86288 (Элементы комбинаторики)

Факультативный курс по теме:

Элементы комбинаторики

Автор: Лузина Татьяна Юрьевна

Рецензент: Янкина Лидия Григорьевна

Кунгурское педагогическое училище 2009 год

Введение

В данной разработке факультативного курса предлагается 11 уроков. На которых предлагается решение задач, подготовка сообщений и докладов и их защита; практические, самостоятельные работы; практикумы по решению задач, по составлению задач; контрольная работа.

Данный факультативный курс предназначен для учеников 8 класса, но может и использоваться учениками других классов, т. к. материал излагается с самих азов. Он прост, понятен и в то же время не потерял своей научности.

Оглавление

Предисловие

Урок 1 Введение

Урок 2 Поиск закономерностей

Урок 3 Перебор возможных вариантов

Урок 4 Правило суммы и правило произведения

Урок 5 Самостоятельная работа по темам: «Поиск закономерностей», «Дерево возможных вариантов», «Правило произведения»

Урок 6 Размещения

Урок 7 Тест по темам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями»

Урок 8 Перестановки

Урок 9 Сочетания

Урок 10 Урок-практикум. Подготовка к контрольной работе

Урок 11 Контрольная работа

Литература

Предисловие

Вы начинаете изучать раздел математики под названием «Комбинаторика».

В данном факультативном курсе вы найдете много интересных и полезных для себя сведений, которые связаны с жизнью.

Любую тему вам поможет отыскать «Оглавление».

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVII веке. Тогда широко были распространены лотереи, игры в карты и кости. И первые комбинаторные задачи касались именно азартных игр, так как возникало много вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре.

Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач. Все эти навыки и способности вы можете выработать, если будете настойчивы, трудолюбивы и внимательны на уроках, будете самостоятельно и с интересом заниматься.

В данном факультативном курсе будут использованы такие виды деятельности, как практические, самостоятельные работы, решение задач, защита докладов и сообщений. Данный курс вам поможет по-другому посмотреть на окружающий мир. Изучив его, вы сможете объективно оценивать некоторые вещи, опираясь на математические подсчеты.

Желаю вам успехов в овладении тайнами удивительного раздела математики – комбинаторики!

Урок 1. Введение

Цели:

• дать понятие науки «Комбинаторика», «Комбинаторные задачи»;

• познакомить учащихся с историей данной науки;

• привести примеры нескольких комбинаторных задач с решениями для привития интереса учащихся к данной науке.

Ход урока

1. Сообщение темы и целей

2. Работа по теме

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях

Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, теорией перечислений.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.

1. Перечень тем докладов

1) Дж. Кардано

2) Н. Тарталье

3) Бином Ньютона

4) Б. Паскаль

5) П. Ферма

6) Треугольник Паскаля

7) Л.Эйлер

8) Г. Галилею

9) Г. Лейбниц

10) Некоторые свойства числа сочетаний

11) Правила решения комбинаторных задач

12) Комбинаторная геометрия

13) Историческая справка о науке «Комбинаторике»

14) Магические квадраты

4. Итог урока

Урок 2. Поиск закономерностей

Цели:

• рассмотреть некоторые виды закономерностей.

Оборудование: мультимедийный проектор, жетоны.

Ход урока

1. Сообщение темы и целей.

2. Домашнее задание.

1. Выявить закономерности и записать еще 4 числа:

1)

562	(26)	652
369	(__)	963

2) ответ: 36 – сумма цифр в числе

3. Разминка

Итак, начнем наш урок с разминки. Сегодня она будет в другой форме – в виде соревнования. Я задаю вопросы, и кто быстрее поднимет руку, тот и будет отвечать. За каждый правильный ответ даются жетоны.

1) Портной имеет кусок сукна в 16 м, от которого он ежедневно отрезает по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок? (7 дней)

2) Разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку, и одно осталось в корзине? (Один берет корзину вместе с яблоком)

3) Четыре коровы черной масти и три - рыжей масти за пять дней дали такой же надой молока, как 3 коровы черной масти и 5 рыжей за 4 дня. Какие коровы молочнее: черной или рыжей масти? (рыжей)

4) Как представить цифру 4 тремя пятерками? (4=5-5:5)

5) Шесть ног, а бежит не быстрее, чем на четырех. (всадник на коне)

6) Какие часы показывают верное время только два раза в сутки? (которые остановились)

7) В известной сказке «Поди туда – не знаю куда, принеси то – не знаю что» царь послал стрелка Андрея за «тридевять земель». Тридевять - это сколько? (27)

8) Шел Кондрат в Ленинград, а навстречу 12 ребят.

