48507 (Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках), страница 2

; (8)

; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения Найдем и подставим в (1).

Имеем = ,

Функцию разложим по формуле Тейлора

,

и подставим в Имеем

,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка .

1.7.2 Формирование сетки

I вариант

, (1)

, q>1-возраст.геометр.прогрессия

, q<1-убыв.геометр.прогрессия

1) , (2)

, q>1. (3)

2) , (4)

, q<1. (5)

и - задаем сами.

Пример Пусть

q>1 и по формуле (3) n

Пример Пусть

вычисляем по формуле (5)

Действительно

II вариант

Можно использовать другой подход:

, , ,

,

, .

a) , q<1 - убывающая геом. прогрессия n и q-задаем сами.

в) , q>1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1. Равномерная сетка .

2. Квазиравномерная сетка ( …).

3. Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии .

4. Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии .

5. Среднеарифметический метод 3) и 4) .

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида:

(1)

удовлетворяющий начальным условиям

(2)

и граничным условиям:

(3)

Входные данные:

1)

l=1, T=1

точное решение:

2)

точное решение:

3)

точное решение:

4)

точное решение:

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

2.2 “Явные ” схемы

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x,t) > 0, (p₀>0, p_N>0) или p(x,t)<0, (p₀<0, p_N<0). На практике часто используют схему бегущего счета. В зависимости от знака функции p(x,t) используют правую или левую разностные схемы.

Итак, рассмотрим схему бегущего счета в обоих случаях.

1) p(x,t)>0, (p₀>0, p_N>0)

Разностная схема (правая) имеет вид

^; (1′)

; (2′)

^; (3′)

из (1′) ,

где .

2) p(x,t)<0, (p₀<0, p_N<0)

В этом случае используется левая разностная схема

^; (1″)

; (2″)

^; (3″)

из (1′) ,

где .

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

-------------kogda p0>0, pN>0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.10039200	0.10004559	0.00034641
1	0.10731313	0.10694264	0.00037049
2	0.11471141	0.11431517	0.00039623
3	0.12261970	0.12219596	0.00042375
4	0.13107319	0.13062004	0.00045315
5	0.14010945	0.13962487	0.00048458
6	0.14976865	0.14925048	0.00051817
7	0.16009374	0.15953968	0.00055407
8	0.17113063	0.17053820	0.00059243
9	0.18292837	0.18229495	0.00063342
10	0.19553941	0.19486220	0.00067721
11	0.20901984	0.20829583	0.00072401
12	0.22342957	0.22265555	0.00077402
13	0.23883258	0.23800523	0.00082736
14	0.25528740	0.25441310	0.00087431
15	0.27195211	0.27195211	0.00000000

Таблица 2. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (левая разностная схема)

-------------kogda p0<0, pN<0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.14715178	0.14715178	0.00000000
1	0.14242453	0.14232757	0.00009697
2	0.13785337	0.13766151	0.00019185
3	0.13343317	0.13314843	0.00028474
4	0.12915902	0.12878331	0.00037571
5	0.12502613	0.12456129	0.00046484
6	0.12102988	0.12047768	0.00055219
7	0.11716580	0.11652796	0.00063785
8	0.11342959	0.11270772	0.00072187
9	0.10981705	0.10901272	0.00080434
10	0.10632415	0.10543886	0.00088530
11	0.10294698	0.10198216	0.00096483
12	0.09968176	0.09863879	0.00104298
13	0.09652483	0.09540502	0.00111981
14	0.09347266	0.09227727	0.00119539
15	0.09052183	0.08925206	0.00126976

Текст программы смотри в приложении 1

2.3 Неявные схемы

В отличие от явной схемы неявные схемы используются для задачи (1) – (3) во всех случаях 1) p₀>0, p_N>0; 2) p₀<0, p_N<0; 3) p₀>0, p_N<0; 4) p₀<0, p_N>0.

Рассмотрим 2 различные разностные схемы:

1. Центрально- разностная схема.

2. Трехточечная схема с весом.

Все эти схемы решаются методом прогонки и все эти разностные уравнения, т.е. полученные при аппроксимации схемы, вернее, уравнения сводятся к виду:

(4)

Коэффициенты A_i, B_i, C_i должны удовлетворять условиям:

(5)

Коэффициенты B₀ , C₀ , F₀, A_N ,C_N ,F_N находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x,t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты. Рассмотрим все 4 случая:

1) p₀>0, p_N>0, u(l,t)=м₂(t), (3′)

из уравнения (3′) A_N ,C_N ,F_N .

B₀ , C₀ , F₀ находятся из дополнительного условия, которая ставится на левом конце.

2) p₀<0, p_N<0, u(0,t)=м₁(t), (3″) из уравнения (3″) B₀ , C₀ , F_0.

A_N ,C_N ,F_N находятся из дополнительного условия, которая ставится на правом конце.

3) p₀<0, p_N>0, u(0,t)=м₁(t), u(l,t)=м₂(t), (3″′)

из уравненя (3″′) B₀ , C₀ , F₀

A_N ,C_N ,F_N

4) p₀>0, p_N<0, нет граничных условий.

Дополнительное условие ставится на левом и на правом концах. Находим B₀, C₀ , F₀ , A_N ,C_N ,F_N .

Алгоритм правой прогонки

, .

,

.

При выполнении условий алгоритм правой прогонки устойчив.

