86068 (Топологическая определяемость верхних полурешёток)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Малых Константин Леонидович

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров 2005

Оглавление.

Введение …………………………………………………………………стр. 3

Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4

1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4

2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5

3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8

4. Топологические пространства……………………………………стр.10

Глава 2…………………………………………………………………….стр.11

1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11

2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15

Список литературы……………………………………………………….стр.21

Введение.

Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.

В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.

Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.

Глава 1.

1. Упорядоченные множества.

Определение: Упорядоченным множеством называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям:

1.Рефлексивность: .

2.Антисимметричность: если и , то .

3.Транзитивность: если и , то .

Если и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или .

Примеры упорядоченных множеств:

1. Множество целых положительных чисел, а означает, что делит .

2. Множество всех действительных функций на отрезке и

означает, что для .

Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для имеет место или .

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества . Изобразим каждый элемент множества в виде небольшого кружка, располагая выше , если . Соединим и отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества .

Примеры диаграмм упорядоченных множеств:

2. Решётки

Определение: Верхней гранью подмножества в упорядоченном множестве называется элемент из , больший или равный всех из .

Определение: Точная верхняя грань подмножества упорядоченного множества – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом и читается «супремум X».

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань существует, то она единственна.

Определение: Решёткой называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента и имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .

Примеры решёток:

1. Любая цепь является решёткой, т.к. совпадает с меньшим, а с большим из элементов .

2.

Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают , а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают .

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

- сложение и

- произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. , идемпотентность

2. , коммутативность

3. ,

ассоциативность

4. ,

законы поглощения

Теорема. Пусть - множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение (или ) является порядком на , а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:

Доказательство.

Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично.

Если и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.

Следовательно, и

Если и , то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е.

По определению точней верхней грани убедимся, что

Из свойств (2), (4) вытекает, что и

Если и , то по свойствам (3), (4) получим:

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

, т.е.

Таким образом, . ■

Пусть решётка, тогда её наибольший элемент характеризуется одним из свойств:

1.

2. .

Аналогично характеризуется наименьший элемент :

1.

2. .

1. Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка называется дистрибутивной, если для выполняется:

1.

2.

В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.

Теорема: Решётка с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].

Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).

Определение: Непустое множество называется идеалом в решётке , если выполняются условия:

1.

2.

Определение: Идеал в решётке называется простым, если

или .

Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.

Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.

Определение: Решётки и называются изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом, множества на множество , такое, что

,

.

4. Топологические пространства.

Определение: Топологическое пространство – это непустое множество с некоторой системой выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:

1. Пустое множество и само пространство принадлежит системе : .

2. Пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит , т.е. .

3. Объединение любого семейства множеств из принадлежит , т.е. .

Таким образом, топологическое пространство – это пара < , >, где - такое множество подмножеств в , что и замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из называют открытыми, а их дополнения в замкнутыми.

Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Топологическое пространство называется - пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.

Глава 2.

1. Верхние полурешётки.

Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.

Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых включение имеет место тогда и только тогда, когда .

Определение: Верхняя полурешётка называется дистрибутивной, если неравенство ≤ ( , , L) влечёт за собой существование элементов , таких, что , , и = .(рис.1). Заметим, что элементы и не обязательно единственны.

Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:

Лемма 1:

(*). Если < , > - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка дистрибутивна.

(**). Если верхняя полурешётка дистрибутивна, то для любых существует элемент , такой, что и . Следовательно, множество является решёткой.

(***). Верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество является дистрибутивной решёткой.

Доказательство.