86226 (Формирование понятия функции в курсе математики средней школы), страница 3

F (-x) = f(x), (-x) = - (x).

Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) (x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.

Доказательство

Учитывая, что f(x) – функция чётная, а (x) – функция нечётная, будем иметь:

Q(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (- (x)) = -f(x) (x) = -Q(x).

Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.

Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Доказательство

Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.

Покажем, что существуют функции y = (x) и y = (x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что

y = (x) + (x) = f(x), где y = (x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функции.

Положим (x) = ; (x) = .

Тогда ясно, что (x) и (x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве X и

(-x) = = = (x);

(-x) = = = - = - (x);

(x) + (x) = + = = =

= f(x),

что и требовалось доказать.

Пример. Функцию y = 2 можно представить в виде суммы двух функций y = (x), где (x) = , и y = (x), где (x) = , причём функция y = (x) – чётная, а функция y = (x) – нечётная.

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т.е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.

Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число 0 такое, что выполняются следующие два условия:

1. для любого x из области определения функции y = f(x) числа (x + ) и (x – T) также входят в область определения и 2) для любого x из области определения выполняется равенство f(x + ) = f(x).

Число Т называют периодом функции y = f(x).

Замечание. Для периодической функции имеет место равенство

f(x – T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке (x – T) определена и

f(x) = f[(x – T) + T] = f(x – T).

Покажем, что если число Т есть период функции y = f(x), то любое из чисел nT, где n , n 0 является периодом этой функции.

Действительно, пусть n = 1, тогда согласно определению и замечанию:

а) точки (x + ) и (x – T) принадлежат области определения функции y = f(x);

б) f(x) = f(x + ) и f(x) = f(x – T).

Предположим, что для n = k справедливо утверждение точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1.

По предположению точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x) и Т есть её период. Следовательно, точки

[(x + kT) + T] и [(x – kT) – T], т.е. точки [x + (k + 1)T] и [x - (k + 1)T], принадлежат её области определения.

Итак, для любого x из области определения функции y = f(x) при любом n Z, n 0 точки (x + n ) и (x – nT) принадлежат области её определения.

Предположим, что для любого n = k справедливо утверждение

f(x) = f(x + kT) и f(x) = f(x – kT). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1. Действительно, так как Т является периодом функции y = f(x), то для точки (x + kT) имеем [(x + kT) + T] = f(x + kT), но по предположению

f(x) = f(x + kT) следовательно, f(x) = f[x + (k + 1)T].

Аналогично для точки (x – kT) доказывается, что f(x) = f[x - (k + 1)T], т.е. для любого целого отличного от нуля n утверждение f(x) = f(x + nT) и

f(x) = f(x - nT) доказано.

Число Т называется главным периодом, если оно положительно и является наименьшим среди всех положительных периодов, т.е. из положительных периодов функции y = f(x) (если он существует) называют её основным (главным периодом).

Рассмотрим примеры.

Пример №1. Функция y ={x} ({x} – дробная часть числа х) – периодическая. Заметим, что по определению = х – [х], где [x] – целая часть числа х. Область определения данной функции - вся числовая прямая, поэтому для любого действительного числа х и любого T x, Т 0 числа (х + Т) и (х - Т) принадлежат области определения рассматриваемой функции и f(x +T ) = {x+T} = x + T – [x + T] = x + T –([x] + T) = x + T – [x] – T = x – [x] = {x}, где Т Z, T 0.

Таким образом, функция у = {x} – периодическая с периодом Т, где Т Z, T 0.

Наименьшее целое положительное число равно единице. Следовательно, основной период данной функции Т = 1.

Построим график функции у = {x}.

Для этого сначала построим график функции на промежутке х [0;1), длина которого равна основному периоду функции. Если х [0;1), то {x} = x, то есть на этом промежутке имеем у = х.

Весь график функции у = {x} получим параллельным переносом графика функции у = {x}, где х [0;1) вдоль оси абсцисс на = 1.