2.3.1 Центрально разностная схема

Разностная схема имеет вид (задачи (1)-(3)):

, .

1) P₀>0, P_N>0

, , .

2) P₀<0, P_N<0

.

3) P₀<0, P_N>0

B₀=0, C₀=1, F₀= ,

→ A_N=0, C_N=1, _.

4) P₀>0, P_N<0

,

Таблица 3. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0>0, pN>0------------ 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.18772094	0.18765555	0.00006539
1	0.18147920	0.18150347	0.00002427
2	0.17566576	0.17555308	0.00011268
3	0.16982701	0.16979776	0.00002924
4	0.16440069	0.16423113	0.00016956
5	0.15890974	0.15884699	0.00006275
6	0.15384782	0.15363937	0.00020845
7	0.14868453	0.14860247	0.00008206
8	0.14391438	0.14373070	0.00018368
9	0.13904086	0.13901865	0.00002221
10	0.13462315	0.13446108	0.00016208
11	0.13004378	0.13005292	0.00000914
12	0.12593278	0.12578928	0.00014351
13	0.12169429	0.12166541	0.00002888
14	0.11786577	0.11767675	0.00018903
15	0.11381884	0.11381884	0.00000000

Таблица 4. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0<0, pN<0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.14715178	0.14715178	0.00000000
1	0.14240331	0.14232757	0.00007574
2	0.13769681	0.13766151	0.00003530
3	0.13325746	0.13314843	0.00010903
4	0.12885248	0.12878331	0.00006918
5	0.12470227	0.12456129	0.00014098
6	0.12057943	0.12047768	0.00010174
7	0.11669966	0.11652796	0.00017170
8	0.11284082	0.11270772	0.00013310
9	0.10921401	0.10901272	0.00020130
10	0.10560221	0.10543886	0.00016335
11	0.10221201	0.10198216	0.00022985
12	0.09883137	0.09863879	0.00019259
13	0.09566248	0.09540502	0.00025746
14	0.09249816	0.09227727	0.00022089
15	0.08953626	0.08925206	0.00028420

Таблица 5. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0<0, pN>0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03565917	0.03558189	0.00007728
2	0.03439784	0.03441538	0.00001754
3	0.03335557	0.03328711	0.00006846
4	0.03216179	0.03219583	0.00003404
5	0.03119895	0.03114032	0.00005863
6	0.03007027	0.03011942	0.00004915
7	0.02917987	0.02913199	0.00004788
8	0.02811435	0.02817693	0.00006258
9	0.02728957	0.02725318	0.00003639
10	0.02628567	0.02635971	0.00007405
11	0.02551993	0.02549554	0.00002439
12	0.02457633	0.02465970	0.00008337
13	0.02386341	0.02385126	0.00001215
14	0.02297890	0.02306932	0.00009042
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

Таблица 6. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0>0, pN<0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.00379722	0.00375311	0.00004410
1	0.00328998	0.00328462	0.00000536
2	0.00291427	0.00287461	0.00003966
3	0.00250378	0.00251579	0.00001200
4	0.00225176	0.00220175	0.00005001
5	0.00190450	0.00192691	0.00002241
6	0.00172045	0.00168638	0.00003407
7	0.00145947	0.00147588	0.00001640
8	0.00129005	0.00129165	0.00000159
9	0.00109247	0.00113042	0.00003795
10	0.00092289	0.00098931	0.00006642
11	0.00074314	0.00086582	0.00012268
12	0.00056520	0.00075774	0.00019254
13	0.00038370	0.00066315	0.00027946
14	0.00020306	0.00058037	0.00037731
15	0.00002275	0.00050793	0.00048518

Текст программы смотри в приложении 2

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Разностная схема для нашей задачи ((1)-(3)) имеет вид:

(0)

Уравнение (0) приведем к виду

(1)

Из уравнения (1) находим коэффициенты

, , ,

.

1) P₀>0, P_N>0 y_N^j+1 = м₂^j+1 → A_N =0, C_N=1, F_N = м₂^j+1

(1.0)

Уравнение (1.0) приводим к виду

(1.1)

Из уравнения (1.1) находим

, ,

.

2) P₀<0, P_N<0 y₀^j+1 = м₁^j+1 → B₀ =0, C₀=1, F₀ = м₁^j+1

. (2.0)

Уравнение (2.0) приводим к виду

(2.1)

Из уравнения (2.1) находим , ,

.

3)P₀<0, P_N>0

y₀^j+1 = м₁^j+1 → B₀=0 ,C₀=1, F₀= м₁^j+1 ,

y_N^j+1 = м₂^j+1 → A_N=0 ,C_N=1, F_N= м₂^j+1.

