86229 (Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі), страница 3

Це зауваження стосується введення означень на всіх етапах навчання. Що абстрактніше поняття, складніша логічна структура його означення, то гостріша потреба в попередньому запровадженні поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення, спочатку на конкретних прикладах з використанням наочних образів. Важливо звертати увагу школярів на логічну структуру означень і передусім чітко називати спільні істотні властивості, що входять в означення, характер їх зв'язку (кон'юнктивний, диз'юнктивний чи обидва одночасно). При цьому не обов'язково вводити термінологію логіки, важливо пояснити роль сполучників.

Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уроках стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, слід звернути увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого поняття залежно від вибору істотних властивостей, що містить означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема.

Потрібно показати учням приклади обґрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час розгляду поняття степеня з нульовим і від'ємним показниками слід пояснити, що доцільність запропонованих означень спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від'ємним показниками.

Поняття, що вводяться описово. Значна кількість математичних понять, що вивчається в курсах математики початкової школи та 5 —6 класів, вводиться описово. Наприклад, у 5 класі за посібниками так вводять поняття числового й буквеного виразів, відрізка, кута, трикутника, площі, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда; у 6 класі — поняття простого і складеного чисел, кола, кругового сектора, кулі, від'ємного числа, додатного числа, числової прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.

Низка понять вводиться описово, на прикладах і в систематичних курсах алгебри, геометрії. Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри на кількох прикладах запроваджується поняття одночлена і його стандартного вигляду. При цьому увагу звертають на те, що наведені вирази є добутком чисел, змінних та їхніх степенів, тобто фактично розкривають істотну властивість одночленів. Розглядаючи поняття «геометрична фігура» на першому уроці геометрії в 7 класі, недоцільно обмежуватися лише рисунками фігур, запропонованих у підручнику.

Потрібно показати учням моделі різних планіметричних фігур і геометричних тіл, наприклад трикутників, виготовлених з дроту, і плоских трикутників, вирізаних з паперу або картону, кола, круга, паралелепіпеда, кулі. Слід звернути увагу на те, що обидва трикутники, коло, круг можуть розміститися в площині всіма своїми точками, а паралелепіпед і куля — ні. Ці перші уявлення про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому засвоєнню їхніх властивостей у подальшому вивченні курсу геометрії.

У процесі формування математичних понять учні припускаються помилок, самостійно виявляючи істотні властивості у разі формування поняття конкретно-індуктивним методом і формулюючи означення, якщо їх уже введено. При цьому учні часто не помічають деяких істотних властивостей або умов, невдало вибирають або взагалі пропускають родове поняття.

Найефективніше названі помилки виправляти за допомогою контрприкладів, які допомагають не тільки краще усвідомити істотні властивості понять, а й міцніше запам'ятати їх.

Наведемо приклад застосування контрприкладів для виправлення помилок учнів під час формулювання вже наведених раніше означень понять.

На уроках геометрії учні вже ознайомились з означенням хорди. Під час повторення вивченого було допущено помилку в означенні. При цьому «діалог» учителя з учнем може бути таким.

Учень. Хорда — це лінія, що з'єднує дві точки кола.

Учитель проводить хвилясту лінію, що з'єднує дві точка кола.

Учень. Хорда — це пряма лінія, що з'єднує дві точки кола.

Учитель проводить січну, що проходить через центр кола.

Учень. Хордою називається відрізок, що з'єднує дві точки кола.

Рівнозначні поняття. Відношення рівнозначності (або тотожність) утворюється між поняттями, що відображають один і той же предмет, його зв'язки.

У кожному предметі є, з одного боку, істотні ознаки, що є загальними для класу предметів, з іншою специфічні, характерні для даного предмету. Загальні ознаки, як вже мовилося, є родовими ознаками, специфічні — видовими. Родова ознака в даному випадку як би зв'язуюча ланка між видовими поняттями.

У видових ознаках тотожних понять відображаються різні сторони одного і того ж предмету або явища. Значить, видові ознаки цих понять не виключають, а доповнюють один одного. Звідси витікає, що об'єми тотожних понять співпадають.

Виходячи зі всього сказаного можна дати наступне визначення рівнозначних (тотожних) понять.

