85498 (Алгебраические системы замыканий)
Описание файла
Документ из архива "Алгебраические системы замыканий", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85498"
Текст из документа "85498"
Содержание
Введение 3
§1. Основные понятия и примеры 6
§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания 13
§3. Алгебраические системы замыканий 16
§4. Соответствия Галуа 20
§ 5. Задачи 27
Библиографический список 32
Введение
Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.
Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.
Задачи:
-
рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;
-
сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;
-
рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;
-
рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.
Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.
В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.
В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.
Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.
Последний параграф посвящен решению задач.
Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература.
Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:
∆ – начало доказательства;
▲ – конец доказательства.
В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число – номер параграфа, а второе – номер примера в параграфе.
Основными результатами работы являются:
-
доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу (X) = ∩{Y D | Y X}. Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий D = {X A | (X) = X}.
-
доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.
-
установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.
-
решение задач.
§1. Основные понятия и примеры
Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.
Определение 1. Пусть L – непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение – отношение порядка. Множество L – упорядоченное множество.
Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.
Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.
В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 4. Пусть A – произвольное множество и B (A) – его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D и система D замкнута относительно пересечений, то есть
∩Y D для любой непустой подсистемы Y D.
Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).
Одним из примеров системы замыканий является следующий:
Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.
Введем ещё одно важное понятие – понятие оператора замыкания на множестве.
Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:
J. 1. X (X);
J. 2. Если , то (X) (Y);
J. 3. (X) = (X)
для всех X, Y B (A).
Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания равенством
(X) = ∩{Y D | Y X} для всех X A.
Отметим, что группа аксиом J. 1 – J. 3 является независимой. Покажем это.
Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.
Отображение , при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:
, A A;
{a} {a, b}, {b} A, {c} {b, c};
{a, b} A, {a, c} A, {b, c} A.
Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как (a) = A≠{a, b} = (a).
Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:
, A A;
{a} A, {b} A, {c} A;
{a, b} {a, b}, {a, c} {a, c}, {b, c} {b, c}.
Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a} {a, b}, но ({a}) = A {a, b} = ({a, b}).
Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.
Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.
Определение 6. Оператор замыкания на множестве A называется алгебраическим, если для любых X A и a A
а (X) влечет a (F)
для некоторого конечного подмножества F множества X.
С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.
Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания является алгебраическим, то есть для любого X A
a { D D : X D} влечёт a { D D : F D}
для некоторого конечного F X.
Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.
Пример 1.2: Пусть – топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X [X], где [X] – замыкание множества X A. Покажем, что – оператор замыкания на множестве A.
Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.
-
Если X Y, то [X] [Y].
Возьмем x0 [X]. Тогда любая окрестность точки x0 содержит точки множества X в любой окрестности точки x0 содержатся точки множества Y x0 [Y].
-
X [X].
Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].
-
[[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.
-
[X] [[X]]. Доказано во втором пункте.
-
x0 [[X]] Возьмем U (x0), для неё y0 U (x0) [X] y – точка прикосновения множества X U (y0) найдутся точки множества X. Возьмем U (y0) U (x0), z0 U (y0) X. Отсюда z0 U (x0) X. Тогда x0 – точка прикосновения множества X x0 [X]. Таким образом, [[X]] [X].
-
Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R2 поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A.
Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.