4) P₀>0, P_N<0

B₀ =0,C₀=1, F₀= м₁^j+1

A_N =0,C_N=1, F_N= м₂^j+1

Таблица 7. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0>0, pN>0---------------kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.36842774	0.36787944	0.00054830
1	0.35627966	0.35581892	0.00046075
2	0.34461653	0.34415379	0.00046275
3	0.33324870	0.33287108	0.00037762
4	0.32234219	0.32195827	0.00038392
5	0.31170418	0.31140322	0.00030095
6	0.30150555	0.30119421	0.00031134
7	0.29155019	0.29131989	0.00023030
8	0.28201389	0.28176929	0.00024460
9	0.27269705	0.27253179	0.00016526
10	0.26378042	0.26359714	0.00018329
11	0.25506082	0.25495540	0.00010543
12	0.24672399	0.24659696	0.00012703
13	0.23856301	0.23851255	0.00005045
14	0.23076867	0.23069318	0.00007549
15	0.22313016	0.22313016	0.00000000

Таблица 8. Численное решение уравнения переноса на с переменнми коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0>0, pN>0---------------kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.22317966	0.36787944	0.14469979
1	0.32550240	0.35581892	0.03031652
2	0.21980791	0.34415379	0.12434588
3	0.32390953	0.33287108	0.00896156
4	0.17318247	0.32195827	0.14877580
5	0.30172608	0.31140322	0.00967714
6	0.15878469	0.30119421	0.14240953
7	0.28118803	0.29131989	0.01013186
8	0.16595060	0.28176929	0.11581869
9	0.25958363	0.27253179	0.01294816
10	0.10012442	0.26359714	0.16347272
11	0.23108668	0.25495540	0.02386872
12	0.10648083	0.24659696	0.14011613
13	0.24403326	0.23851255	0.00552071
14	0.10163574	0.23069318	0.12905744
15	0.22313016	0.22313016	0.00000000

Таблица 9. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0<0, pN<0--------------- kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.36787944	0.36787944	0.00000000
1	0.35801340	0.35581892	0.00219448
2	0.36845033	0.34415379	0.02429654
3	0.35906842	0.33287108	0.02619734
4	0.37000945	0.32195827	0.04805117
5	0.36101823	0.31140322	0.04961501
6	0.37246014	0.30119421	0.07126592
7	0.36379087	0.29131989	0.07247098
8	0.37571304	0.28176929	0.09394375
9	0.36731988	0.27253179	0.09478809
10	0.37968642	0.26359714	0.11608928
11	0.37154421	0.25495540	0.11658881
12	0.38430710	0.24659696	0.13771013
13	0.37640856	0.23851255	0.13789601
14	0.38951172	0.23069318	0.15881854
15	0.38186439	0.22313016	0.15873423

Таблица 10 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0<0, pN<0---------------
kogda G=0,5 50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.36787944	0.36787944	0.00000000
1	0.31801913	0.35581892	0.03779978
2	0.36478621	0.34415379	0.02063242
3	0.34573407	0.33287108	0.01286299
4	0.36983022	0.32195827	0.04787195
5	0.36678412	0.31140322	0.05538090
6	0.34570117	0.30119421	0.04450696
7	0.34004986	0.29131989	0.04872997
8	0.33360167	0.28176929	0.05183238
9	0.35119193	0.27253179	0.07866014
10	0.35046403	0.26359714	0.08686690
11	0.35792253	0.25495540	0.10296714
12	0.36451445	0.24659696	0.11791748
13	0.35527614	0.23851255	0.11676359
14	0.38271932	0.23069318	0.15202614
15	0.39593489	0.22313016	0.17280473

Текст программы смотри в приложении 3

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение переноса вида

(3.1)

удовлетворяющее начальному условию

(3.2)

и граничным условиям

1. P>0 p>0, нет на левой границе условий.

2. P<0 p<0, нет на правой границе условий. (3.3)

Входные данные:

1) P>0

2) P<0

3.2 “Явные” схемы

Рассмотрим схему бегущего счета в обоих случаях.

1) p>0

В этом случае используется правая разностная схема

^(3.1′)

; (3.2′)

^{. (3.3′)}

Из уравнения (3.1′) следует

2) p<0

Разностная схема(левая) имеет вид:

^{; (3.1″)}

; (3.2″)

^(3.3″)

Из уравнения (3.1″) следует

Таблица 11. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

-------------kogda p>0-------------------------------------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	1.37301170	1.35914091	0.01387078
1	1.41878826	1.40520915	0.01357911
2	1.46606506	1.45283887	0.01322618
3	1.51488985	1.50208301	0.01280684
4	1.56531173	1.55299629	0.01231544
5	1.61738112	1.60563527	0.01174585
6	1.67114985	1.66005846	0.01109139
7	1.72667123	1.71632633	0.01034490
8	1.78400003	1.77450141	0.00949863
9	1.84319260	1.83464833	0.00854427
10	1.90430684	1.89683395	0.00747290
11	1.96740228	1.96112735	0.00627493
12	2.03254007	2.02759998	0.00494008
13	2.09978305	2.09632572	0.00345734
14	2.16919578	2.16738091	0.00181487
15	2.24084454	2.24084454	0.00000000

Таблица 12. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (левая разностная схема)

-------------kogda p<0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03444494	0.03558189	0.00113696
2	0.03220334	0.03441538	0.00221204
3	0.03005929	0.03328711	0.00322782
4	0.02800907	0.03219583	0.00418676
5	0.02604910	0.03114032	0.00509122
6	0.02417592	0.03011942	0.00594350
7	0.02238620	0.02913199	0.00674579
8	0.02067672	0.02817693	0.00750021
9	0.01904439	0.02725318	0.00820879
10	0.01748622	0.02635971	0.00887349
11	0.01599934	0.02549554	0.00949620
12	0.01458096	0.02465970	0.01007874
13	0.01322842	0.02385126	0.01062284
14	0.01193914	0.02306932	0.01113018
15	0.01071063	0.02231302	0.01160239

Текст программы смотри в приложении 4

3.3 Неявные схемы

Рассмотрим две различные разностные схемы:

1. Центрально-разностная схема.

2. Трехточечная схема с весом.