Рівнозначні поняття — це сумісні поняття про один і той же предмет і відмінні по видових ознаках, що характеризують різні сторони даного предмету:

Дуже важливо уміло користуватися рівнозначними поняттями в практичній діяльності. Уміле їх використовування при викладі учбового матеріалу, при читанні лекцій, виступів з докладом робить їх цікавими за формою і змістом, не стомлює одноманітністю. Цьому умінню потрібно навчати дітей з найперших днів в школі.

Необхідно звернути увагу на помилки, що припускається деколи, при операції рівнозначними поняттями. Так, часто учні ототожнюють абсолютно нерівнозначні поняття. Наприклад, па уроках математики помилково ототожнюються такі поняття, як «круг» і «коло», «додати нуль» і «приписати нуль»; на уроках хімії ототожнюються такі поняття, як безбарвний» і «прозорий», «безбарвний» і «білий»; на уроках фізики часто спостерігається ототожнення понять «сила тяжкості» і «вага тіла», «сила тиску» і «тиск», «сила» і «енергія» «сила» і «потужність».

П оняття, що перехрещуються (відношення перетину). Поняттями, що перехрещуються, називаються видові поняття, що мають загальний рід, а видові ознаки кожного з них відображають як специфічні, так і частково загальні сторони (властивості) предметів і явищ.

Частковий збіг видових ознак понять, що перехрещуються, обумовлює частковий збіг їх об'ємів. Таким чином, на відміну від рівнозначних понять, де видові ознаки не пов'язані один з одним і відображають різні сторони предмету, в поняттях, що перехрещуються, видові ознаки частково співпадають. Приклади понять, що перехрещуються: що «вчиться» і «спортсмен», «інженер» і «винахідник». В приведених прикладах загальним родовим поняттям є «людина». Частина видових ознак поняття що «вчиться входить в зміст поняття «спортсмен»— деякі спортсмени можуть бути тими, що вчаться, але не обов'язково все, і, навпаки, частина видових ознак поняття «спортсмен» складає певну частку змісту поняття що «вчиться» — деякі учні можуть бути спортсменами. Співвідношення понять «інженер» і «винахідник» таке ж. Значить, об'єми цих понять частково співпадають. Наочно це відношення зображається за допомогою двох кругів, що перехрещуються, як показано на мал. 4 (а, б).

Приклад понять, що перехрещуються: «рідина» і «вода». Вода може бути в рідкому, газоподібному і твердому поляганнях. Тільки частина води може знаходитися в рідкому поляганні. Так само тільки частину рідини може складати вода. Загальним родовим поняттям для даних понять є «речовина».

Утворити поняття, що перехрещуються, можна при розподілі якого-небудь родового поняття по різних підставах. Одержані видові поняття знаходитимуться відносно часткового збігу. Наприклад, поняття «людина» розділимо по двох підставах: «національність» і «колір волосся». Одержимо дві групи видових понять, що знаходяться між собою відносно часткового збігу: «російський», «українець», «грузин», «казах» і т. д.; «брюнет», «блондин» і т.д. Ці поняття не будуть рядоположными. Щодо понять, що перехрещуються, в логіці існує правило, яке не можна порушувати: поняття, що перехрещуються, не можна розташовувати в один ряд при переліку.

Зв'язок між видовими ознаками понять, що перехрещуються, може не бути необхідним і бути необхідною. Наприклад, між поняттями що «вчиться» і «спортсмен» зв'язок не необхідний, а між поняттями що «вчиться» і «відмінник» — необхідна, оскільки кожному учню властивий той або інший вид успішності. По видовій ознаці зв'язок між даними поняттями, що перехрещуються, необхідний, родова ознака є їх зв'язуючою ланкою.

У результаті перетину об'ємів (збіги частини змісту) понять, що перехрещуються, можуть утворюватися нові поняття. Загальні елементи об'ємів понять, що перехрещуються, складають об'єм освіченого поняття. Наочно це представлено на мал. 4.

Несумісними називаються поняття, що мають загальне найближче родове поняття (родова ознака) і видові ознаки, що виключають один одного, наприклад: «сміливий» — «несмілий», «білий» — «чорний», «глибокий» — «дрібний». Об'єми сумісних понять не містять в собі загальних елементів. В основі відношення несумісних понять лежить виключення їх один одним за об'ємом і за змістом. Загальним же для сумісних і несумісних понять є те, що вони мають загальне найближче родове поняття (є порівнянними).

