63703 (Моделі відкритої мережі), страница 2

, (1.2.2)

, (1.2.3)

. (1.2.4)

Стаціонарний розподіл існує і єдино, якщо виконується умова ергодичності:

і (1.2.5)

Теорема 1.2.1.( Розкладання Джексона) Нехай рівняння трафіка (1.2.1) має єдине позитивне рішення й виконане умова ергодичності (1.2.5). Тоді фінальні стаціонарні ймовірності станів мережі Джексона мають вигляд

, (1.2.6)

де визначаються по формулі

, (1.2.7)

у якій визначається формулою

. (1.2.8)

Відповідно до теореми 1.2.1, стаціонарний розподіл представимо у формі добутку множників вузли, що характеризує; кожний множник є стаціонарний розподіл вузла, тобто

,

де з формули (1.2.2), з формули (1.2.3), з формули (1.2.4). Таким чином, стаціонарний розподіл має такий вигляд

(1.2.9)

= .

1.3 Достатня умова ергодичності

Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).

Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична

має нетривіальне рішення таке, що При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]

Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.

Регулярність треба з того, що .

, , .

Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:

, , .

Таким чином, регулярність виконується.

Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан можна перейти з нульового й у можна перейти з будь-якого стану, шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.

Примітка – тут ураховується, що матриця переходів неприводима.

Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо . Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб . Тоді одержимо,

,

де

,

Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд

(1.3.1)

Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.

2. Полумарковська модель мережі із трьома вузлами

Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходить найпростіший потік заявок з параметром . Причому, у першу систему масового обслуговування, що входить заявка надходить із імовірністю . Часи обслуговування заявок в -ом вузлі задані функцією розподілу часу обслуговування -им приладом однієї заявки , . При цьому накладає наступна вимога

, . (2.1)

Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі LCFS PR - заявка, що надходить в -ий вузол, витісняє заявку із приладу й починає обслуговуватися. Витиснута із приладу заявка стає в початок черги. Схематично мережа зображена на малюнку 2.1.

Стан мережі описується випадковим процесом

,

де , , - залишковий час обслуговування заявки, що коштує в -ой позиції.

Примітка. Випадковий процес

,

де - число заявок в -ом вузлі в момент , не є марковським процесом. Для марковизації процесу включаємо додаткові змінні. Щоб був марковським процесом, додаткові змінні візьмемо, як залишкові часи від моменту часу до повного завершення відповідних часів. Виходить, процес - марковський процес.

Таким чином, з вищесказаного треба, що побудовано полумарковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.

2.1 Диференційно-різницеві рівняння Колмогорова

У відповідності методом диференціальних рівнянь і малюнком 2.1, складемо наступні рівняння

, (2.1.1)

де , .

Скористаємося наступними формулами:

,

[7]

Тоді рівняння (2.1.1) запишуться в такий спосіб

(2.1.2)

Зважаючи на те, що деякі події є неможливими (вони дорівнюють нулю), рівняння (2.1.2) приймуть наступний вид

Розкладання функції в ряд Тейлора, має вигляд

де - позиція елемента й відповідно.

Використовуючи розкладання функції в ряд Тейлора, перетворимо рівняння (2.1.3)

.

Переносимо в ліву частину рівності, потім ділимо обидві частини на й спрямовуємо , одержимо

(2.1.4)

.

Таким чином, рівняння (2.1.4) і є шукані рівняння Колмогорова.

2.2 Пошук рішення диференційно-різницевих рівнянь Колмогорова

Рішенням рівнянь Колмогорова (2.1.4) є:

.

Перевіримо знайдене рішення (2.2.1) безпосередньою підстановкою в рівняння (2.1.4), одержимо

Таким чином, 0=0, тобто рішення (2.2.1) задовольняє рівнянням (2.1.4).

