183774 (Приклади рішення задач з економетрії), страница 2

Остаточно, коефіцієнт детермінації має значення

Коефіцієнт детермінаціі R², близький до одиниці, що свідчить про те, що отримана багатомірна регресійна модель досить близька до даних, отриманим емпіричним шляхом і може бути використана для визначення обсягу середньорічного виробництва фірми по заданим витратам на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів. Отриманий висновок підтверджує графік відповідності теоретичних і емпіричних даних.

3. Прогноз середньорічного виробництва для фірми з витратами на заробітну платню 1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од складає

(ум.од.)

Задача №2

Построить линейную регрессионную модель зависимости расходов на единицу продукции от уровня фондоемкости продукции. Проинтерпретировать найденные параметры модели. Рассчитать остатки економетричной модель. Найти коэффициент эластичности расходов относительно фондоемкости продукции. Рассчитать прогноз расходов на единицу продукции, если фондоемкость равняется 95 усл.ед. Найти , дать экономическую интерпретацию.

Решение

В качестве регрессора Х принимаем фондоемкость продукции, регрессант Y – затраты на ед. продукции. Решим задачу 1МНК.

Эконометрическую модель (простую регрессионную модель) ищем в виде:

Составим расчетную таблицу

Параметры находим по формулам

Эконометрическая модель имеет вид:

.

Воспользуемся альтернативным способом вычисления параметров с помощью отклонений средних арифметических.

Составим расчетную таблицу.

Здесь средние значения переменных определяются из соотношений

Используя формулы, получим

a=54,2-0,5·100,83,8.

Окончательно, получим:

.

Количественная оценка параметра а=0,5 показывает, что среднее увеличение затрат при возрастании фондоемкости продукции на 1 усл.ед. составляет 0,5 усл.ед.

При построении эконометрической модели очень важным является вопрос о степени зависимости между регрессором и регрессантом, т.е. о тесноте связи между ними. Простейшим критерием, позволяющим получить количественную оценку влияния объясняющей переменной на объясняемую, является выборочный коэффициент корреляции (или просто коэффициент корреляции). Он рассчитывается по следующей формуле:

или, другая форма представления:

Из выражения видно, что коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицу, т.е. -1 r_xy 1. При этом, чем ближе r_xy к единице, тем теснее связь. При r_xy= 1 корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость, а наблюдаемые значения располагаются на прямой линии. Если r_xy=0, то считают, что корреляция отсутствует. Линия регрессии при этом параллельна оси абсцисс.

Принято считать, что связь между переменными высокая, если r_xy0,8, если 0,7 r_xy <0,8, то связь считают средней, при 0,6 r_xy<0,7 - связь заметная, а в остальных случаях (r_xy<0,6) связь является низкой и следует пересмотреть выбор объясняющей переменной в рассматриваемом эконометрическом исследовании.

Коэффициент корреляции показывает, что связь между переменными в рассматриваемой задаче очень тесная.

3.4. Нелинейные модели

Простая регрессионная модель может быть нелинейна в двух смыслах:

1. регрессия не является линейной по объясняющей переменной, но линейна по оцениваемым параметрам;

2. регрессия не является линейной по оцениваемым параметрам.

Нелинейность по переменным всегда можно обойти, используя замену переменных, например,

• выражение можно привести к линейному виду, используя подстановку:

Имеем линейное уравнение с тремя переменными :

.

Способ параметризации полученного многофакторного уравнения основывается на 1МНК и будет рассмотрен позднее.

• аналогично можно преобразовать квадратичною функцию y=а+bx+cх². Ее приводим к линейной с помощью замены: z₁=x, z₂=x². Получим:

y=a+bz₁+cz₂. (3.22)

Следует отметить, что найти параметры квадратичной функции y=ах²+bx+c можно и не используя линеаризацию (3.22). Осуществить параметризацию можно с помощью непосредственного применения МНК, при этом получим следующую систему нормальных уравнений (индексы суммирования опущены):

(3.23)

Решить ее можно, например, с помощью метода Крамера (метода определителей).

Пример 3.2. Предполагается, что объем потребления некоторого товара имеет квадратичную зависимость от уровня дохода семьи в месяц (условные данные приведены в таблице). Требуется найти уравнение, выражающее эту зависимость.

Таблица 3.4

Решение.

Обозначим месячный семейный доход через регрессор х (тыс. грн.), а объем потребления товара – регрессант y (кг). Уравнение зависимости будем искать в виде

y=а+bx+cх²

Параметры модели a,b и c будем искать с помощью МНК. Расчеты приведем в таблице (столбцы 1-8):