Все эти схемы сводятся к стандартному виду (3.4) и решаются методом прогонки

(3.4)

Коэффициенты A_i, B_i, C_i должны удовлетворять условиям:

(3.5)

Коэффициенты B₀ , C₀ , F₀, A_N ,C_N ,F_N находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x,t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты.

1. Когда р>0 задается правое граничное условие:

(3.3′)

Используя уравнения (3.3′) находим коэффициенты A_N ,C_N ,F_N . Коэффициенты B₀ , C₀ , F₀ находятся из дополнительного условия, которое ставится на левом конце.

2) Когда р<0 задается граничное условие на левом конце

(3.3″)

Используя уравнения (3.3″) находим коэффициенты B₀ , C₀ , F₀

Коэффициенты A_N ,C_N ,F_N находятся из дополнительного условия, которое ставится на правом конце.

3.3.1 Центрально-разностная схема

Разностная схема задачи (3.1)-(3.3) имеет следующий вид:

1) р>0. В этом случае граничное условие задается на правом конце:

(3.6)

Используя уравнение (3.6) находим коэффициенты A_N =0, C_N=1,

Дополнительное условие на левом конце имеет вид:

(3.7)

Приведем уравнение (3.7) к виду :

(3.7′)

Отсюда находим коэффициенты:

1. В случае, когда р<0, граничное условие ставится на левом конце

(3.8)

Используя уравнение (3.8) находим коэффициенты B_0,=0, C₀=1,

Дополнительное условие на правом конце имеет вид:

(3.9)

Приводим уравнение (3.9) к виду :

(3.9′)

отсюда находим коэффициенты:

Таблица 13. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p>0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03544452	0.03678794	0.00134342
1	0.03541069	0.03558189	0.00017120
2	0.03306824	0.03441538	0.00134714
3	0.03313883	0.03328711	0.00014828
4	0.03084494	0.03219583	0.00135089
5	0.03101552	0.03114032	0.00012480
6	0.02876471	0.03011942	0.00135472
7	0.02903119	0.02913199	0.00010080
8	0.02681828	0.02817693	0.00135865
9	0.02717688	0.02725318	0.00007630
10	0.02499699	0.02635971	0.00136272
11	0.02544422	0.02549554	0.00005132
12	0.02329272	0.02465970	0.00136698
13	0.02382538	0.02385126	0.00002588
14	0.02169787	0.02306932	0.00137145
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

Таблица 14. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p<0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03475182	0.03558189	0.00083008
2	0.03440516	0.03441538	0.00001021
3	0.03246493	0.03328711	0.00082218
4	0.03217504	0.03219583	0.00002079
5	0.03032529	0.03114032	0.00081503
6	0.03008771	0.03011942	0.00003171
7	0.02832337	0.02913199	0.00080861
8	0.02813396	0.02817693	0.00004297
9	0.02645027	0.02725318	0.00080290
10	0.02630518	0.02635971	0.00005453
11	0.02469766	0.02549554	0.00079788
12	0.02459330	0.02465970	0.00006639
13	0.02305773	0.02385126	0.00079352
14	0.02299077	0.02306932	0.00007855
15	0.02152320	0.02231302	0.00078982

Текст программы смотри в приложении 5

3.3.2 Трехточечная схема с весом

Разностная схема имеет вид:

вещественный параметр

1. p>0

На левом конце ставится дополнительное условие

2. p<0

На правом конце ставится дополнительное условие

Разностные уравнения и дополнительные условия сводятся к стандартному виду (3.4) и решаются методом прогонки.

Таблица 15. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
-------------------kogda p>0---------------kogda G=1
0	0.03684277	0.03678794	0.00005483
1	0.03562797	0.03558189	0.00004607
2	0.03446165	0.03441538	0.00004627
3	0.03332487	0.03328711	0.00003776
4	0.03223422	0.03219583	0.00003839
5	0.03117042	0.03114032	0.00003010
6	0.03015056	0.03011942	0.00003113
7	0.02915502	0.02913199	0.00002303
8	0.02820139	0.02817693	0.00002446
9	0.02726970	0.02725318	0.00001653
10	0.02637804	0.02635971	0.00001833
11	0.02550608	0.02549554	0.00001054
12	0.02467240	0.02465970	0.00001270
13	0.02385630	0.02385126	0.00000505
14	0.02307687	0.02306932	0.00000755
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

Таблица 16. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p>0---------------kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.02231797	0.03678794	0.01446998
1	0.03255024	0.03558189	0.00303165
2	0.02198079	0.03441538	0.01243459
3	0.03239095	0.03328711	0.00089616
4	0.01731825	0.03219583	0.01487758
5	0.03017261	0.03114032	0.00096771
6	0.01587847	0.03011942	0.01424095
7	0.02811880	0.02913199	0.00101319
8	0.01659506	0.02817693	0.01158187
9	0.02595836	0.02725318	0.00129482
10	0.01001244	0.02635971	0.01634727
11	0.02310867	0.02549554	0.00238687
12	0.01064808	0.02465970	0.01401161
13	0.02440333	0.02385126	0.00055207
14	0.01016357	0.02306932	0.01290574
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