2.3 Доказ інваріантності стаціонарного розподілу

Згідно 1.2, для марковської моделі мережі із трьома вузлами отриманий вид стаціонарного розподілу, що визначається по формулі (1.2.9). При цьому часи обслуговування заявок мають показовий розподіл з параметрами для -ого вузла, де – число заявок в -ой системі, . Відповідно до розділу 2, для полумарковської моделі мережі із трьома вузлами, припускаємо, що тривалість обслуговування окремої вимоги розподілена за довільним законом. Нехай – функція розподілу часу обслуговування -им приладом однієї заявки. Передбачається, що виконується умова, обумовлене формулою (2.1).

Відповідно до результату Севастьянова [6] і формулі (2.2.1), стаціонарний розподіл зберігає форму добутку (інваріантне) і при допущених допущеннях.

Таким чином, доведена інваріантність стаціонарного розподілу відкритої мережі масового обслуговування із трьома вузлами.

3. Марковська модель мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками

Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходять два незалежних пуасоновських потоки заявок з й відповідно. Моменти надходження заявки (однаково з якого потоку) утворять новий потік, що називається суперпозицією або об'єднанням первісних потоків.

Позначимо через , , – імовірності надходження заявок за час відповідно для потоку з інтенсивністю , , сумарного потоку. Тому що заявки потоків з й надходять незалежно друг від друга, то по формулі повної ймовірності одержимо:

, (3.1)

тобто суперпозиція пуасоновських потоків з інтенсивністю . [2]

Часи обслуговування заявок у різних вузлах незалежні, не залежать від процесу надходження заявок і мають показовий розподіл з параметрами для -ого вузла, - константа ( ). Схематично мережа зображена на малюнку 3.1.

З

аявки надходять двох типів: позитивні й негативні. Уперше модель уведена в роботі [8]. На малюнку 3.1 позитивні заявки позначені знайомий плюс, а негативні знайомий мінус, , – потоки на -ий вузол, – потік з -ого вузла, . На виході тільки позитивні заявки, далі позитивні заявки розбиваються на позитивні й негативні.

Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі визначаються в такий спосіб.

а) Якщо на приладі немає заявок, те негативна заявка, що надходить на прилад, губиться;

б) Якщо на приладі немає заявок, те вступник позитивна заявка починає обслуговуватися;

в) Якщо на приладі заявка позитивна, те негативна заявка, що прийшла, вибиває заявку із приладу й позитивна заявка губиться.

г) Якщо в черзі заявок позитивних, те прихожа негативна заявка, витісняє останню (позитивну) заявку й у черзі стає заявка ( -ая позитивна й негативна заявка губиться).

Стан мережі описується випадковим процесом

,

де – число позитивних заявок у момент , відповідно в першому, другому, третьому вузлі. Відповідно до розділу 1 і з огляду на формулу (3.1) – марковський процес.

Таким чином, відповідно до визначення 1.3 і вищесказаному, побудована марковська модель відкритої мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками.

3.1 Складання рівнянь трафіка

Розглянемо ізольований -й вузол ( ), уважаючи, що на нього надходить потік заявок інтенсивності . Граф переходів зобразиться в такий спосіб.

Тоді відповідно до малюнка 3.1.1, одержимо наступні співвідношення

, , (3.1.1)

де .

Відповідно до малюнка 3.1

, . (3.1.2)

Для марковської моделі мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками рівняння трафіка мають такий вигляд:

,

,

,

,

,

.

З огляду на формулу (3.1.2) запишемо ще три рівняння

,

,

.

Таким чином, рівняння трафіка мають такий вигляд

. (3.1.3)

, (3.1.4)

, (3.1.5)

, (3.1.6)

, (3.1.7)

, (3.1.8)

, (3.1.9)

, (3.1.10)

, (3.1.11)

Підставимо формулу (3.1.9) в (3.1.5) і (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) і (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) і (3.1.4). Тоді рівняння трафіка запишуться в такий спосіб

, (3.1.12)

, (3.1.13)

, (3.1.14)

, (3.1.15)

, (3.1.16)

. (3.1.17)