Пример № 2

Функция Дирихле – периодическая с периодом T = r, где r = Q.Действительно,

D(x) =

D(x + r) =

Так как r – рациональное число, то сумма х + r - рациональное число, как сумма двух рациональных чисел; с другой стороны, х + r - иррациональное число, как сума иррационального и рационального чисел.

Следовательно, D(x + r) = D(x).

Пример № 3

Функция y = sin не является периодической, так как, например для числа

х = 0 число (х – Т) при Т > 0 или число (х + Т) при Т < 0 не принадлежат области определения данной функции.

Пример № 4

Найти период функции

y = A sin (mx + ), где А, m, - постоянные величины, A 0, m 0,

x – аргумент.

Область определения функции – числовая прямая, поэтому числа (х Т) R, где Т 0. Пусть основной период данной функции равен Т. Тогда для данной функции при любых действительных х рассмотрим равенство

A sin (m (x + T) + ) = A sin (mx + ).

Следовательно,

A (sin (m (x + T) + ) – sin (mx + ) = 0.

Применяя формулу разности синусов, будем иметь:

2А sin cos = 0

2А sin cos = 0

2А sin cos = 0

2А sin cos = 0

Это произведение должно равняться нулю независимо от значений х.

Так как х - переменная величина, то 2cos 0, А 0 по условию, тогда sin = 0, откуда следует

= , или , где n Z.

Из множества значений Т наименьшее положительное значение получим при наименьшем положительном значении n = 1, значит период данной функции

.

Заметим, что период функции у = А sin (mx + ) не зависит от A и .

Аналогично можно найти основные периоды и остальных тригонометрических функций.

Таким образом, функции

y = sin x и y = cos x имеют основной период Т = 2

у = tg x и у = ctg x имеют основной период Т = ,

а функции у = sin (mx + ) и у = cos(mx + ) имеют основной период Т = .

Функции у = tg (mx + ) и у = ctg (mx + ) имеют основной период Т = .

Отметим некоторые свойства периодических функций. Заметим, что сумма разность, произведение и частное двух периодических функций может быть функцией как периодической, так и не периодической.

Теорема 1. Если периодические функции y = f₁ (x) и y = f₂ (x), x X, имеют один и тот же период T, то их сумма, разность, произведение тоже будут периодическими функциями и число Т будет их периодом.

Доказательство Так как функция y = f₁ (x) – периодическая с периодом Т 0, то для любого x X выполняется равенство

f₁ (x +Т) = f₁ (x) (1)

Так как функция y = f₂ (x) – периодическая с периодом Т 0, то для любого x X выполняется равенство

f₂ (x +Т) = f₂ (x) (2)

Рассмотрим функцию z (x) = f₁ (x) f₂ (x), заданную на множестве X. Тогда для любого x X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

z (x +T) = f₁ (x +T) f₂ (x +Т) = f₁ (x) f₂ (x) = Z (x).

Последнее равенство доказывает периодичность функции z (x) представляющей собой сумму или разность двух периодических функций с одним и тем же периодом Т.

Рассмотрим функцию t (x) = f₁ (x)f₂ (x), заданную на множестве Х. Тогда для любого x X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

t (x +T) = f₁ (x +T) f₂ (x +Т) = f₁ (x) f₂ (x) = t (x).

Данное равенство доказывает периодичность функции t(x) представляющей собой произведение двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, причем число Т является периодом как функции t(x), так и функции z(x).

Замечание. Если число Т было наименьшим положительным периодом (т.е. основным периодом) двух заданных функций, то после их сложения или умножения Т может перестать быть наименьшим из положительных периодов.

Пример 5. Функция f₁ (x) = 3 sin x + 2 имеет основной период 2, функция f₂ (x) = 2 – 3 sin x имеет основной период 2, а их сумма

z (x ) = f₁ (x) +f₂ (x) = 3 sin x + 2 + 2 – 3 sin x = 4

наименьшего положительного периода не имеет, так как при любом действительном значении 0 z(x+) = z(x), т.е. любое действительное число является периодом функции z(x), а наименьшего положительного среди действительных чисел нет.