Таблица 17. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p<0--------------- kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03676351	0.03654351	0.00022000
2	0.03679165	0.03630069	0.00049096
3	0.03676949	0.03605949	0.00070999
4	0.03679966	0.03581990	0.00097976
5	0.03677973	0.03558189	0.00119784
6	0.03681190	0.03534547	0.00146643
7	0.03679418	0.03511062	0.00168357
8	0.03682831	0.03487732	0.00195098
9	0.03681277	0.03464558	0.00216719
10	0.03684883	0.03441538	0.00243345
11	0.03683543	0.03418671	0.00264872
12	0.03687339	0.03395955	0.00291384
13	0.03686210	0.03373391	0.00312820
14	0.03690193	0.03350976	0.00339217
15	0.03689273	0.03328711	0.00360562

Таблица 18. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p<0--------------- kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03697886	0.03654351	0.00043535
2	0.03685351	0.03630069	0.00055282
3	0.03694215	0.03605949	0.00088265
4	0.03678490	0.03581990	0.00096500
5	0.03709634	0.03558189	0.00151445
6	0.03702149	0.03534547	0.00167603
7	0.03710468	0.03511062	0.00199406
8	0.03712939	0.03487732	0.00225206
9	0.03693008	0.03464558	0.00228450
10	0.03706115	0.03441538	0.00264577
11	0.03679396	0.03418671	0.00260725
12	0.03713746	0.03395955	0.00317791
13	0.03669566	0.03373391	0.00296175
14	0.03706614	0.03350976	0.00355638
15	0.03675340	0.03328711	0.00346629

Текст программы смотри в приложении 6

3.3.3 Схема “прямоугольник”

1. p>0 разностная схема правая имеет вид

2. p<0 разностная схема левая имеет вид

3.3.4 Схема со сглаживанием

Разностная схема имеет вид

1. p>0

2. p<0

Схема сводится к стандартному виду и решается методом прогонки.

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

1.p>0

2. p<0

3.3.6 “Шахматная” схема

Имеем схему с весом

1. p>0

2. p<0

Параметр управляет реализацией схемы. При =0 и

(i+j)- четном решаем по явной схеме, при =1 и

(i+j)- нечетном решаем по неявной схеме явно. В целом схема реализуется явно.

Заключение

Теория разностных схем является самостоятельным разделом вычислительной математики, где изучаются методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем замены их конечно –разностными уравнениями (разностными схемами).

Конечно –разностный метод (метод сеток) –один из мощных достаточно универсальных методов современной вычислительной математики. Этот метод относится к классу машинных методов решения широкого круга задач для дифференциальных уравнений.

В дипломной работе рассмотрены “явные” и неявные разностные методы решения для одномерного уравнения переноса с переменными коэффициентами и для одномерного уравнения переноса с постоянными коэффициентами на неравномерных сетках. Использованы такие разностные схемы, как схема бегущего счета, трехточечная схема с весом, центрально –разностная схема, схема “прямоугольник”, схема со сглаживанием, схема прямоугольник со сглаживанием, “шахматная ” схема.

Произведены некоторые расчеты для одномерного уравнения переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках, с целью определения наиболее устойчивой разностной схемы.

Исследование показало, что наиболее устойчивым методом для одномерного уравнения переноса с переменными коэффициентами является:

1. При p0>0, pN>0 трехточечная схема с весом при G=1, абсолютная погрешность аппроксимации на 50-м слое составляет 0,00007549.

2. При p0<0, pN<0 неявная схема с центральной разностью, абсолютная погрешность аппроксимации на 50-м слое составляет 0,00007574.

3. При p0<0, pN>0 так же схема с центральной разностью, абсолютная погрешность составляет 0,00009042.

Так же произведены расчеты некоторых методов одномерного уравнения переноса с постоянными коэффициентами.

Исследование показало, что наиболее устойчивым методом для одномерного уравнения переноса с постоянными коэффициентами является:

1. При p>0 трехточечная схема с весом при G=1, абсолютная погрешность аппроксимации на 50-м слое составляет 0,00000755.

2) При p<0 также трехточечная схема с весом при G=1, абсолютная погрешность на 50-м слое составляет 0,00022000

Список использованной литературы

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977, с. 616.

2. Самарский А.А., Гулин А.В.Численные методы. М.Наука, 1989, с. 315.

3. Охлопков Н.М. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Якутск: Изд-во Ягу, 1993, с. 38.

4. Охлопков Н.М., Охлопков Г.Н. Введение в специальность “Прикладная математика” часть 1,2 Якутск: Изд-во Ягу, 1997, с. 93, с. 85.

5. Охлопков Н.М., Иванов Ф.В. Вычислительные алгоритмы решения задач для дифференциальных уравнений Якутск: Изд-воЯгу, 1992, с.65.

6. Охлопков Н.М.,Иванов Ф.В. Пакет программ численного решения задач математической физики ч.2, Якутск: Изд-во Ягу, 1989, с 15.

7. Охлопков Н.М. Об экономичных методах решения задач математической физики. Якутск: Изд-во Ягу, 1982, с. 39.

Приложение 1

Уравнение с переменными коэффициентами

“Явная” схема.

