86417 (Обобщённо булевы решетки), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Обобщённо булевы решетки", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86417"
Текст 3 страницы из документа "86417"
.
Пусть , здесь так же .
Таким образом мы рассмотрели все основные группы вариантов расположения элементов a, b, c и во всех этих случаях ассоциативность сложения выполняется.
3. Рассмотрим в решётке элемент , к нему существует относительное дополнение до элемента , т.е. и . Учитывая, что в решётке и , имеем следующее: и . Отсюда .
4. Рассмотрим относительное дополнение элемента до , это элемент . Таким образом: и . Учитывая, что в решётке выполняются тождества и имеем следующее: и . Отсюда .
5. Так как в решётке выполняется ассоциативность , а так же имея , то .
6. Докажем дистрибутивность или что то же самое
(*).
Докажем, что дополнения левой и правой частей выражения (*) до верхней грани совпадают.
Нетрудно заметить, что дополнением правой части выражения (*) до элемента будет являться элемент .
Покажем это:
, по определению относительного дополнения элемента ( ), где за приняли элемент , а элемент за .
, по определению относительного дополнения элемента ( ) , где за приняли элемент , а элемент за .
Покажем, что и для левой части (*) элемент будет являться относительным дополнением до верхней грани :
, т.к. .
Мы показали, что дополнения элементов и до верхней грани совпадают, следовательно, в силу единственности дополнения . А значит и , т.е. дистрибутивность доказана.
Таким образом, для все аксиомы кольца выполняются.
Заметим, что выполняется в силу того, что , а в решётке .
Также выполняется , потому что .
Таким образом, - булево кольцо.
Доказательство (2). Частичную упорядоченность имеем исходя из того, что исходное булево кольцо - частично упорядоченное множество. Кроме того - решётка, т.к. существуют sup(x,y) и inf(x,y), заданные соответствующими правилами: и .
Покажем, что решётка дистрибутивна, т.е. что выполняется тождество (*)
Рассмотрим левую часть выражения (*):
.
Рассмотрим правую часть выражения (*):
,
т.о. тождество верно, т.е. решётка является дистрибутивной.
Покажем, что у каждого элемента в дистрибутивной решётке есть относительное дополнение. Для этого рассмотрим произвольные элементы , но они так же должны являться элементами решётки , следовательно, в ней должны лежать и , которым в кольце соответствуют .
Рассмотрим элемент булева кольца (в решётке лежит соответствующий ему элемент), заметим, что
и .
Поэтому элемент будет являться в дистрибутивной решётке относительным дополнением до верхней грани .
Таким образом, будет являться дистрибутивной решёткой с относительными дополнениями (обобщённой булевой).
Библиографический список
-
Гретцер, Г. Общая теория решёток [Текст] / Г. Гретцер. – М.: Мир, 1982.
-
Биркгоф, Г. Теория решёток [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: Наука, 1984.
-
Скорняков, Л.А. Элементы алгебры [Текст] / Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1989.