б) 960 ; в) 240 ; г) 480; д) 240.

Тест (объем пирамиды)

1. Объем правильного тетраэдра равен 9 см³. Найдите его ребро.

а) 4 см; б) 2 см; в) 3 см; г) 6 см; д) 3 см.

2. Выберите неверное утверждение.

а) объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания на высоту;

б) объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле , где а – ребро тетраэдра;

в) объем усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади основания равны S и M, вычисляется по формуле

г) объем правильной треугольной пирамиды, ребро которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом , вычисляется по формуле ;

д) объем правильной шестиугольной пирамиды, ребро которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом , вычисляется по формуле .

3. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 3 см² и 12 см², а высота равна 2 см.

а) определить нельзя; б) 7 см³; в) 42 см³; г) 14 см³; д) 56 см³.

4. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объем пирамиды, если МВ АВС и МВ = 10 см.

а) 300 см³; б) 260 см³; в) 780 см³; г) определить нельзя; д) см³.

Углубленное изучение геометрии по учебнику [6]

Рассмотрим методические рекомендации для углубленного изучения темы «Объемы многогранников». В настоящее время для данного обучения в школах используют учебник [6], так как именно он рекомендован (допущен) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях. Теоретический материал учебника разбит на две части – основную и дополнительную. Основная часть содержит теоретические сведения (аксиомы, определения, теоремы); материал, в котором рассказано о значении наиболее важных геометрических результатов, о различных применениях стереометрии в других науках, технике, искусстве, быту, об истории геометрии.

В дополнительном материале с большей глубиной и подробностью обсуждаются самые трудные вопросы курса. Этот материал рассчитан на учащихся, особенно интересующихся математикой.

Глава V данного учебного пособия посвящена объемам тел многогранников. Эта глава традиционная для школьного курса геометрии. И построение ее как будто бы традиционное: сначала выработка общего понятия, затем вывод конкретных формул. Однако есть и характерные отличия.

1. Четко выясняется множество фигур, которые имеют объем в смысле данного определения.

2. Впервые в школьном курсе (и в такой формулировке) дается теорема о существовании и единственности объема.

3. Теорема о представлении объема интегралом рассмотрена с помощью наглядных соображений, так как полное доказательство «сложно и требует расширения понятия интеграла», однако рассуждение приведено тактично и не нарушает уверенности ученика в возможность доказать это утверждение.

4. В данном учебнике выводится формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда.

Объем прямого цилиндра

В пункте 26.1 высказаны наглядные соображения, «доказательство математического утверждения с точки зрения физики». С учетом уровня класса можно предположить несколько вариантов дальнейших событий:

а) этим и ограничиться;

б) предложить желающим разобрать пункт 26.2 самостоятельно и ответить индивидуально на оценку;

в) предложить отдельным учащимся сделать сообщение о теореме на уроке. (Для этого теорему можно разбить на 4-5 частей);

г) предложить учащимся разобраться в теореме самостоятельно, а учитель организует по ней семинар в классе;

д) доказать теорему и попросить повторить «сильных» учеников на следующем уроке. И т. д.

Представление объема интегралом

С точки зрения методической представляется более удобным дать формулировку теоремы после доказательства, а сам вывод разбить на четыре части, примерно соответствующие бытовавшему когда-то алгоритму вывода формул и теорем дифференцирования: