183701 (Математические модели в экономике)

Факультет дистанционного обучения

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра экономики

Контрольная работа № 1

по дисциплине «математические модели в экономике »

выполнена по методике М.Г. Сидоренко «математические модели в экономике»

Вариант-1

Выполнил:

студент ФДО ТУСУР

гр.: з-828-Б

специальности 080105

Афонина Ю.В,

1 декабря 2010 г.

Г. Нефтеюганск

2010г

Задание 1

В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответ дать число, равное объему бюджетного множества.

Вариант	1
Данные	P = (1,3,4) Q = 24

x₁

A(3)

P

x₃

O

B(1)O

C(4)

x₂

Цена товара , товара , товара и бюджетное множество есть пирамида ОАВС. Точка А имеет координату , точка В имеет координату , точка С имеет координату .

Бюджетное множество B(P,Q) и его граница G(P,Q) зависят от цен и дохода.

Бюджетное множество и его границу можно определить с помощью обычных неравенств и равенств так:

и с помощью векторных равенств и неравенств

Объем бюджетного множества равен объему построенной пирамиды ОАВС.

Объему пирамиды ОАВС равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где S – площадь основания, H – высота пирамиды.

В рассматриваемом случае высота Н равна 24.

Площадь основания равна ½ АВ умножить на ВС и на синус угла между ними.

Задание 2

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Вариант	Данные
1	D = 1000 – 10p; S = 100 +10p

Решение:

Точка равновесия характеризуется равенством спрос и предложения, т.е. 1000 – 10p = 100+10p. Равновесная цена p^* = 45 и выручка при равновесной цене W(p^*) = p^* * D(p^*) = p^* * S(p^*) = 24750.

При цене p > p^* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при p < p^* - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:

p*(1000 – 10p) – функция имеет максимум в точке 50, W(50)=25000

p*(100 - 10p) –функция максимальна в точке 5, W(5)=250

Таким образом, максимальная выручка W(р) =25000 достигается не при равновесной цене.

Задание 3

Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).

Вариант	Игра
1

Сначала необходимо проверить наличие седловой точки. Седловой точки нет.

Обозначим стратегию Первого , искомую оптимальную стратегию Второго .

Выигрыш Первого есть случайная величина с таким рядом распределения:

W(x,y):	2	-3	-2	2
	xy	x(1-y)	(1-x)y	(1-x) (1-y)

Находим средний выигрыш за партию Первого – математическое ожидание случайной величины W(x,y):

M(x,y)=2xy-3x(1-y)-2(1-x)y+2(1-x)(1-y)=2xy-3x+3xy-2y+2xy+2-2x-2y+2xy=9xy-5x-4y+2=9x(y-5/9)-4(y-5/9)+6/9=9(y-5/9)(x-4/9)+6/9

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы M(x,y^*)≤ M(x^*,y^*)≤ M(x^*,y). Это выполняется при x^*=4/9 и y^*=5/9, так как именно в этом случае M(x , 5/9) = M(4/9 , 5/9) = M(4/9 , y) = 6/9.

Следовательно, оптимальная стратегия первого игрока есть

,

Второго - . Цена игры по определению равна v=M(P^*,Q^*)=6/9

Задание 4

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.

Вариант	Данные
1

1. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

матрицу коэффициентов второго порядка:

Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

3. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц (первый способ).

А) находим матрицу (Е - А):

Б) вычисляем определитель этой матрицы:

В) транспонируем матрицу (Е - А):

Г) находим алгебраические дополнения для элемента матрицы :

Таким образом, присоединенная к матрице (Е – А) матрица имеет вид:

Д) используя формулу (7.14), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

1. найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х), используя формулу (7.9)

1. для определения элементов первого квадрата материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы (7.4): . Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадрата нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину ; элементы второго столбца матрицы А умножить на ; элементы третьего столбца матрицы А умножить на .

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (7.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета приведены в таблице.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1 2 3	476.76 397.3 158.92	118.04 59.02 59.02	0 33.76 0	200 100 120	794.6 590.2 337.6
Условно чистая продукция	-238.38	354.12	303.84	420
Валовая продукция	794.6	590.2	337.6		1722.4

Задание 5

Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания ( =0,1), представить результаты сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперед.

Вариант	Ряд данных
1	у = 12, 10, 11, 13, 14, 15, 14, 13, 15, 16

Найдем среднее арифметическое

Среднее квадратическое отклонение

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-	1.06	0.53	1,06	0.53	0.53	0.53	0.53	1.06	0.53

Аномальный уровень отсутствует.

Методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3

Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула:

где при нечетном m, в нашем случае m = 3, следовательно

y(t)	12	10	11	13	14	15	14	13	15	16
	-	-	11	11.3	12.7	14	14.3	14	14	14.7

Методом экспоненциального сглаживания ( =0,1)

Экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле: , где - параметр сглаживания. В нашем случае = 0,1.

y(t)	12	10	11	13	14	15	14	13	15	16
	11.1	10.99	2.2	3.28	4.35	5.42	6.29	6.96	7.76	8.58

Графическое представление результатов сглажевания

Ниже в таблице приведены исходный ряд данных yt и сглаженные двумя способами уровни исходного ряда. При этом при сглаживании при помощи метода простой скользящей средней использовался интервал сглаживания m = 3.

При сглаживании экспоненциальным методом был доведён параметр сглаживания а = 0,1