Задача 4 (Пример курсача)

Задача №4

Электрон с энергией E = 50 эВ, двигаясь в положительном направлении оси , встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высоты U₀ = 20эВ .Определить

a) вероятность отражения электрона от этого барьера;

б ) коэффициент преломления волн де Бройля на границе этого барьера.

Дано:

E = 50 эВ

1. R- ?

2. n- ?

Решение:

1)

U(x)

U₀

Запишем уравнение Шредингера в общем виде

(4)

Возьмем начало барьера в точке х = 0. Тогда потенциальная энергия при х < 0 равна 0, при х ≥ 0 U =U₀. В области х < 0 уравнение (4) имеет вид

(4.1)

Общее решение такого уравнения:

(4.2)

где (4.3)

Волновая функция частицы в области х < 0

(4.4)

Здесь первое слагаемое представляет волну,

падающую на барьер, второе – волну, отраженную от барьера.

Коэффициент отражения R определяется как

(4.5)

В области х ≥ 0 уравнение (4) имеет вид (4.6)

Тогда решения этого уравнения:

где . (4.7)

(4.8)

Второе слагаемое в этом решении представляет волну, бегущую в отрицательном направлении оси Х. Поскольку барьер имеет бесконечную протяженность, отражения волны в области х ≥ 0 произойти не может. Следовательно, D = 0. Получаем

. (4.9)

Из непрерывности волновой функции в точке х=0 (2)

получим

A+B=C, (4.10)

Из непрерывности производных –

(4.11)

получим

(4.12)

Подставив 4.4 в 4.5

(4.13)

Выразим R через k

(4.14)

где и (4.15)

В итоге

-вероятность того, что частица отразится от барьера.

Подставим данные задачи

0,016∙100%=1,6%

2) Коэффициент преломления это

(4.16)

где v₁ и v₂ скорости до и после прохождения барьера.

Выведем формулу для коэффициента отражения волн де Бройля.

Импульс можно выразить как

и

Где k – волновое число, .

Тогда

(4.17)

Подставим 4.8 в 4.11

(4.18)

Подставим данные задачи

Ответ: а) 1,6%

б) 0,77

19