До несумісних відносяться осоружні і суперечать поняття. Несумісними можуть бути і супідрядні поняття.

Супідрядні поняття відображають види одного загального для них і роду, що підпорядковує їх. Об'єми супідрядних понять складають самостійні частини об'єму родового поняття. Відношення між видами, підлеглими одному загальному для них роду, називається відношенням супідрядності.

За змістом супідрядні поняття мають як загальні ознаки, що є ознаками родового поняття (родовими ознаками), так і специфічні, відображають особливості видових понять (ознаки видової відмінності). Якщо супідрядні поняття несумісні, то вони строго підкоряються всім правилам розподілу понять і тому, зокрема, не можуть бути тими, що перехрещуються (Мал.5,а). Але супідрядні поняття можуть бути і сумісними. В цьому випадку видові поняття, підлеглі загальному роду (члени супідрядності), можуть бути тими, що перехрещуються. Цей випадок схематично, зображений на мал. 5,б), з якого видно, що члени супідрядності можуть бути поняттями, що перехрещуються (поет може бути одночасне і романістом, і драматургом і т. д.).

У учбовому процесі дуже важливо правильно співвідносити поняття, не припускаючись при цьому помилки. Це можливо при знанні наступних правил операції супідрядними поняттями:

1. Супідрядні поняття повинні бути найближчими видами одного загального роду.

2. Розташовувати в один ряд при переліку можна тільки супідрядні поняття, що мають найближчий загальний рід. Учні ж при переліку часто припускаються помилки. Так, наприклад, учень, перераховуючи геометричні фігури, назвав трикутник, паралелограм, ромб і т.д. Помилка в тому, що ромб — найближчий вид не геометричної фігури, а паралелограма. У відомому вже нам прикладі з двигунами учні перераховують двигуни: механічні, теплові, поршневі, електричні, атомні, реактивні. У всіх приведених прикладах в один ряд ставляться поняття, що мають загальний рід, але не найближчий, тобто вони різного ступеня спільності. Подібний перелік невірний.

Зустрічається і інший варіант помилкового переліку. Наприклад, перераховують «баріони»: нуклони, гіперони, піони (піони відносяться до класу мезонів); «дерева листяної породи»: сосна, береза, клен, дуб, осика і т.д. В цих випадках загальному родовому поняттю підпорядковують декількох видових понять, що належать різним родовим поняттям.

Осоружні поняття. Осоружними називаються несумісні (супідрядні) поняття, видові ознаки яких обумовлюють найбільшу відмінність їх в змісті і повне виключення їх збігу за об'ємом.

Якщо при розподілі родового поняття на види по певній підставі розташовувати видові поняття по ступеню відмінності їх ознак, то утворюється ряд супідрядних понять. При цьому крайні в даному ряду поняття матимуть найбільші відмінності між собою. Говорять, що ці два поняття знаходяться відносно осоружності приклади: 1) білий, білястий, світло-сірий, сірий, темно-сірий, чорнуватий, чорний; 2) високий, вище середнього зростання, середнього зростання, нижче середнього зростання, низький. Як бачимо, найбільшу відмінність в даних рядах понять мають крайні поняття «білий» — «чорний»; «високий»-— «низький». Відношення осоружності встановлюється між поняттями, що відображають предмети, що займають крайні положення у ряді однорідних предметів. Осоружні поняття мають загальний рід (наприклад: колір, зростання), але видові ознаки їх обумовлюють найбільшу можливу відмінність між ними з даного ряду несумісних супідрядних понять. Таким чином, осоружні поняття утворюють особливий випадок супідрядності. Разом з тим крайню відмінність мають і незрівнянні поняття.

А ле, на відміну від осоружних понять, незрівнянні поняття не мають загального родового поняття, бо відносяться до надзвичайно віддалених один від одного сторін або областей дійсності.

Сума об'ємів осоружних понять не вичерпує повністю об'єму родового поняття. Більш того, між ними можуть знаходитися інші видові поняття, що розрізняються у меншій мірі. Зміст обох осоружних понять носить цілком певний, позитивний, ствердний характер, і ці поняття не можуть існувати одне без іншого.