48580 (Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы")

Введение

В современном мире постоянно происходило совершенствование системы образования. Происходит модернизация старых, поиск новых способов обучения, способных улучшить сделать образовательный процесс более эффективным.

В настоящее время активно идут процессы внедрения в образовательный процесс компьютерных технологий. Компьютеры, разработанные первоначально для автоматизации вычислительных операций, с развитием средств мультимедиа превратились в мощнейший инструмент обработки информации различного рода. Свое применение они нашли и в сфере образования, предоставив свои возможности при работе с объемом человеческих знаний, накопленных за всю историю человечества.

Использование информационных технологий позволяет заменить часть ручного труда преподавателя трудом машинным, который, как и в других сферах, обходится дешевле, и, следовательно, более эффективен. Машины не устают, готовы к работе в любое время, не совершают арифметических ошибок и способны обладать огромными объемами памяти. Поэтому они внедряются в учебный процесс там, где это возможно.

Большое развитие компьютерные технологии получили в сфере дистанционного обучения. С появлением компьютерных сетей дистанционное обучение, подразумевающее работу обучающего с обучаемым на расстоянии, получило возможность мгновенной передачи информации между ними. Это позволило оперативно предоставлять учебные материалы и проводить контроль полученных знаний при снижении расходов на транспорт и связь.

Когда мы говорим о сетевых технологиях, то прежде всего имеем ввиду сеть интернет. Эта сеть, связывающая компьютеры по всему миру, позволяет организовать дистанционный учебный процесс практически в любой точке планеты в кратчайшие сроки.

Использование интернет-технологий также помогает в расширении виртуального образовательного пространства, ввиду того, что знания и учебные материалы из разных источников можно моментально получить в одном месте, стоит лишь правильно сформировать поисковый запрос. Данное обстоятельство несомненно способствует творческому процессу обучения и самостоятельной работе обучаемых в виртуальном образовательном пространстве.

Системы компьютерного дистанционного обучения в результате развития приняли различные формы, предназначенные для выполнения соответствующих задач, это и компьютерные учебники, содержащие учебные материалы в оптимизированной для наилучшего восприятия мультимедийной форме, и системы тестирования, обеспечивающие контроль знаний обучаемых путем анализа ответа на серии тематических вопросов, и лабораторные практикумы, обеспечивающие получение практических навыков использования полученных знаний.

В сфере информационных технологий зачастую при разработке нового продукта можно использовать готовые решения, которые поставляются в виде некоторой оболочки и наполняются содержимым по заданной тематике. Если использование готовых решений представляется затруднительным в связи с особенностями предметной области, приходится создавать новые программные продукты, позволяющие учесть эти особенности.

В направлении информатизации сферы образования работают сейчас практически все гуманитарные и технические учебные заведения разных стран. Разработки в этом направлении ведутся и в Московском авиационном институте. Кафедра «Математическая кибернетика» факультета «Прикладная математика и физика» института в течении многих лет разрабатывает учебные материалы с использованием компьютерных технологий. За это время создан комплекс компьютерных пособий и учебников, охватывающих предметы, читаемые преподавателями кафедры. Комплекс, включающий в себя более 70 компьютерных учебников, поддерживает 8 разделов курса "Теория управления", 7 разделов курса "Системный анализ", 3 раздела курса "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", а также курсы "Теория графов", "Теория функций комплексного переменного", "Линейное программирование", "Линейные дифференциальные уравнения" и другие. Также функционирует кафедральных сайт в интернете, позволяющий студентам и преподавателям института обмениваться информацией дистанционно. В настоящее время на кафедре ведется работа по созданию других средств обучения с применением информационных технологий.

Кафедра «Математическая кибернетика» факультета «Прикладная математика и физика» института читает студентам курс «Методы оптимизации», изучающий методы оптимизации математических функций. На кафедре был создан практикум по этому курсу в среде Microsoft DOS, позволяющий студентам изучать методы на примерах, работая за компьютером в терминальном классе. В рамках дипломного проекта поставлена задача создания аналогичного практикума, работающего в сетевом режиме с целью упростить проведение работ. Также требуется расширить функционал имеющегося практикума для достижения большей наглядности примеров.