Левая разностная схема

p0<0, pN<0

uses crt;

const n=15;j0=20;tt=1;l=1;A=0.01;a1=1;q=2;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j:integer;

x,h,t,tau,d:hi;

u,u1,g,u2,u11,u12:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A*exp(p+r);end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p+1)+r*(r+1)+7); end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=sqr(p)+sqr(r)+5;end;

function p1(p,r:real):real;

begin p1:=-(p+r+2);end;

begin

clrscr;

writeln ( 'sxema begushego scheta');

writeln(' kogda p0<0,pN<0');

writeln(' levaya raznostnaya sxema');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a1;

for i:=2 to n do

h[i]:=l/n;

tau[j]:=tt/j0;

t[j]:=0;j:=1;

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i];t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A*(exp(x[i]));

end;

while t[j]<=tt do begin clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

u1[0]:=A*exp((t[j]));

for i:=n-1 downto 0 do

begin

g[i]:=tau[j+1]*p1(x[i],t[j+1])/h[i+1];

u11[i]:=(-g[i]*u1[i+1])+(ro(x[i],t[j+1])*u[i]);

u12[i]:=tau[j+1]*fi(x[i],t[j]);

u1[i]:=(u11[i]+u12[i])/(ro(x[i],t[j+1])+g[i]);

end;

for i:=n-1 downto 0 do

u[i]:=u1[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',j,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

j:=j+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

end;

end.

Уравнение с переменными коэффициентами

“Явная” схема.

Схема бегущего счета.

Правая разностная схема

p0>0, pN>0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=0.5;A=0.5;a1=2;q=2;

type w=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j:integer;

x,h,t,tau,d:hi;

u,u1,g,u2,u11,u12:w;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A*exp(p+r);end; {to4noe reshenie}

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p-1)+r*(r-1)+3);end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=sqr(p)+sqr(r)+5;end;

function p1(p,r:real):real;

begin p1:=p+r+2;end;

begin clrscr;

writeln ( 'sxema begushego scheta');

writeln(' kogda p0>0,pN>0');

writeln(' pravaya raznostnaya sxema');

readln;

h[0] := 0;

h[1] := a1;

for i:=2 to n do

h[i] := h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;j:=1;

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i];t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A*exp(x[i]); {u0(x)}

end;

begin

while t[j]<=tt do begin clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

u1[i]:=A*exp(l+t[j]); {mu2(t)}

for i:=n-1 downto 0 do

begin

g[i]:=(tau[j+1]*p1(x[i],t[j+1])/h[i+1]); {R[i,j+1]}

u11[i]:=(g[i]*u1[i+1])+ro(x[i],t[j+1])*u[i];

u12[i]:=tau[j+1]*fi(x[i],t[j+1]);

u1[i]:=(u11[i]+u12[i])/(ro(x[i],t[j+1])+g[i]); {y

end;

for i:=n-1 downto 0 do begin

u[i]:=u1[i]; end;

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',j,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i :=0 to n do

begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

j:=j+1;

writeln('--------------------------------------------------------------'

readln;

end;

end;

end.

Приложение 2

Уравнение с переменными коэффициентами

Схема с центральной разностью

p0>0, pN>0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;g1=1;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k:integer;

h,d,tau,t:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(p+r);end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:= begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p-1)+r*(r-1)+3);end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=sqr(p)+sqr(r)+5;end;

p1(p,r:real):real;

begin p1:=p+r+2;end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');

writeln(' kogda p0>0,pn>0');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(x[i]);

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=1+(p1(x[i],t[j])*tau[j])/h[i]+tau[j]*q;

b[0]:=(tau[j]*p1)/h[i];

a[n]:=0;

c[n]:=1;

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=-r[i];

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;

f[0]:=tau[j]*fi(x[0],t[j])+u[0];

f[n]:= A1*exp(l+t[j]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Уравнение с переменными коэффициентами

Схема с центральной разностью

p0<0, pN<0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1; q=3;g1=1;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k:integer;

h,d,tau,t:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(p+r);end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A1*exp(p+r)*(p*(p+1)+r*(r+1)+7);end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=sqr(p)+sqr(r)+5;end;

function p1(p,r:real):real;

begin p1:=-(p+r+2);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');

writeln(' kogda p0<0,pn<0');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=g1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(x[i]);

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=1;

b[0]:=0;

a[n]:=-(tau[j]*p1[x)/h[i];

c[n]:=1-(p1*tau[j])/h[i]+tau[j]*q;

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=-r[i];

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;

f[0]:=A1*exp(t[j]);

f[n]:= (tau[j]*fi(x[n],t[j])+u[n]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Уравнение с переменными коэффициентами

Схема с центральной разностью.

p00

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;a2=1;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k:integer;

h,d,tau,t:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= v*exp(p+r);end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A1*exp(p+r)*((p+r+10)-(2*p-1)*exp(2*r);end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=p+r+10;end;

function p1(p,r:real):real;

begin p1:=(2*p-1)*exp(2*r);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');

writeln(' kogda p00');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a2;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q1;

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i];

u[i]:= A1*exp(x[i]);

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=1;

b[0]:=0;

a[n]:=0;

c[n]:=1;

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j+1]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=-r[i];

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f[i]:=ro*u[i]+tau[j+1]*fi(x[i],t[j]);end;

f[0]:=A1*exp(t[j]);

f[n]:=A1*exp(l+t[j]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Уравнение с переменными коэффициентами

Схема с центральной разностью.

p0>0, p<0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1; a2=1;q=3;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k:integer;

h,d,tau,t:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(p+r);end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A1*exp(p+r)*((p+r+10)-(2*p-1)*exp(2*r);end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=p+r+10;end;

function p1(p,r:real):real;

begin p1:=(2*p-1)*exp(2*r);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');

writeln(' kogda p0>0,pn<0');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a2;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

h[i]:=x[i]-x[i-1];

tau[j]:=t[j]-tau[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(x[i]);