У каждого по 3 лукошка, в каждом лукошке – кошка.

У каждой кошки – 12 котят. У каждого котенка

В зубах по 4 мышонка. И задумался старый Кондрат:

«Сколько мышат и котят ребята несут в Ленинград?»

Как бы вы ответили на этот вопрос? (Один Кондрат шел в Ленинград)

9) В мешке лежат шарики белого и черного цвета. Сколько нужно взять шариков, чтобы 2 было одинакового цвета? (3)

10) Поехал мужик зимой на ярмарку, а базар далеко. Вот едет он лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем. Встречает Бабу-Ягу и спрашивает: «Куда ехать?» Она ему показывает направо. И вот он снова едет лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем, встречает Лешего. Спрашивает: «Как доехать до базара?» Он показывает налево. Вот он снова едет лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем и выезжает к реке. А за рекой – базар. Как ему перебраться на тот берег, учитывая, что лодки нет и надо переправить весь груз? (Дело было зимой). Молодцы!

4. Работа по теме.

1. Объяснение материала.

Кто знает, что такое закономерность? Это закон, правило, по которому записаны числа, расположены фигуры.

1. Решение примеров.

Сейчас мы будем выявлять закономерности в расположении фигур.

1) Вставить недостающую картинку.

Ну, что, поняли, как выявляют закономерности в расположении фигур?

Теперь давайте попробуем выявлять закономерности в числовых рядах. Тот, кто ответит первым, получит жетон.

2) Вставить пропущенные числа:

1. 24, 21, 19, 18, 15, 13, _ , _ , 7,6 (12, 9);

2. 1, 4, 9, 16, _ , _ , 49, 64, 81, 100 (25, 36);

3. 16, 17, 15, 18, 14, 19, _ , _ (13, 20);

4. 1, 3, 6, 8, 16, 18, _ , _ , 76, 78 (36, 38);

5. 7 26 19; 5 21 16; 9 _ 4 (13);

6. 2 4 8 10 20 22 _ _ 92 94 (44, 48);

7. 24 22 19 15 _ _ (10, 4).

3) Продолжить ряд:

1. 15 16 18 21 25 _ (30);

2. 2 5 8 11 _ (14);

3. 6 9 12 15 18 _ (21);

4. 16 12 15 11 14 10 _ _ (13, 9);

5. 3 7 11 15 18 _ (22).

4) Вставить пропущенное число

1. 2 5 9 (2+4):2=3

4 7 5 (5+7):2=6

3 6 ? (9+5):2=7

1. 7 9 5 11 7+9-5=11

4 15 12 7 4+15-12=7

13 8 11 ? 13+8-11=10

(3*5*8)/10=12

1. 148 (220) 368 368-148=220

243 (___) 397 397-243=154

1. 12 (56) 16 (12+16)∙2=56

17 (__) 21 (21+17) ∙2=76

1. Итог урока.

Урок 3. Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов

Цели:

- дать понятия: комбинаторика, комбинаторные задачи;

- изучить способы решения комбинаторных задач: перебор возможных вариантов, дерево возможных вариантов;

Оборудование: мультимедийный проектор, задачи на карточках.

Ход урока

1. Сообщение темы и целей

2. Подготовительная работа

Давайте с вами решим задания, которые подведут нас к теме.

2.1. Решение ребусов

Выявление закономерности

Решение задач

Изучение новой темы. Разбор задач

Давайте рассмотрим такую задачу: сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7:

11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77.

Этот метод называется перебором вариантов. Таким образом, их трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Эту задачу можно решить и другим способом. Его название – дерево возможных вариантов. Для этой задачи построена специальная схема.

Ставим звездочку. Она будет обозначать количество возможных вариантов.

Далее отводим от звездочки 3 отрезка. А почему? Как вы думаете? Так как в условии задачи даны 3 цифры – 1, 4, 7.

Ставим эти цифры на концах отрезков. Они будут обозначать число десятков в данном числе.

Далее от каждой цифры проводим по 3 отрезка. Почему? От цифры 1 три отрезка, от цифры 4 три отрезка и от цифры 7 также проводим три отрезка.

На концах этих отрезков записываем также цифры 1, 4, 7. Они будут обозначать число единиц.

рассмотрим, какие числа получились: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. То есть всего получилось 9 чисел.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда «вверх ногами» и без ствола.

Решение задач.