В рамках дипломного проекта требуется:

• Изучить описываемые методы оптимизации и составить документацию по ним в мультимедийной форме.

• Разработать архитектуру практикума

• Разработать пользовательский интерфейс

• Выбрать программные средства для разработки и составить алгоритмы

Раздел 1 содержит теоретические сведения о математических методах поиска безусловного экстремума функций многих переменных. Приводятся алгоритмы, графические иллюстрации и условия окончания методов.

Раздел 2 содержит описание практической части разработанного практикума. Проводится анализ современных программных архитектур, обоснование выбора клиент-серверной модели, анализ и выбор программных сред. Также приводится описание пользовательского интерфейса, форм отчетности и справочной системы практикума.

Раздел 3 содержит расчет экономических показателей, связанных с выполнением дипломного проекта.

В разделе 4 описаны вредные воздействия, возникающие при использовании информационных технологий в обучении и способы их сокращения.

1. Теоретическая часть

Решение задачи о поиске безусловного экстремума функции многих переменных с помощью необходимых и достаточных условий приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений с неизвестными с последующей проверкой знакоопределенности матрицы Гессе . Как правило, для достаточно сложных функций такая процедура решения задачи достаточно трудоемка и подразумевает численное решение нескольких задач. Поэтому возникает необходимость использовать так называемые прямые или численные методы безусловной оптимизации, которые позволяют найти стационарные точки функции, не используя аппарат необходимых и достаточных условий экстремума.

Компьютерный лабораторный практикум предназначен для студентов технических специальностей вузов и позволяет в наглядной и доступной форме представить численные алгоритмы отыскания экстремумов. Особенностью практикума является интерактивная форма реализации алгоритмов, при которой студент на каждой итерации принимает решение о выборе параметров методов, основываясь на числовой и графической информации о ходе процесса оптимизации.

Целью лабораторного практикума является изучение студентами прямых методов поиска безусловного экстремума двух типов функций:

• квадратичной функции 2-х переменных:

• овражной функции

Для достижения цели студент должен, изменяя параметры методов, добиться выполнения критерия окончания счета для каждого метода с одной и той же заданной точностью , из одной и той же начальной точки, за заданное для каждого метода число итераций N.

1. Методы, реализованные в лабораторном практикуме

Прямые методы, представленные в практикуме имеют один и тот же алгоритм

где

• - текущая точка последовательности, причем – задается из физического содержания задачи или произвольно;

• - последующая точка последовательности;

• - приемлемое направление перехода из точки в точку – направление спуска. Приемлемым при решении задачи поиска минимума функции будет только то направление, для которого , что обеспечивается выполнением условия ;

• - шаг (число >0),

и отличаются друг от друга способом задания и выбором .

Алгоритм работы прямых методов схематически изображен на рис. 1.1

Рисунок 1.1. Алгоритм работы прямых методов

В практикуме реализованы:

• методы первого порядка, использующие информацию о 1-х производных функции :

  • метод градиентного спуска;

  • метод наискорейшего градиентного спуска;

  • метод покоординатного спуска;

  • метод Гаусса-Зейделя;

  • метод сопряженных градиентов.

• методы второго порядка, использующие для своей реализации информацию о 1-х и 2-х производных функции :

  • метод Ньютона;

  • метод Ньютона-Рафсона;

  • метод Марквардта

• Методы нулевого порядка, представленные в практикуме, позволяют производить поиск безусловного экстремума функций с помощью заданной последовательности операций. Повторение этих операций производится до тех пор, пока не будет выполнен критерий окончания, определяемый используемым методом.

В практикуме реализованы следующие методы нулевого порядка:

• метод случайного поиска

• метод деформируемого многогранника

• метод конфигураций

1. Метод градиентного спуска

Алгоритм метода:

,

здесь:

• - направление антиградиента функции;

• - шаг выбирается из условия убывания функции в точках последовательности

Геометрическая интерпретация метода:

Рисунок 1.2. Геометрическая интерпретация метода

Основной критерий окончания метода:

Построение последовательности заканчивается в точке, для которой

где - заданное малое положительное число, здесь