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=p1+ro*tau[j]/h[i];

b[0]:=tau[j]*p1/h[i];

a[n]:=tau[j]*p1/h[i];

c[n]:=-ro+p1*tau[j]/h[i];

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=-r[i];

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;

f[0]:=tau[j+1]*fi(x[0],t[j])+ro*u[0];

f[n]:=-(tau[j+1]*fi(x[n],t[j])+ro*u[n]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Приложение 3

Уравнение с переменными коэффициентами

Трехточечная схема с весом

Метод прогонки

p0>0, pN>0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;a2=1;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k,G:integer;

h,d,tau,t,f1,f2,f3,f4,f5,f6:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(p+r);end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p-1)+r*(r-1)+3);end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=sqr(p)+sqr(r)+5;end;

function p1(p,r:real):real;

begin p1:=p+r+2;end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema begushego scheta');

writeln(' metod progonki');

writeln(' ------------------------------' );

writeln('-------------kogda p0>0,pN>0------------');

writeln(' vvedite G=' );

read(G);

writeln('----------------------------------------');

readln;

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a2;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(x[i]);

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=ro+(p1*tau[j])/h[i];

b[0]:=G*tau[j]*p1/h[i];

a[n]:=0;

c[n]:=1;

for i:=1 to n-1 do begin

a[i]:=-G*p1*tau[j]/(2*h[i]);

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f1[i]:=(1-G)*p1*tau[j]/(2*h[i]);

f2[i]:=ro*u[i];

f3[i]:=G*tau[j]*fi(x[i],t[j]);

f4[i]:=(1-G)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);

f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];

end;

f5[i]:=(1-G)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];

f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+G*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);

f[0]:=f6[j]+(1-G)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);

f[n]:= A1*exp(l+t[j]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Уравнение с переменными коэффициентами

Трехточечная схема с весом

Метод прогонки

p0<0, pN<0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;a2=1;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k,G:integer;

h,d,tau,t,f1,f2,f3,f4,f5,f6:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(p+r);end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p+1)+r*(r+1)+7); end;

function ro(p,r:real):real;

begin ro:=sqr(p)+sqr(r)+5;end;

function p1(p,r:real):real;

begin p1:=-(p+r+2);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'trextochechnaya sxema');

writeln(' kogda p<0');

writeln(' vvedite G=' );

read(G);

writeln('----------------------------------------------------');

readln;

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a2;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(x[i]);

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=1;

b[0]:=0;

a[n]:=-g*(tau[j]*p1)/h[i];

c[n]:=ro-g*(p1*tau[j])/h[i];

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=(-g*p1*tau[j])/(2*h[i]);

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f1[i]:=(1-g)*(p1*tau[j])/(2*h[i]);

f2[i]:=ro*u[i];

f3[i]:=g*tau[j]*fi(x[i],t[j]);

f4[i]:=(1-g)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);

f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];end;

f[0]:=A1*exp(t[j]);

f5[i]:=(1-g)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];

f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+g*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);

f[n]:=f6[j]+(1-g)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Приложение 4

Уравнение с постоянными коэффициентами

“Явная” схема.

Левая разностная схема

p<0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A=1;B=1;p1=1;q=3;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j:integer;

h,d,tau,t:hi;

u11,u12:real;

u,u1,x,g,u2:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A*exp(B*(p+r));end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A*B*exp(B*(p+r))*(1-p1+q/B); end;

begin

clrscr;

writeln ( 'sxema begushego scheta');

writeln(' kogda p0>0,pN>0');

writeln(' pravaya raznostnaya sxema');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;j:=1;

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h;t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A*(exp(B*(x[i])));

end;

while t[j]<=tt do begin clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

u1[n]:=A*exp(B*(l+t[j]));

for i:=n-1 downto 0 do begin

g[i]:=(tau[j+1]*p1)/h[i];

u11:=(g[i]*u1[i+1])+u[i];

u12:=tau*fi(x[i],t[j]);

u1[i]:=(u11+u12)/(1+g[i]+tau[j+1]*q);

end;

for i:=0 to n do u[i]:=u1[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',j,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

j:=j+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

end;

end.

Уравнение с постоянными коэффициентами

“Явная” схема.

Схема бегущего счета.

Правая разностная схема

p>0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A=1;B=-1;p1=-3;q=3;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j:integer;

x,h,d,tau,t:hi;

u11,u12:real;

u,u1,g:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A*exp(B*(p+r));end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A*B*exp(B*(p+r))*(1-p1+q/B); end;

begin

clrscr;

writeln ( 'sxema begushego scheta');

writeln(' kogda p0<0,pN<0');

writeln(' levaya raznostnaya sxema');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;j:=1;

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A*(exp(B*(x[i])));

end;

while t[j]<=tt do begin clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

u1[0]:=A*exp(B*(t[j]));

for i:=1 to n do begin

g[i]:=(tau[j]*p1)/h[i];

u11:=(-g[i]*u1[i-1])+u[i];

u12:=tau[j]*fi(x[i],t[j]);

u1[i]:=(u11+u12)/(1-g[i]+tau[j]*q);

end;

for i:=0 to n do u[i]:=u1[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',j,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[j]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[j]:6:8,' '); end;

j:=j+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

end;

end.

Приложение 5.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Схема с центральной разностью

p>0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=1;p1=1;q=3;g1=1;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k:integer;

h,d,tau,t:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(B1*(p+r));end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p+q/B);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');

writeln(' kogda p0>0,pn>0');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(B1*(x[i]));

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=1+(p1*tau[j+1])/h[1]+tau[j+1]*q;

b[0]:=(tau[j+1]*p1)/h[1];

a[n]:=0;

c[n]:=1;

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=-r[i];

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;

f[0]:=tau[j]*fi(x[0],t[j])+u[0];

f[n]:= A1*exp(B1*(l+t[j]));

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Схема с центральной разностью

P<0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=-1;p1=-1; q=3;g1=1;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k:integer;

h,d,tau,t:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(B1*(p+r));end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p1+q/B);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');

writeln(' kogda p0<0,pn<0');

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=g1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(B1*(x[i]));

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=1;

b[0]:=0;

a[n]:=-(tau[j]*p1)/h[i];

c[n]:=1-(p1*tau[j])/h[i]+tau[j]*q;

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=-r[i];

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;

f[0]:=A1*exp(t[j]);

f[n]:= (tau[j]*fi(x[n],t[j])+u[n]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Приложение 6

Уравнение с постоянными коэффициентами

Трехточечная схема с весом

Метод прогонки

p>0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=1;p1=1;q=3;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k,G:integer;

h,d,tau,t,f1,f2,f3,f4,f5,f6:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(B1*(p+r));end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p1+q/B1);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'sxema begushego scheta');

writeln(' metod progonki');

writeln(' ------------------------------' );

writeln('-------------kogda p0>0,pN>0------------');

writeln(' vvedite G=' );

read(G);

writeln('----------------------------------------');

readln;

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(B1*(x[i]));

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=ro+(p1*tau[j])/h[i];

b[0]:=G*tau[j]*p1/h[i];

a[n]:=0;

c[n]:=1;

for i:=1 to n-1 do begin

a[i]:=-G*p1*tau[j]/(2*h[i]);

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f1[i]:=(1-G)*p1*tau[j]/(2*h[i]);

f2[i]:=ro*u[i];

f3[i]:=G*tau[j]*fi(x[i],t[j]);

f4[i]:=(1-G)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);

f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];

end;

f5[i]:=(1-G)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];

f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+G*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);

f[0]:=f6[j]+(1-G)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);

f[n]:= A1*exp(B1*(l+t[j]));

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Трехточечная схема с весом

Метод прогонки

P<0

uses crt;

const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=-1;p1=-1;q=3;

type m=array[0..n] of real;

hi=array[0..n] of real;

var i,j,k,G:integer;

h,d,tau,t,f1,f2,f3,f4,f5,f6:hi;

u,u1,r,x,z,a,b,c,f,alfa,betta:m;

function ut(p,r:real):real;

begin ut:= A1*exp(B1*(p+r));end;

function fi(p,r:real):real;

begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p1+q/B1);end;

begin

clrscr;

writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');

writeln ( 'trextochechnaya sxema');

writeln(' kogda p<0');

writeln(' vvedite G=' );

read(G);

writeln('----------------------------------------------------');

readln;

readln;

h[0]:=0;

h[1]:=a1;

for i:=2 to n do

h[i]:=h[i-1]*q;

for i:=0 to n do

h[i]:=x[i]-x[i-1];;

tau[j]:=t[j]-t[j-1];

t[j]:=0;k:=0;

clrscr;

writeln('------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('-------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do

begin

x[i]:=i*h[i]; t[j]:=j*tau[j];

u[i]:= A1*exp(B1*(x[i]));

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u[i]);

write('',i,'',u[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');

end;

writeln('-------------------------------------------------------');

readln;

k:=1;

while t[j]<=tt do begin

clrscr;

t[j]:=t[j]+tau[j];

c[0]:=1;

b[0]:=0;

a[n]:=-g*(tau[j]*p1)/h[i];

c[n]:=ro-g*(p1*tau[j])/h[i];

for i:=1 to n-1 do begin

r[i]:=tau[j]*p1/(2*h[i]);

a[i]:=(-g*p1*tau[j])/(2*h[i]);

c[i]:=ro;

b[i]:=-a[i];

f1[i]:=(1-g)*(p1*tau[j])/(2*h[i]);

f2[i]:=ro*u[i];

f3[i]:=g*tau[j]*fi(x[i],t[j]);

f4[i]:=(1-g)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);

f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];end;

f[0]:=A1*exp(B1*(t[j]));

f5[i]:=(1-g)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];

f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+g*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);

f[n]:=f6[j]+(1-g)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);

alfa[0]:=b[0]/c[0];

betta[0]:=f[0]/c[0];

for i:=1 to n-1 do begin

z[i]:=c[i]-alfa[i-1]*a[i];

alfa[i]:=b[i]/z[i];

betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;

u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);

for i:=n-1 downto 0 do

u1[i]:=alfa[i]*u1[i+1]+betta[i];

writeln('----------------------------------------------------------');

write(' ',k,'sloy');

writeln(' ');

writeln('--------------------------------------------------------');

writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');

writeln('--------------------------------------------------------');

for i:=0 to n do begin

d[i]:=abs(ut(x[i],t[j])-u1[i]);

write('',I,' ',u1[i]:6:8,' ');

writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;

k:=k+1;

writeln('--------------------------------------------------------------');

readln;

for i:=0 to n do

u[i]:=u1[i];

end;

end.